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Physiker21
Gast
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 Physiker21 Verfasst am: 18. Feb 2014 19:06 Titel: Wahrscheinlichkeit/ Standardabweichung |
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Meine Frage:
Aufgabe: Der ehrliche Wirt schenkt das Bier aus einem 50-Liter Fass in identischen Halblitergläsern mit Durchmessern von 10cm aus. Dabei gelingt es ihm leider nur, die Füllhöhe mit einer Genauigkeit von 5% (Sigma einer Normalverteilung), jedoch mit dem korrekten Mittelwert hinzubekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Fass bereits nach 95 bzw. 90 Gläsern leer ist? Mit welcher Wahrscheinlichkeit zapft der gute Mann hingegen 105 oder gar 110 Gläser aus einem 50-Liter Fass?
Meine Ideen:
Also erstmal denke ich, dass die Wahrscheinlichkeit für 105 der für 95 entspricht. Das Gleiche gilt für 110 und 90.
Weiterhin ist die Abweichung der Höhe proportional zur Abweichung des Volumens. Bei 95 Gläsern entspricht jetzt das Volumen an Bier pro Glas ca. 525ml, was gerade noch im Bereich von 1 sigma liegt, also zu 68% erreicht wird, die Wahrscheinlichkeit, dass also mehr als 525ml im Glas landen beträgt 32%. Wie geht es dann weiter?
0.32^95 erscheint mir zu niedrig als Wahrscheinlichkeit dafür, dass er weniger als 95 Gläser füllen kann. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7243
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| Steffen Bühler Verfasst am: 19. Feb 2014 08:39 Titel: |
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Stell Dir die Glockenkurve mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 5 vor. Die Fläche darunter ist definitionsgemäß 100 Prozent.
Die Fläche zwischen 95 und 105 ist dann 68 Prozent. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 95 und 105 Gläser zapft!
Die Fläche links von 95 (weniger als 95 Gläser) und die rechts von 105 (mehr als 105 Gläser) ergeben dann zusammen die restlichen 32 Prozent. Und diese beiden Flächen sind genauso groß, jede hat also 16 Prozent.
Kommst Du jetzt weiter?
Viele Grüße
Steffen |
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17
Anmeldungsdatum: 23.02.2013
Beiträge: 23
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| 17 Verfasst am: 19. Feb 2014 21:14 Titel: |
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Die Frage ist hier wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er genau 95 Gläser abzapft und die Antwort darauf ist 0, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass GENAU ein Wert erreicht wird immer 0 sein muss, da das Intervall dort unendlich klein ist. Daher ist die Frage auch falsch gestellt. Eigentlich müsste es lauten, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 95 und 96 Gläser abzuzapfen usw.
| Zitat: |
Die Fläche zwischen 95 und 105 ist dann 68 Prozent. Das ist also die Wahrscheinlichkeit, dass er zwischen 95 und 105 Gläser zapft! |
Ja das seh ich auch so, allerdings ist die Frage eigentlich anders gemeint so wie oben formuliert.
Und wir haben diese Aufgabe vor ein paar Monaten in der Übungsgruppe besprochen und es kam ein verdammt kleiner Wert raus.
Ich vermute dass ich einfach die Gauß-Funktion von 95 bis 96 integrieren soll, allerdinngs bin ich mir da nicht sicher, da ich sie erstens nicht integrieren kann und ich zweitens nicht weiß, ob es noch eine andere Möglichkeit geben könnte.
(Ich bin übrigens der Fragensteller.) |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7243
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| Steffen Bühler Verfasst am: 20. Feb 2014 09:50 Titel: |
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| 17 hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist hier wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass er genau 95 Gläser abzapft und die Antwort darauf ist 0, da die Wahrscheinlichkeit dafür, dass GENAU ein Wert erreicht wird immer 0 sein muss, da das Intervall dort unendlich klein ist. |
Ja, das ist natürlich richtig.
| 17 hat Folgendes geschrieben: | | Daher ist die Frage auch falsch gestellt. Eigentlich müsste es lauten, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 95 und 96 Gläser abzuzapfen usw. |
Das könnte gemeint sein. Vielleicht ist aber auch "95 oder sogar weniger" gemeint, das sind nämlich so die klassischen Aufgaben. Ihr fragt am besten noch mal nach.
