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Von Neumann Entropie eines reinen Zustandes
 
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yellowfur
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Anmeldungsdatum: 30.11.2008
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 16. Jun 2012 17:23    Titel: Von Neumann Entropie eines reinen Zustandes Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo an alle,

Ich stehe grade ein bisschen auf dem Schlauch, was das Nachrechnen der Von-Neumann-Entropie eines reinen Zustandes betrifft.
Die Von-Neumann-Entropie ist definiert als

und ich möchte den Zustand betrachten, der ein reiner Zustand ist, da und

Egal, wie ich es anstelle, wenn ich



in die von Neumann-Entropie einsetze, komme ich niemals auf null:


Den ln nehme ich zur Basis 2, damit das Ergebnis in Bits herauskommt. Was mich auch noch stört, ist, dass ich das Gleiche mit einem gemischten Zustand machen kann, der ja ein Ergebnis ungleich null liefern sollte:



Das ist aber genau dasselbe Ergebnis, denn die Nebendiagonalen stören ja nicht, wenn ich immer nur die Spur ausrechne? Wo ist hier mein Denkfehler, das kann so nicht stimmen?


Meine Ideen:
Ansätze stehen alle in der Erklärung, ist wahrscheinlich nur ein Rechenfehler
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Jun 2012 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst doch gar nicht so einfach den Logarithmus einer Matrix berechnen, ohne sie zunächst auf Diagonalform zu bringen.
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yellowfur
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 16. Jun 2012 18:08    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, daran wird es dann wohl auch liegen. Ich habe den Logarithmus als skalaren Logarithmus verstanden und einfach auf jedes Matrixelement angewandt, genau wie eine einfache Multiplikation mit einem Skalar.

Interessant, dass wolframalpha es genauso macht ...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%281%2F2*[{{1%2C1}%2C+{1%2C1}}]%29

Ich guck jetzt mal, was mit Diagonalisierung herauskommt.

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yellowfur
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 16. Jun 2012 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

So wirklich schnell besser wird es nicht. Die Diagonalisierung von

ist


Mit den Diagonalelementen darf ich den Logarithmus ja nehmen, aber ln 0 ist jetzt wieder kein tolles Ergebnis:



Es sein denn, ich dürfte ln 0 = 0 setzen, dann würde auch 0 herauskommen...


Edit: Die Diagonalmatrix hab ich von Hand ausgerechnet, wolframalpha meint aber dasselbe:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+{{1%2C1}%2C{1%2C1}}

Edit 2: Ich habe nur die Jordansche Normalform eingesetzt, aber laut
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_function
sollte ich noch rechts und links die Transformationsmatrizen dranmultiplizieren, nachdem ich die Funktion angewandt habe. Wahrscheinlich führt mich das grade bei dem ln 0 auf ein
, was gegen null konvergiert.

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yellowfur
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 16. Jun 2012 19:08    Titel: Antworten mit Zitat

Die Transfermatrix habe ich jetzt auch:




Offensichtlich tut es jedes beliebige a,b. Das Problem ist dann aber, dass die Logarithmusfunktion vom Nulleintrag immer noch nicht eindeutig gegen Null geht:





Edit: Jetzt hab ich's endlich raus, wenn man statt ln 0 erstmal ln x einsetzt und so tut, als wenn der Term nicht sofort gegen unendlich streben würde und den obigen Ausdruck formal durchrechnet, heben sich jetzt alle ln weg und man bekommt die Nullmatrix



Ich verstehe jetzt auch, warum mein Buch diesen Teil mit einer kleinen Nebenbemerkung übersprungen hat.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 16. Jun 2012 21:18    Titel: Antworten mit Zitat

Elementweise darfst du den Logarithmus nicht berechnen; und eigtl. glaube ich auch deine Dichtematrix nicht. Am einfachsten berechnest du die Spur in der Eigenbasis, die du ohnehin gegeben hast.
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Beitrag Rmn Verfasst am: 17. Jun 2012 03:33    Titel: Antworten mit Zitat

Deine Matrix mit 1-Einträgen überall ist nicht invertierbar, damit gibt es keinen Logarithmus davon.
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 17. Jun 2012 10:32    Titel: Re: Von Neumann Entropie eines reinen Zustandes Antworten mit Zitat

Nachdem wir jetzt geschrieben haben wie es nicht geht, hier die Lösung ;-)

Die Entropie lautet



Deine Hilbertraumbasis (z.B. des harmonischen Oszillators) lautet



Nun führst du entsprechend deines Zustandes eine neue Basis ein





Dein Dichteoperator lautet



Die Entropie berechnest du nun durch Spurbildung gemäß der neuen Basis, also



Operatorwertige Funktionen f(A) für hermitesche Operatoren A mit vollständiger Eigenbasis sowie Eigenwerten a kann man (unter bestimmten mathematischen Voraussetzungen) wie folgt definieren:



Genauso ein Fall liegt hier vor. Der Dichteoperator entspricht dem A, die Funktion f(A) dem Logarithmus, die Eigenbasis der neuen Basis B’. Problematisch sind nur die Eigenwerte, da der Logarithmus natürlich für den Eigenwert 0 nicht definiert ist. Der Basisvektor |+> ist ja ein Eigenvektor zum Dichteoperator mit Eigenwert 1, alle anderen Basisvektoren sind Eigenvektor mit Eigenwert 0.

