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gast123456789
Gast
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 gast123456789 Verfasst am: 04. Sep 2014 19:05 Titel: Druck im inneren der Erde berechnen |
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Meine Frage:
Ich habe eine schwierige Aufgabe bekommen:
Berechnen Sie den Druck im Inneren der Erde. Gehen Sie dabei von einer homogenen Dichteverteilung aus.
Mehr steht da nicht.
Kann mir jemand helfen?
Meine Ideen:
ich komme mit den grundsätzlich bekannten formeln nicht weiter |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 04. Sep 2014 19:22 Titel: |
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Modell 1: Das Gleichgewicht für eine sehr große Flüssigkeitsmenge, die unter dem Einfluß der Gravitation zusammengehalten werden (wie Sterne). Diese Körper haben (ohne Rotation) Kugelgestalt. (Landau / Lifschitz VI§4). Die Dichte ist dabei kugelsymmetrisch, aber nicht homogen.
Modell 2: Die homogene Massekugel (quasi ein Wassertropfen; hier schon mehrfach diskutiert) mit linear abnehmender Fallbeschleunigung g(r). Daraus läßt sich der (fiktive) Schweredruck p(r>0) (Druck der darüber lastenden "Wasser"masse) berechnen, indem man das Gewicht oberhalb dieser inneren Kugel durch deren Fläche dividiert. Aber was ist bei r = 0? 
Ich hoffe auf weitere und bessere Modelle! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 04. Sep 2014 21:09 Titel: Re: Druck im inneren der Erde berechnen |
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| gast123456789 hat Folgendes geschrieben: | | ich komme mit den grundsätzlich bekannten formeln nicht weiter |
Welche Formeln kennst Du denn und wie weit kommst Du damit? |
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gast123456789
Gast
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| gast123456789 Verfasst am: 05. Sep 2014 14:24 Titel: |
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Nu p=f/a und die ideale gasgleichung pv=nrt[/i] |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 05. Sep 2014 15:10 Titel: |
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Die Erde ist aber nicht gasförmig. Am ehesten kann sie für die Druckberechnung als Flüssigkeit betrachtet werden. Die Druckänderung innerhalb einer dünnen Kugelschale der Dicke  im Abstand  vom Mittelpunkt ist dabei
}{A(r)})
) = Gravitationskraft auf die Masse in der Kugelschale zwischen und
) = Oberfläche der Kugel vom Radius r
Für gegen 0 wird das exakt und man gewinnt so eine Gleichung für
die bei konstanter Dichte leicht zu lösen ist. Es ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel für den Druck als Funktion von r. Die Rotation der Erde ist bei dieser Betrachtung vernachlässigt. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2014 00:23 Titel: |
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Mir scheint, daß dies dem angesprochenen Modell 2 entspricht, für das ich =\frac{\rho g}{4 \pi R r^2}\left(R^4-r^4\right)) erhalte. Zumindest nahe der Oberfläche dürfte es realistisch sein =\rho g (R-r)) , im Zentrum versagt es.
Eine alternative Überlegung wäre Modell 1, erstmal mit rho = const(?), kurz  |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 06. Sep 2014 09:08 Titel: |
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@franz
Mein Modell führt zu einem endlichen Druck im Mittelpunkt der Erde. Es entspricht nicht deinem Modell 2.
Man betrachte bei deinem Modell 2 eine Flüssigkeitskugel mit Radius R, die von außen mit einem Druck p beaufschlagt wird. Es geben keine sonstigen Kräfte, auch keine Schwerkraft. Zur Berechnung des Drucks im Abstand  vom Mittelpunkt würdest du die zum Druck p gehörende Kraft  auf die Fläche =4\pi r^2) projizieren und dort einen Druck
=p\frac {R^2}{r^2})
berechnen. Bekanntlich wäre aber der Druck innerhalb der Flüssigkeit überall konstant = p. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 06. Sep 2014 11:31 Titel: |
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| gast123456789 hat Folgendes geschrieben: | | Nu p=f/a und die ideale gasgleichung pv=nrt[/i] |
Dass die Erde nicht aus Gas besteht, wurde Dir ja schon gesagt. Die Gleichung für den Druck ist schon wesentlich hilfreicher. Es wurde aber schon angedeutet, dass die Kräfte und Flächen aufgrund der unterschiedlichen Gravitation und der Kugelgestalt der Erde nicht überall gleich sind. Man muss also die Druckdifferenzen vom Zentrum bis zur Oberfläche aufsummieren bzw. integrieren. Auf ein sehr kleines Teilvomumen der Fläche A mit der Höhe wirkt die Gravitationskraft
Darus folgt die Druckdifferenz
und für beliebig dünne Schichten schließlich die hydrostatische Grundgleichung
Da die Dichte konstant sein soll, fehlt jetzt nur noch die lokale Fallbeschleunigung g. Wegen der Kugelsymmetrie hilft dabei das Newtonsche Schalentheorem, nach dem eine homogene Kugelschale auf Körper in ihrem Inneren keine Gravitationakräfte ausübt und sich nach außen wie eine gleich große Punktmasse verhält. Das bedeutet, dass man nur die unterhalb des Körpers befindliche Masse berücksichtigen muss:
Da führt zur Gleichung
Die muss man jetzt nur noch integrieren:
und mit
 = 0)
normieren:
Mit der Masse anstelle der Dichte sieht es so aus:
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 20. Sep 2014 07:53 Titel: |
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Ich glaube statt dem r² sollte ein (r-h)² stehen, oder? Wenn ich mein Integral (p1) analytisch löse erhalte ich die selbe Formel (p2), bis auf diesen einen Unterschied. Geplottet sieht das dann so aus:
 http://yukterez.enabled.io/druck,kugel.png
Ohne das -h für den inneren Radius wäre die Kurve in die andere Richtung (nach unten) gebogen, der Druck würde dann also anfangs nur langsam steigen, und je näher man dem Mittelpunkt kommt umso mehr. In meinem Plot mit (r-h)² statt r² pendelt sich der Druck aber im Inneren bei 150 GPa (1.5e11 Pa) ein, während er an der Kruste noch recht linear steigt.
