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Nachricht |
Kubgelblitz
Gast
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 Kubgelblitz Verfasst am: 14. Sep 2014 11:55 Titel: Kleine Kugel rollt von großer Kugel, wann hebt sie ab? |
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Zu dem eben gelesenen Thema noch eine interessante Frage:
Ganz oben auf der großen Kugel R1=1m liegt eine kleine Kugel r2=5cm aus Eisen.
Wegen des labilen Gleichgewichts fängt die kleine Kugel an zu rollen (µ=0,02)
Frage: Bei welchem Winkel (oben 90°, Äquator 0°) fängt die kleine an zu rutschen, bei welchem Winkel hebt sie ab? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Sep 2014 15:11 Titel: |
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| Kubgelblitz hat Folgendes geschrieben: | | Wegen des labilen Gleichgewichts fängt die kleine Kugel an zu rollen ... Bei welchem Winkel (oben 90°, Äquator 0°) fängt die kleine an zu rutschen, |
Was denn nun? Rollen oder rutschen? Das ist ein Unterschied. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 14. Sep 2014 15:19 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Was denn nun? Rollen oder rutschen? Das ist ein Unterschied. |
Das steht doch da: Erst rollt sie und irgendwann fängt sie an zu rutschen. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 14. Sep 2014 15:42 Titel: |
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Ach, so ist das gemeint. Danke!
Ist der angegebene Reibungskoeffizient dann der Rollreibungs-, Haftreibungs- oder Gleitreibungskoeffizient? |
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Kugelblitz
Gast
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| Kugelblitz Verfasst am: 14. Sep 2014 16:31 Titel: |
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Sorry, da ist mir eine Null zuviel entwischt. Rollreibung = 0,0 und die Haft- und Gleitreibung = 0,2. |
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Systemdynamiker
Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen
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| Systemdynamiker Verfasst am: 14. Sep 2014 19:09 Titel: Energie und Grundgesetze |
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1. Schnittbild für den Moment erstellen, in dem die Kugel von Rollen in Rutschen übergeht.
2. Grundgesetze der Translation (Normal- und Tangentialrichtung) und der Rotation aufstellen.
3. Reibungsgesetz liefert eine weitere Gleichung
4. Energieüberlegung liefert Zusammenhang zwischen Winkel und Geschwindigkeit bzw. Winkelgeschwindigkeit.
5. Gleichungssystem lösen.
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Herzliche Grüsse Werner Maurer |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 14. Sep 2014 19:20 Titel: |
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Ich habe noch nie eine Eisenkugel mit 5 cm Radius gesehen und ich wette, euer Lehrer auch nicht. - Das heißt jedoch nicht, dass es so etwas nicht gibt.
Zur Aufgabe:
Erster Schritt, Teilaufgabe "Rutschen".
Berechne die Geschwindigkeit der kleinen Kugel in Abhängigkeit vom Winkel. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 14. Sep 2014 19:48 Titel: |
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Ich glaube kaum, dass es sich hierbei um eine Schulaufgabe handelt... |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 14. Sep 2014 20:13 Titel: |
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Das kann doch nicht zu schwer sein.
Mit Energiesatz ist die Geschwindigkeit und die Beschleunigung der kleinen Kugel zu bestimmen. Daraus ergibt sich das erforderliche Drehmoment, das zur Rotation der Kugel benötigt wird. Dieses Drehmoment muss dann von der Reibkraft übertragen werden.
Die Reibkraft wiederum ist abhängig von der Normalkraft auf die Kugel. Der Winkel, bei dem dieses Moment nicht mehr aufgebracht werden kann, ist der Rutschbeginn. Wenn dann noch die Normalkraft auf die Kugel gleich null wird, hebt diese ab. |
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Kugelblitz
Gast
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| Kugelblitz Verfasst am: 15. Sep 2014 06:48 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | Zur Aufgabe:
Erster Schritt, Teilaufgabe "Rutschen".
