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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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 quiddi Verfasst am: 19. Apr 2014 23:41 Titel: Bell Zustände maximal Verschränkt |
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Hallo zusammen,
man ließt ja immer, dass die Bell-Zustände Maximal verschränkt sind. Ich wollte mal versuchen dies von theoretischer Seite aus zu zeigen. Jedoch weiß ich nicht genau wie. Die Verschränkung ist ja allgemein über die Neumann Entropie definiert:
))
Mit  ist die Teilspur über den Raum von Alice gemeint und  ist der abgespurte Dichteoperator aus dem Tensorraum. Ich weiß, dass man bei dem Logarithmus eines Operators, der Eigenwert im Logarithmus drinnen bleibt.
Also mal kurz allgemien, wir haben einen Operator D, mit Eigenwert  , angewandt auf einen Zustand  , dann gilt:
|\psi >=ln(\lambda)|\psi>)
Damit habe ich es auch schon geschafft zu zeigen, dass wenn die Schmidt-Zerlegung nur einen Term hat, S=0 folgt.
Um zu zeigen, dass die Bell-Zustände maximal verschränkt sind, sollte doch meine Entropie positiv gegen unendlich divergieren. Dies würde sie machen wenn ich eine 0 im Argument vom ln hätte. Wenn ich mir das aufschreibe kommt dies bei mir aber nicht raus.
Hätte mir einer von euch einen Ansatz?
Danke für eure Hilfe und schöne Ostern. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2014 10:00 Titel: |
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Um die Entropie zu berechnen, musst du zunächst mal die Spurbildung definieren, also
= \sum_{a,b}\langle a,b,|\ldots |a,b\rangle)
Dabei musst du die Basiszustände |a,b> so wählen, dass die Projektoren P in rho diejenigen Unterräume annihilieren, in denen der Logarithmus nicht definiert ist. Du musst erst projizieren, dann logarithmieren.
Warum denkst du, dass die von-Neumann nicht Null sein soll? Der Bellzustand ist ein reiner Zustand, deswegen muss die Entropie Null sein. Ich denke, du verwechselst maximal verschränkt mit maximal gemischt
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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| quiddi Verfasst am: 20. Apr 2014 12:43 Titel: |
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| Zitat: | | Warum denkst du, dass die von-Neumann nicht Null sein soll? Der Bellzustand ist ein reiner Zustand, deswegen muss die Entropie Null sein. Ich denke, du verwechselst maximal verschränkt mit maximal gemischt |
Steht das dann auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenverschränkung) falsch, oder was verstehe ich falsch:
| Zitat: | | Die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators eines unverschränkten Zustandes ist null. Dagegen ist die Von-Neumann-Entropie eines reduzierten Dichteoperators eines maximal verschränkten Zustandes (wie z. B. eines Bell-Zustandes) maximal. |
Ich versuchs mal aufzuschreiben für den  Zustand. Der komplette Dichteoperator ist gegeben mit:
(<0_A,0_B|)=\frac{1}{2}(|0_A,0_B><0_A,0_B|+|0_A,0_B><1_A,1_B|+|1_A,1_B><0_A,0_B|+|1_A,1_B><1_A,1_B|))
Spur ich jetzt über die Zustände von Bob ab, dann ergibt sich mein reduzierter Dichteoperator für Alice:
=\frac{1}{2}(|0_A><0_A|+|1_A><1_A|))
So und jetzt weiß ich nicht genau wie ich das verarbeiten soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2014 21:10 Titel: |
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OK, jetzt hast du eine reduzierte Dichtematrix, und dafür sollte die Entropie maximal sein (ich hatte dich da falsch verstanden). Die Dichtematrix lautet jetzt
und dafür solltest du den Logarithmus und die Spur berechnen können.
Ich schreib noch was dazu, wenn Star Trek rum ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2014 08:44 Titel: Re: Bell Zustände maximal Verschränkt |
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| quiddi hat Folgendes geschrieben: | Also mal kurz allgemien, wir haben einen Operator D, mit Eigenwert , angewandt auf einen Zustand , dann gilt:
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Das gilt i.A. nicht, sondern nur, wenn psi ein Eigenzustand ist, d.h.
|\lambda\rangle=\ln(\lambda)|\lambda\rangle)
| quiddi hat Folgendes geschrieben: | | Um zu zeigen, dass die Bell-Zustände maximal verschränkt sind, sollte doch meine Entropie positiv gegen unendlich divergieren. |
Für den Bellzustand selbst ist die Entropie Null.
Für den teilweise ausgespurten Bellzustand ist die Entropie genau dann maximal, wenn es sich um einen maximal gemischten Zustand handelt. Das ist hier offensichtlich der Fall.
Aber das Maximum der Entropie in einem endlich-dimensionalen Hilbertraum ist nicht unendlich, sondern ln(N), wobei N die Dimension bezeichnet, also hier N = 2.
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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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| quiddi Verfasst am: 26. Apr 2014 17:43 Titel: |
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So dann probier ich es nochmal:
Also wir haben wie oben schon geschrieben, die Dichtematrix:
Für die Reihenentwicklung des Logarithmus gilt:
=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...)
Somit kann ich schreiben:
Wobei heir I die Einheitsmatrix ist und x eine Matrix die nachher in der Entwicklung vom ln steht. Mit der Reihenentwicklung vom ln sehe ich dann, dass ich die Einheitsmatrix ausklammern kann. Womit dann gilt:
=-ln(2)I)
Somit ergibt sich dann für die Entropie:
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18072
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| TomS Verfasst am: 27. Apr 2014 10:51 Titel: |
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So ist das.
Man kann sich die Berechnung des Logarithmus bzw. einer allgemeinen Matrixfunktion einer selbstadjungierten (!) Matrix auch anders überlegen. Vorausgesetzt wird immer, dass die entsprechenden Objekte existieren.
Die Matrix rho habe folgende Eigenwerte und Eigenvektoren
|\lambda\rangle = 0)
Die Eigenvektoren bilden ein VONS, d.h.
Außerdem gelte eine Potenzreihenentwicklung
 = \sum_kf_k\rho^k)
Dann ist
 = \sum_\lambda f(\rho)\,|\lambda\rangle\langle\lambda| = \sum_\lambda \sum_k f_k\rho^k \,|\lambda\rangle\langle\lambda| = \sum_\lambda \sum_k f_k\lambda^k\, |\lambda\rangle\langle\lambda| = \sum_\lambda f(\lambda)\,|\lambda\rangle\langle\lambda| )
Für die Spur gilt in der Eigenbasis von rho
 = \sum_{\lambda^\prime}\langle\lambda^\prime|f(\rho)|\lambda^\prime \rangle = \sum_{\lambda,\lambda^\prime}f(\lambda)\,\langle\lambda^\prime|\lambda\rangle \, \langle\lambda|\lambda^\prime\rangle = \sum_\lambda f(\lambda))
wobei die Summe über alle eindimensionalen Eigenräume von rho läuft.
Wenn man sich das einmal überlegt hat, kann man dies für beliebige selbstadjungierte Matrizen bzw. Operatoren verwenden. Die Problematik ist jedoch, die Existenz der Objekte zu zeigen, also die Konvergenz der Reihenentwicklungen sowie die Existenz von f auf allen Unterräumen.
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TomS
Moderator
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