Gaußsche Gesetz - Integralform

xkris · Anmeldungsdatum: 06.10.2005 Beiträge: 281 Wohnort: LÜbeck

Hallo, das Gesetzt besagt laut Wiki folgendes

"Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens V ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren."

Wenn ich mir einen Teil eines elektrischen Leiters anschaue durch den ein elektrischer Strom fliesst, also die gerichtete Bewegung von Elektronen. und über die Oberfläche dieses Volumens integriere und müßte das Ergebnis null sein, da der Fluss in das Volumen hinein genauso groß ist wie das was wieder hinaus fliesst. Trotzdem ist die Ladung im inneren des Volumens zu keinem Zeitpunkt null. Es befinden sich ja permanent Elektronen in diesem Volumen. Jetzt kann man natürlich argumentieren, dass ich in diesem Leiterstück ebenfalls die positiv geladenen Atomrümpfe befinden die dazu führen, dass die gesamte Ladung im inneren des Volumens null, also elektrisch neutral ist. Aber dann betrachte ich stattdessen einen Elektronenstrahl im Vakuum (Bildröhre), da gibt es keine Positiven Ladungen im Volumen und trotzdem müsste das Gesetz gelten. Tut es aber nicht. Also irgdwas interpretiere ich da wohl falsch. Kann das jemand erklären?

Danke
Gruß
Kristian

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Erstens, du hast richtig erkannt, dass im Leiter die positiv geladenen Atomrümpfe eine Rolle spielen. Das ist ja auch gerade der Witz an Leitern: Weil die Ladungsträger frei beweglich sind, ist die Nettoladungsdichte an jeder Stelle zu jedem Zeitpunkt null (unter der idealisierten Annahme, dass die Ladungen kontinuierlich verteilt sind und sich unendlich schnell bewegen können, selbstverständlich)!

Zweitens, und das ist das Wichtigere: Ich glaube, du hast eine falsche Vorstellung vom elektrischen Fluss. Elektrischer Fluss ist für beliebige Flächen definiert, im Falle des Gaußschen Gesetzes müssen diese ein Volumen beranden und damit geschlossen sein:

Insbesondere ist es keine dynamische, sondern eine statische Größe: Es ist kein zeitlicher Fluss, sondern beschreibt viel mehr anschaulich, wie viele Feldlinien am Ende das eingeschlossene Volumen durchdringen. Anschaulich funktioniert das Gaußsche Gesetz, weil im einfachsten Fall Feldlinien von innen die Oberfläche einmal durchdringen und sich somit bemerkbar machen, wohingegen Feldlinien von außen die Oberfläche zweimal durchlaufen, nämlich in einheitlicher Richtung - die Oberflächenelemente sind dann aber unterschiedlich orientiert, sodass sich die beiden Terme gegenseitig wegheben werden.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18192

Es ist m.E. hilfreich, sich dem Gaußschen Gesetz auch von der diffentiellen Formulierung her zu nähern:

Es besagt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes gleich der Ladungsdichte ist. Die integrale Form folgt dann mittels Integration über beliebige Volumina V

Auf der rechten Seite folgt unmittelbar die in V enthaltene Ladung Q[V]

Auf der linken Seite verwendet man den Gaußschen Integralsatz, um das Volumenintegral in ein Obflächenintegral umzuwandeln

Der Fluss Phi[S] durch die Oberfläche S[V] des Volumens V bezeichnet soetwas wie die "integrierte Feldliniendichte" auf S. D.h. es liegt ein Maß für "integrierte Feldstärke" vor, die direkt mit der innerhalb von S bzw. V enthaltenen Ladung Q[V] korrespondiert

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18192

Da war jemand schneller ;-)

dA und dS entsprechen sich, ebenso wie delta V und S.

Noch eine Anmerkung: man kann die Eichfreiheit der Maxwell-Gleichungen nutzen, um das Gaußsche Gesetz als universal gültiges Gesetz auch in der vollen Elektrodynamik, d.h. für zeitabhängige Ladungs- und Stromdichten sowie Felder abzuleiten.

xkris · Anmeldungsdatum: 06.10.2005 Beiträge: 281 Wohnort: LÜbeck

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18192

Hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Maxwell-Gleichungen

Was ist daran falsch?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18192

ja, aber beides ist gleichbedeutend - zumindest nach meinem Verständnis der deutschen Sprache ;-)

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Sehe ich auch so: "Oberfläche" sagt ja, dass sie ein Volumen berandet, sonst wäre es einfach eine "Fläche". Und im euklidischen

ist, im Gegensatz zu anderen Topologien, jede geschlossene Fläche Rand eines Volumens.