| 17 hat Folgendes geschrieben: | | Ich vermute dass ich einfach die Gauß-Funktion von 95 bis 96 integrieren soll, allerdinngs bin ich mir da nicht sicher, da ich sie erstens nicht integrieren kann |
Das ist nicht das Problem. Nimm diese Tabelle. Für die 95 gehst Du ja 1,0 Standardabweichungen vom Mittelwert weg, da siehst Du den Flächenwert 0,84134. Für die 96 gehst Du 0,8 Standardabweichungen vom Mittelwert weg, das ergibt den Flächenwert 0,78814. Die Differenzfläche ist Dein gesuchter Wert.
| 17 hat Folgendes geschrieben: | | (Ich bin übrigens der Fragensteller.) |
Na, dann herzlich willkommen im Physikerboard!
Viele Grüße
Steffen |
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17
Anmeldungsdatum: 23.02.2013
Beiträge: 23
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| 17 Verfasst am: 21. Feb 2014 09:23 Titel: |
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Ok dankeschön, ich habs dann einfach mit meinem Taschenrechner integriert und hätte dann für 95-96 ca. 17% und für 90-91 ca. 4,5%.
Jetzt macht mich aber noch sturzig, dass wir in der Übungsgruppe eine absurd kleine Zahl herausbekommen haben. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7243
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| Steffen Bühler Verfasst am: 21. Feb 2014 09:48 Titel: |
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| 17 hat Folgendes geschrieben: | | hätte dann für 95-96 ca. 17% |
Das ist arg viel. Über die Tabelle ergeben sich 0,84134-0,78814=5,32%.
| 17 hat Folgendes geschrieben: | | und für 90-91 ca. 4,5%. |
Schaun mer mal... 90 sind zwei Standardabweichungen nach links, also 0,97725. 91 sind 1,8 Standardabweichungen weg, das sind 0,96407. Differenz also 1,318%.
Wie hast Du denn gerechnet? Was ergeben Deine Taschenrechner-Integrale?
| 17 hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt macht mich aber noch sturzig, dass wir in der Übungsgruppe eine absurd kleine Zahl herausbekommen haben. |
Absurd zwar nicht, aber kleiner sind meine Ergebnisse schon. Wie absurd klein waren denn Eure? Weißt Du es noch ungefähr? Und wie habt Ihr da gerechnet?
Viele Grüße
Steffen |
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17
Anmeldungsdatum: 23.02.2013
Beiträge: 23
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| 17 Verfasst am: 21. Feb 2014 10:53 Titel: |
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Das ist meine Formel:
[latex]
\frac{1}{\omega \sqrt{2*pi}} \cdot \exp^(\farc{-x^2}{2\omega^2})
[\latex]
Dann setze ich omega=5 und berechne das INtegral von 95-96 bzw. von 100-101.
Die Zahl in der Übungsgruppe hatte eine Größenordnung von 10^-1x. Ich weiß aber leider nicht mehr, was wir gemacht haben.
EDIT: Leider wird die Formel nicht dargestellt, aber ich hoffe man kann erkennen, dass es die Gauß-Funktion sein soll. |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7243
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| Steffen Bühler Verfasst am: 21. Feb 2014 10:59 Titel: |
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Daran liegt's. Du normierst zwar auf die Standardabweichung, nicht aber auf den Mittelwert, den Du von x abziehen musst.
Die richtige Formel lautet
={\frac 1{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{x}e^{{-{\frac 12}\left({\frac {t-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}{\mathrm d}t)
(Du musst beim End-Tag /latex statt \latex schreiben.)
Viele Grüße
Steffen |
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17
Anmeldungsdatum: 23.02.2013
Beiträge: 23
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| 17 Verfasst am: 21. Feb 2014 11:34 Titel: |
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So das habe ich und ich integriere das jetzt von 5 bis 6 um den Wert für höchstens 95 Gläser zu bekommen, richtig?
Für omega setze ich 5 ein.
Mein TR sagt dann: 4,35% |
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Steffen Bühler
Moderator
Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7243
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| Steffen Bühler Verfasst am: 21. Feb 2014 11:42 Titel: |
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Nein, weil das Intervall [95;96] ja links von der 100 steht. Du müsstest also entweder von -5 bis -4 integrieren oder von +4 bis +5 (wie ich's gemacht habe).
Viele Grüße
Steffen |
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