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Relative Wahrscheinlichkeit
 
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frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 28. März 2022 18:44    Titel: Relative Wahrscheinlichkeit Antworten mit Zitat

Hallo zusammen!

Es handelt sich hier wieder um die Normierung der Wellenfunktion. Ich soll hier auch noch die relative Wahrscheinlichkeit des Teilchens berechnen. Mir fehlt hier bei a) der Ansatz, habe wirklich keine Idee wie ich da am besten vorgehen soll, da wir dieses Thema nur ganz kurz angeschnitten haben.
Beim Normieren kam ich auch nicht besonders weit, habe zwar versucht die Wellenfunktion zu normieren, aber wusste nicht wirklich wie man das Volumen in Polarkoordinaten umwandelt.


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 14. Apr 2022 10:18, insgesamt einmal bearbeitet
jmd



Anmeldungsdatum: 28.10.2012
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Beitrag jmd Verfasst am: 28. März 2022 19:12    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde hier mit b anfangen. Das ist praktisch das gleiche wie bei der vorherigen Aufgabe
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 09. Apr 2022 12:25    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, ob ich da richtig gerechnet habe, aber so würde ich das machen. Stimmt das so?

Zuletzt bearbeitet von frage1 am 09. Apr 2022 17:50, insgesamt einmal bearbeitet
jmd



Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577

Beitrag jmd Verfasst am: 09. Apr 2022 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

Es sind ein paar kleinere Fehler drin
Auch das Ergebnis stimmt nicht
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 09. Apr 2022 17:50    Titel: Antworten mit Zitat

So richtig?

Zuletzt bearbeitet von frage1 am 14. Apr 2022 10:18, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 09. Apr 2022 20:39    Titel: Antworten mit Zitat

Das, was vor dem letzten Gleichheitszeichen steht,



sollte richtig sein. .
N sollte auch etwas mit sein, damit sich nach Integration über das Volumen etwas Dimensionsloses ergibt.

Noch ein Hinweis zu a): Hier musst Du vermutlich nichts integrieren, sondern Du kannst annehmen, dass die Wellenfunktion in den beiden kleinen betrachteten Volumen konstant ist.
jmd



Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577

Beitrag jmd Verfasst am: 10. Apr 2022 11:06    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

Noch ein Hinweis zu a): Hier musst Du vermutlich nichts integrieren, sondern Du kannst annehmen, dass die Wellenfunktion in den beiden kleinen betrachteten Volumen konstant ist.

Gute Idee. Funktioniert aber nur bei dem ganz kleinen Radius
Bei a0 (Bohrscher Radius) geht das nicht

Mit der Nährung bekommt man für V=1 pm^3


Beim genauen Wert habe ich
Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Apr 2022 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

jmd hat Folgendes geschrieben:
Mit der Nährung bekommt man für V=1 pm^3


Beim genauen Wert habe ich

Du meinst die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim Kern?
Ja, diese Werte erhalte ich auch. Hätte nicht gedacht, dass die Wellenfunktion doch recht schnell abfällt über das kleine Volumen.
Dennoch denke ich, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass von einer im betrachteten Volumen konstanten Wahrscheinlichkeitsdichte ausgegangen werden soll, denn sonst hätte genaugenommen statt "kleinem Volumen" angegeben werden müssen, welche Form das Volumen haben soll (z.B. kugelförmig bei r=0 und eine dünne Kugelschale um den Kern bei r=a0).
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Apr 2022 07:32    Titel: Antworten mit Zitat

Erstmal danke für eure Hilfe!
Ich hab´da mal was probiert, ich hoffe, dass die Berechnung halbwegs richtig ist..
Stimmt das so oder muss ich da noch was korrigieren? Für r hab´ich einfach den Kernradius eingesetzt
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 11. Apr 2022 08:04    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Ich hab´da mal was probiert, ich hoffe, dass die Berechnung halbwegs richtig ist..

Fehlt vielleicht eine Datei, die Du anhängen wolltest?
jmd



Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577

Beitrag jmd Verfasst am: 11. Apr 2022 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Für r hab´ich einfach den Kernradius eingesetzt

Es geht in der Aufgabe um 2 Radien. Aber der Kernradius ist nicht dabei

Beim Kernradius hätte ich
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 11. Apr 2022 18:18    Titel: Antworten mit Zitat

@Myon, ja das stimmt, der Anhang fehlt. Tut mir leid, hab das vollkommen übersehen. Jetzt sollte dieser die Datei da sein.
Ich hab da dann deinen Wert für r=3,37 * 10^-13 m eingesetzt @jmd


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 12. Apr 2022 08:01, insgesamt einmal bearbeitet
jmd



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Beitrag jmd Verfasst am: 11. Apr 2022 18:22    Titel: Antworten mit Zitat

1pm^3 ist ein Volumen. Da musst du erst den Radius berechnen


jmd hat Folgendes geschrieben:

Beim Kernradius hätte ich

Das ist nicht der Kernradius r sondern die Wahrscheinlichkeit p, dass sich das Elektron dort aufhält
Das ist aber nicht gefragt sondern nur eine Nebenrechnung
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 11. Apr 2022 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

@frage1: Wie schon gesagt, geht es m.E. in Aufgabenteil a) nicht darum, zu integrieren. Gefragt ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten, dass sich das Elektron in einem kleinen Volumen V beim Kern (r=0) einerseits oder bei r=a0 anderseits aufhält. Für dieses Verhältnis gilt näherungsweise

.