Aber das stört hier nicht, da aufgrund der Spurbildung über diese Eigenvektoren nicht summiert wird, denn



wobei alle Terme ab dem zweiten Term wg. der Projektion auf |+> Null ergeben





da ja im Dichteoperator nur der erste Basisvektor |+> vorkommt.

Damit erfolgt die reduzierte Spurbildung * nur über den Unterraum mit nicht-verschwindenden Komponenten bzgl. der Basis B’, also



Und auf diesem Unterraum ist der Operator-Logarithmus definiert. Der Logarithmus des Operators ergibt für den Eigenwert 1 das Resultat 0, so dass die Entropie tatsächlich verschwindet.

Für alle anderen Dichteoperatoren funktioniert die Berechnung analog, d.h. die Spurbildung erfolgt geschickterweise über eine Eigenbasis, wobei die Spursumme auf den Unterraum mit nicht-verschwindenen Komponenten im Dichteoperator reduziert wird.

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yellowfur
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Beiträge: 802

Beitrag yellowfur Verfasst am: 17. Jun 2012 17:37    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für deine Antwort! Das macht schon Sinn, so wie du es erklärst.

Leider gibt es bei meiner Lösung jetzt noch zwei Punkte, die mir unklar sind und die ich lieber nochmal nachfragen will:

Erstens, wofür brauche ich in meinem Fall eine invertierbare Matrix? Meine Dichtematrix mit den 1-Einträgen ist diagonalisierbar, damit darf ich laut
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm_of_a_matrix#Calculating_the_logarithm_of_a_diagonalizable_matrix
den Logarithmus berechnen.
Zweitens: Wenn ich eine Diagonalmatrix habe, darf ich doch den Logarithmus einfach auf die Elemente der Hauptdiagonale anwenden, oder? Genauso darf ich ja auch die Exponentialfunktion auf diese Elemente anwenden und für den gemischten Zustand, den ich oben erwähne, stimmt -0.69 auch.

Auch wenn die andere Lösung eleganter und schneller ist, sehe ich noch keinen Grund dafür, dass meine Lösung völlig verkehrt sein könnte. Das Einzige, was nicht stimmt, ist, dass ich nicht zuerst A' berechnet habe wie auf Wikipedia, aber im Prinzip müsste man es doch auch über den Matrixlogarithmus rechnen können, oder?

Das fände ich noch interessant zu wissen.

Edit: Beim Nachrechnen von A' =V^(-1)AV stosse ich auf das Problem, dass V nicht invertierbar ist (Eigenvektoren -1,1 und 0,0). Also ist wohl das der Grund, warum meine Rechnung von oben so eigentlich nicht geht und nicht richtig ist.

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Rmn



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Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 17. Jun 2012 18:18    Titel: Antworten mit Zitat

yellowfur hat Folgendes geschrieben:
Erstens, wofür brauche ich in meinem Fall eine invertierbare Matrix? Meine Dichtematrix mit den 1-Einträgen ist diagonalisierbar, damit darf ich laut
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm_of_a_matrix#Calculating_the_logarithm_of_a_diagonalizable_matrix
den Logarithmus berechnen.
Da steht auch: "A matrix has a logarithm if and only if it is invertible".
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 17. Jun 2012 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

yellowfur hat Folgendes geschrieben:
... wofür brauche ich in meinem Fall eine invertierbare Matrix? Meine Dichtematrix mit den 1-Einträgen ist diagonalisierbar, ...


Rmn hat Folgendes geschrieben:
... Da steht auch: "A matrix has a logarithm if and only if it is invertible".


yellowfur, du benötigst keine invertierbare Matrix!

Genauer: i.A. benötigst du zur Berechung des Logarithmus eine invertierbare Matrix, aber hier geht es nicht um die allgemeine Berechnung eines Logarithmus, sondern um die Spur über eine (Funktion der) Dichtematrix. Und diese Spur wird nur über den Unterraum gebildet, auf dem die Dichtematrix nicht-verschwindende Komponenten hat (und somit invertierbar ist). Diese Reduzierung der Spur auf diesen Unterraum ist letztlich eine Definition, wie die Formel anzuwenden ist. Anders gesagt, die Berechnung dieser Funktion der Dichtematrix erfolgt gemäß der Vorschrift „erst projizieren, dann die Funktion berechnen“. Diese Einschränkung wirst du letztlich bei jeder beliebigen Vorgehensweise in irgendeiner Form berücksichtigen müssen.