Berechne die Geschwindigkeit der kleinen Kugel in Abhängigkeit vom Winkel. |
Mach ich:
pot. Energie:
})
Berechnung der Geschwindigkeit solange die Kugel rollt
Trägheitsmoment
 mit 
 )
 )
 )
 })
Normalkraft 
Zentrifugalkraft )
Reibungskraft \cdot \mu)
Kraft für Drehbeschleunigung
Stimmt das soweit?
| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube kaum, dass es sich hierbei um eine Schulaufgabe handelt... |
Es ist eine Seminararbeit, die allerdings nicht gelöst werden konnte. |
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Kugelblitz
Gast
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| Kugelblitz Verfasst am: 15. Sep 2014 09:18 Titel: |
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Bei meiner Rechnung ist noch eine kleine Ungereimtheit: Das R1 der Rechnung ist entgegen der Aufgabenstellung die Summe der Radien der großen und der kleinen Kugel. |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 15. Sep 2014 09:50 Titel: |
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Scheint soweit richtig zu sein.
Vorschlag:
R ... Radius der großen Kugel
r ... Radius der kleinen Kugel
R1 = R+r (Bezeichnung eigentlich unnötig)
Winkel (bei großer Kugel) ... theta
Drehwinkel der kleinen Kugel ... phi
Rollbedingung:
Außerdem würde ich die Zentrifugalkraft aus dem Spiel lassen und lieber die Zentripetalkraft betrachten. (Ändert jedoch nichts am Resultat).
Arbeite mit nur einer Koordinate (theta). Nicht mit v und nicht mit omega. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 15. Sep 2014 13:01 Titel: |
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| Kugelblitz hat Folgendes geschrieben: | | Sorry, da ist mir eine Null zuviel entwischt. Rollreibung = 0,0 und die Haft- und Gleitreibung = 0,2. |
Bei Stahl auf Stahl und r = 5 cm:
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 15. Sep 2014 18:03 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Das kann doch nicht zu schwer sein. |
Solange die Kugel ohne Schlupf rollt ist es auch nicht schwierig, weil in in dieser Phase mit der Energieerhaltung rechnen kann. Danach funktioniert das aber nicht mehr, weil durch die Reibung ein Teil der mechanischen Energie in Wärme umgewandelt wird. Das kann man nur über eine Differentialgleichung lösen. Deshalb würde ich das Ganze komplett numerisch berechnen. |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 16. Sep 2014 12:37 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Bei Stahl auf Stahl und r = 5 cm:
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Was soll denn diese Information?
Sie hat doch mit der Aufgabe absolut nichts zu tun.
Die Reibungskoeffizienten für die Aufgabe sind doch angegeben. |
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Systemdynamiker
Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen
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| Systemdynamiker Verfasst am: 16. Sep 2014 17:43 Titel: Video |
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Ich habe meinen Lösungsvorschlag (Analyse und Modell) auf Youtube hochgeladen: http://youtu.be/CEIXVfd2kr4
_________________
Herzliche Grüsse Werner Maurer |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 16. Sep 2014 22:51 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Die Reibungskoeffizienten für die Aufgabe sind doch angegeben. |
Genau, und der Mond ist ein Käsekuchen. :-) |
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Systemdynamiker
Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen
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| Systemdynamiker Verfasst am: 17. Sep 2014 05:35 Titel: Experiment |
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Interessant, was im Zusammenhang mit dieser Aufgabe alles diskutiert wird:
@jumi hat noch nie eine Eisenkugel dieser Art gesehen, obwohl in etwa solche Kugeln zum Kugelstossen verwendet werden.
@franz zweifelt an der Angabe zur Gleit/Haftreibungszahl, obwohl das Phänomen Trockenreibung (gerade beim Rollen/Rutschen) viel komplizierter ist, als in den Lehrbüchern beschrieben.
Weil die Physik letztendlich eine experimentelle Wissenschaft ist, müsste man doch ein paar Experimente machen. Und dann merkt man, dass noch viele Fragen offen sind (woraus besteht die grosse Kugel? wie fixiert man die? wie misst man die Bewegung der kleinen Kugel?..).