Mit einer groben Anpassung der Dichtefunktion komme ich sogar recht nah an die von Wikipedia geforderten 330 GPa im inneren Kern heran, siehe yukterez.ist.org/kugel,druck.png (mit der Dichtefunktion muss ich mich aber noch spielen damit sie so aussieht wie auf dem PREM-Diagramm).
Liege ich mit meinem (r-h)² und dem Integral richtig, oder falsch?
Eine recht ähnliche Situation wie der Threadersteller habend,
http://yukterez.ist.org/y.png |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 21. Sep 2014 18:58 Titel: |
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| yukterez hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube statt dem r² sollte ein (r-h)² stehen, oder? |
Das kommt darauf an, was Du mit r und h meinst. Bei mir ist r der Abstand vom Zentrum. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 22. Sep 2014 22:54 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Bei mir ist r der Abstand vom Zentrum. |
Das kann nicht sein, sonst wäre der Druck im Inneren der Erde 0, denn mit r im Multiplikator wäre bei r=0 auch p=0: Screenshot.png
Bei dir kann mit r nur der Abstand von der Oberfläche gemeint sein (also die Tiefe). Wenn man's so betrachtet sind unsere Ergebnisse identisch.
Proberechnend,
Y. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 22. Sep 2014 23:03 Titel: |
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| yukterez hat Folgendes geschrieben: | | sonst wäre der Druck im Inneren der Erde 0 |
Da ich oben zu einem anderen Ergebnis komme, müsste ich mich irgendwo verrechnet haben. Wo soll dieser Fehler stecken? |
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adsaddadsd
Gast
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| adsaddadsd Verfasst am: 23. Sep 2014 01:11 Titel: |
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Das habe ich raus:
) |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 23. Sep 2014 06:55 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Da ich oben zu einem anderen Ergebnis komme, müsste ich mich irgendwo verrechnet haben. Wo soll dieser Fehler stecken? |
In deiner vorletzten Formel in deinem vorletzten Beitrag wird in der Funktion für den Druck mit R² multipliziert. Daher müsstest bei R=0 (im Zentrum der Erde) auch für p=0 herausbekommen, und auf Meereshöhe den höchsten Druck. Bis auf diese Sache ist deine Formel aber korrekt. |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 23. Sep 2014 07:04 Titel: |
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| adsaddadsd hat Folgendes geschrieben: | | Das habe ich raus: |
So ist es richtig und deckt sich mit meiner Formel: Vergleich.png
Vergleichend,
Y. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 23. Sep 2014 08:41 Titel: |
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| yukterez hat Folgendes geschrieben: |
In deiner vorletzten Formel in deinem vorletzten Beitrag wird in der Funktion für den Druck mit R² multipliziert. Daher müsstest bei R=0 (im Zentrum der Erde) auch für p=0 herausbekommen, und auf Meereshöhe den höchsten Druck. Bis auf diese Sache ist deine Formel aber korrekt. |
 ist doch bei Dr. Stupid der Druck im Mittelpunkt der Erde und sein  ist der Erdradius und nicht der lokale Radius, an dem man den Druck betrachtet. Der Druck als Funktion des lokalen Radius heißt bei ihm  . |
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yukterez
Anmeldungsdatum: 20.09.2014
Beiträge: 96
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| yukterez Verfasst am: 23. Sep 2014 09:33 Titel: |
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Ach ich Dummerchen, wie konnte ich das nur übersehen. So macht es natürlich Sinn!
Es jetzt erst sehend,
Y. |
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