Aber diese Definition findest du natürlich nicht für den allgemeinen Fall des Matrixlogarithmus, weil sie da überhaupt keinen Sinn ergibt bzw. weil sie nicht motiviert werden kann. Umgekehrt wäre aber die Forderung, eine Dichtematrix müsse auf dem gesamten Hilbertraum invertierbar sein (um z.B. die Entropie zu berechnen) physikalisch unsinnig. I.A. wird eine Dichtematrix nicht invertierbar sein - und sie muss es auch nicht sein, wenn man die obige Definition berücksichtigt.

Bzgl. deiner zweiten Frage: ja, die Diagonalisierung verwende ich ja auch in meinem Argument zur Definition der operatorwertigen Funktion f(A) mittels der Anwendung auf die Eins als Summe über die Projektoren |a><a|; hier verwende ich explizit die Basis, in der A und damit f(A) diagonal ist. Aber wiederum gibt es neben der Diagonalform noch Zusatzforderungen! So muss eben f(a) für alle a definiert sein - oder ich muss angeben können, dass und warum ich die a’s, für die f(a) nicht definiert ist, ausschließen kann. I.A. habe ich ein solches Argument nicht, im Falle der Dichtematrix mit der o.g. Vorschrift „erst projizieren, dann die Funktion berechnen“ dagegen schon.

EDIT:

Mir fällt noch ein Argument ein: es geht ja nicht um die Funktion



sondern um



Diese kann aber natürlich auf einer diagonalen Dichtematrix (und damit im gesamten Hilbertraum) auch für verschwindende Komponenten vernünftig definiert werden, da ja gilt


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yellowfur
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 18. Jun 2012 11:44    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, genau das hat mich noch dabei gewundert. Ich schätze mal, am einfachsten ist es wirklich, die Projektion vorher anzuwenden und so viele unnötige Terme zu beseitigen wie möglich, anstatt sich nachher zu wundern, ob die Logarithmusfunktion noch irgendwohin konvergiert.

Stimmt schon, bei der Spur über die Dichtematrix sollte ich immer den Vorteil ausnutzen, dass ich durch die Projektionsvorschrift die physikalisch unsinnigen Terme loswerden kann.

Interessant, dass ich tatsächlich keine Invertierbarkeit der Matrix brauche, wenn es sich um die Spur der Dichtematrix handelt, die nur im Unterraum der nicht verschwindenden Komponenten angewandt wird.

Verstanden habe ich es, aber ich sehe schon, die Logarithmusfunktion im Allgemeinen mag ich mir nochmal anschauen. Rechnet man mit Matrizen statt mit den Projektionsvorschriften, stösst man anscheinend schnell rechnerisch an die Grenzen...

Vielen Dank für die Hilfe!

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 18. Jun 2012 11:52    Titel: Antworten mit Zitat

yellowfur hat Folgendes geschrieben:
Danke, genau das hat mich noch dabei gewundert. Ich schätze mal, am einfachsten ist es wirklich, die Projektion vorher anzuwenden und so viele unnötige Terme zu beseitigen wie möglich, anstatt sich nachher zu wundern, ob die Logarithmusfunktion noch irgendwohin konvergiert.
Ja

yellowfur hat Folgendes geschrieben:
Rechnet man mit Matrizen statt mit den Projektionsvorschriften, stösst man anscheinend schnell rechnerisch an die Grenzen...

Jein. Wie gesagt, im Falle des "Logirthmus von Null" benötigst du immer irgend eine weitere Idee oder Vorschrift, wie damit umzugehen ist. Bei Matrizen ist das eigtl. wieder ganz einfach:
- Diagonalisieren
- Matrix auf Unterraum mit Diagonalelement > 0 reduzieren (= projizieren)
- Logarithmus berechnen
(das selbe wie im allgemeinen Formalismus auch, nur muss man sich eben klar machen, warum)

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Apr 2014 11:14, insgesamt einmal bearbeitet
yellowfur
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Beitrag yellowfur Verfasst am: 18. Jun 2012 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine eher, dass n X n Matrizen bei n = 4 und aufwärts halt schon mühsamer zu berechnen sind, als wenn ich einfach die kompakte Dirac-Schreibweise wähle (sieht man auch an deiner Lösung).

Aber stimmt schon, mit Matrizen muss die Rechnung ja mit der geeigneten Vorschrift genauso richtig sein wie im allgemeinen Formalismus. Interessanterweise traue ich mich das manchmal bei Matrizen nicht, im allgemeinen Formalismus aus der QM bin ich es aber eher gewöhnt.

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Beitrag TomS Verfasst am: 18. Jun 2012 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

yellowfur hat Folgendes geschrieben:
Ich meine eher, dass n X n Matrizen bei n = 4 und aufwärts halt schon mühsamer zu berechnen sind, als wenn ich einfach die kompakte Dirac-Schreibweise wähle (sieht man auch an deiner Lösung).

Aber stimmt schon, mit Matrizen muss die Rechnung ja mit der geeigneten Vorschrift genauso richtig sein wie im allgemeinen Formalismus. Interessanterweise traue ich mich das manchmal bei Matrizen nicht, im allgemeinen Formalismus aus der QM bin ich es aber eher gewöhnt.

Warum glaubst du wohl hat Dirac seine Notation gewählt ;-)

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