Diese Aufgabe ist sehr wahrscheinlich aus einer Standardaufgabe entstanden (wann verlässt ein fast reibungsfrei rutschender Eiswürfel das zylinderförmige Dach?). Bei dieser Aufgabe, die ich vor einem Vierteljahrhundert auch noch im Unterricht gebracht habe, muss man die Energieerhaltung, die Beschleunigung bei Kreisbewegung und das Grundgesetz kombinieren. Da es genau eine Lösung gibt, lernen die Schüler diese auswendig und die ganze Physik dahinter ist gestorben. Also nimmt man eine rollende Kugel, bis ein Kollege mit der Kritik auffährt, dass die Kugel unabhängig von der Haftreibungszahl rutscht, bevor sie abhebt. Und dann ist man bei dieser Aufgabe. Aber es ist immer noch keine Physik im Sinne von Modellierung realer und relevanter Phänomene. Solche Aufgaben stehen zur Physik wie die Kreuzworträtsel zur Literatur.
_________________
Herzliche Grüsse Werner Maurer |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 17. Sep 2014 07:58 Titel: |
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Guten Morgen!
Mein Einwand oben hing mit der postulierten Rollreibungszahl null zusammen, wo ich mir schwer verstellen kann, wie es zum Rollen kommen soll. Vorschlag deshalb, statt Zahlenwerten:  .
mfG |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 17. Sep 2014 08:27 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Mein Einwand oben hing mit der postulierten Rollreibungszahl null zusammen, wo ich mir schwer verstellen kann, wie es zum Rollen kommen soll. Vorschlag deshalb, statt Zahlenwerten: |
Dieser Einwand zeigt, dass du ein falsches Verständnis von Rollreibung hast.
Eine Rollreibungskraft ist doch zum Drehen der kleinen Kugel nicht erforderlich! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 17. Sep 2014 19:22 Titel: |
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Ganz ohne numerische Berechnung komme ich zwar nicht aus, aber zumindest fast. Solange die Kugel nicht abhebt, gilt ganz allgemein
und
(wobei r der Radius der rollenden Kugel ist)
In der ersten Phase, in der die Kugel ohne Schlupf rollt, gilt zusätzlich
Daraus folgt für die Haftreibungskraft
Diese ist begrenzt durch
)
(wobei R die Summe der Radien beider Kugeln ist)
Beim Übergang zum Rollen mit Schlupf sind beide Ausdrücke gleich. Jetzt brauche ich nur noch die Geschwindigkeit und die liefert in dieser Phase die Energieerhaltung:
)
Alles zusammen ergibt den Winkel, bei dem die Kugel anfängt zu rutschen:
)
Die zweite Phase wird etwas schwieriger. Durch Einsetzen der Gleitreibung in die erste Gleichung erhalte ich zunächst
)
und mit
(ich lasse die Kugel rechts herunter rollen - und damit in mathematisch negativer Richtung) schließlich die Differentialgleichung
 - \mu \cdot v)
die sich analytisch integrieren lässt:
 \cdot \sin \varphi - 3 \cdot \mu \cdot \cos \varphi }}{{4 \cdot \mu ^2 + 1}} + K \cdot \exp \left( { - 2 \cdot \mu \cdot \varphi } \right))
wobei sich die Integrationskonstante aus den Werten für den Übergang zum Gleiten ergibt:
 \cdot \sin \varphi _1 - 3 \cdot \mu \cdot \cos \varphi _1 }}{{4 \cdot \mu ^2 + 1}}} \right] \cdot \exp \left( {2 \cdot \mu \cdot \varphi _1 } \right))
Um den Winkel für die Grenzbedingung
zu berechnen, bei der die Kugel abhebt, muss ich dann aber doch zur Numerik greifen. Allerdings lässt sich dafür relativ einfach ein brauchbares Fixpunktverfahren basteln. Der Fixpunkt liegt bei
 \cdot \exp \left( { - 2 \cdot \mu \cdot \varphi _2 } \right)}}{{3 \cdot g \cdot R \cdot \cos \varphi _2 }} - 2 \cdot \mu } \right]
<br />
)
Den Startpunkt des Ferfahrens wählt man sinnvollerweise zwischen 0 und  .
Es sieht zwar so aus, als ob da noch die Fallbeschleunigung und die Summe der Radien drin stecken würden, aber tatsächlich spielen die für das Ergebnis keine Rolle. Das würde man sehen, wenn ich alle Zwischenergebnisse in die letzte Gleichung einsetze und dann g und R rauskürze, aber diese Mühe erspare ich mir. |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 17. Sep 2014 19:33 Titel: Re: Experiment |
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| Systemdynamiker hat Folgendes geschrieben: | Interessant, was im Zusammenhang mit dieser Aufgabe alles diskutiert wird:
@jumi hat noch nie eine Eisenkugel dieser Art gesehen, obwohl in etwa solche Kugeln zum Kugelstossen verwendet werden. |
Beim Kugelstoßen werden Kugeln aus Stahl oder anderen metallischen Legierungen verwendet. Aber niemals aus Eisen. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 17. Sep 2014 19:39 Titel: Re: Experiment |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | | Beim Kugelstoßen werden Kugeln aus Stahl oder anderen metallischen Legierungen verwendet. Aber niemals aus Eisen. |
Kanonenkugeln wären ein besseres Beispiel gewesen. |
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lupula91
Anmeldungsdatum: 04.04.2017
Beiträge: 6
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| lupula91 Verfasst am: 04. Apr 2017 21:38 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | Ganz ohne numerische Berechnung komme ich zwar nicht aus, aber zumindest fast. Solange die Kugel nicht abhebt, gilt ganz allgemein
und
(wobei r der Radius der rollenden Kugel ist)
In der ersten Phase, in der die Kugel ohne Schlupf rollt, gilt zusätzlich
Daraus folgt für die Haftreibungskraft
Diese ist begrenzt durch
(wobei R die Summe der Radien beider Kugeln ist)
Beim Übergang zum Rollen mit Schlupf sind beide Ausdrücke gleich. Jetzt brauche ich nur noch die Geschwindigkeit und die liefert in dieser Phase die Energieerhaltung:
Alles zusammen ergibt den Winkel, bei dem die Kugel anfängt zu rutschen:
Die zweite Phase wird etwas schwieriger. Durch Einsetzen der Gleitreibung in die erste Gleichung erhalte ich zunächst
und mit
(ich lasse die Kugel rechts herunter rollen - und damit in mathematisch negativer Richtung) schließlich die Differentialgleichung
die sich analytisch integrieren lässt:
wobei sich die Integrationskonstante aus den Werten für den Übergang zum Gleiten ergibt:
Um den Winkel für die Grenzbedingung
zu berechnen, bei der die Kugel abhebt, muss ich dann aber doch zur Numerik greifen. Allerdings lässt sich dafür relativ einfach ein brauchbares Fixpunktverfahren basteln. Der Fixpunkt liegt bei
Den Startpunkt des Ferfahrens wählt man sinnvollerweise zwischen 0 und .
Es sieht zwar so aus, als ob da noch die Fallbeschleunigung und die Summe der Radien drin stecken würden, aber tatsächlich spielen die für das Ergebnis keine Rolle. Das würde man sehen, wenn ich alle Zwischenergebnisse in die letzte Gleichung einsetze und dann g und R rauskürze, aber diese Mühe erspare ich mir. |
Hallo, der Thread hier ist schon älter, aber ich muss für eine Präsentation ebenfalls diese Aufgabe lösen... Ich komme aber leider nicht bei allen deinen Schritten hinterher... Vielleicht kannst du mir nochmal ein paar Zwischenschritte schreiben oder das genaue Vorgehen erklären? Ich stehe mit dieser Aufgabe schon länger auf Kriegsfuß und komme nicht weiter. Vielleicht sehe ich auch einfach vor lauter Denken den einfachsten Weg nicht, aber ich weiß im Moment nicht weiter...
Würde mich sehr freuen!
Danke!
Regina |
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