Wenn Du nun doch explizit die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, dass sich das Elektron innerhalb einer Kugel von 1pm^3 beim Kern aufhält, so musst Du integrieren bis zum Radius r, für den gilt



Zu berechnen wäre dann



Der Faktor 4*pi stammt von der Integration über die beiden Winkel. Für die Berechnung kannst Du die "nützlichen Integrale" nicht verwenden, da nicht bis unendlich integriert wird. Du müsstest 2 mal partiell integrieren oder das Integral numerisch lösen. Deshalb nochmals: so ist die Aufgabe bestimmt nicht gemeint.
jmd



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Beitrag jmd Verfasst am: 11. Apr 2022 20:49    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:



Ja so ist es gemeint
Das erklärt auch warum die Normierung erst im Aufgabenteil b verlangt wird
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 12. Apr 2022 08:01    Titel: Antworten mit Zitat

Also wenn ich euch richtig verstanden habe, dann müsste das ganze so aussehen? Ich bin aber nicht auf p= 3,37 *10^-13 gekommen


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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 12. Apr 2022 08:35    Titel: Antworten mit Zitat

Die von jmd angegebene Wahrscheinlichkeit von p=3.37*10^(-13) betrifft den Aufenthalt innerhalb eines Radius von etwa 1.7fm um den Kern. Das hat nichts direkt mit der Aufgabe zu tun.

Die von Dir angegebenen Werte für p sind nicht Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, denn dazu müsste noch mit N^2 multipliziert werden. Für das Verhältnis der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten gilt aber, das ist richtig,



D.h., die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron in einem (infinitesimal) kleinen Volumen beim Kern aufhält, ist 54.6 mal höher als diejenige für den Aufenthalt in einem gleichen Volumen beim Abstand r=a0 vom Kern.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 12. Apr 2022 09:26    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht ob die Frage überhaupt Sinn macht, aber wieso können wir sagen, dass das e- 54,6 mal häufiger am kern zu finden ist als in einem gleich großen Volumen (beim Abstand r=a0 vom kern)? Warum ist es nicht umgekehrt?
Mir ist schon klar, dass sich die Elektronen häufiger in der Näher des Atomkerns aufhalten. Aber warum beschreibt mir W1/W2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des e- am kern? warum kann ich damit nicht die Aufenthaltwahrscheinlichkeit des Elektrons im Abstand a0 vom kern beschreiben? Ich hab´da noch Verständnisprobleme..
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 12. Apr 2022 10:47    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe die Frage nicht ganz. Warum sollte das Verhältnis umgekehrt sein?

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Elektron in einem kleinen Volumen V um einen Ort aufhält, ist näherungsweise gleich . Dabei wurde angenommen, dass im Volumen V etwa konstant ist.

Bei dieser Aufgabe nun gilt

frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 12. Apr 2022 11:03    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, verstanden, vielen vielen Dank!
Ich hab noch die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten berechnet. Passt das so oder fehlt da noch was?



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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 12. Apr 2022 11:33    Titel: Antworten mit Zitat

Die Normierungskonstante ist nicht richtig (vgl. weiter oben im Thread), und es muss noch mit dem Volumen (10^(-36)m^2) multipliziert werden. Es sollten sich die Wahrscheinlichkeiten W1=1.72*10^(-5) beim Kern und W2=3.15*10^(-7) bei r=a0 ergeben.

Dies ist wohl nicht verlangt, gefragt (auch wenn ich die Formulierung nicht glücklich finde) ist lediglich das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten. Für dieses spielt auch die Normierungskonstante keine Rolle.
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 13. Apr 2022 05:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kann mir aber nicht erklären, warum die Normierungskonstante falsch sein soll. Ich hab´s versucht anders zu lösen, aber ich komme wieder auf √8/a0^3 pi. Wo genau liegt der Fehler?
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 13. Apr 2022 08:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, die Normierungskonstante ist



Weiter oben, wo Du die Konstante berechnet hast, stand das auch im zweitletzten Schritt. Zuletzt dann schriebst Du dann aber, wie auch jetzt wieder bei den Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, für die Konstante .
frage1



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Beitrag frage1 Verfasst am: 13. Apr 2022 10:13    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, hab´ gedacht, dass ich die Korrektur schon hochgeladen habe.
Aber auch wenn ich mit der richtigen Konstante multipliziere, komme ich nicht auf die richtigen Werte. Ich weiß zwar, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht gefragt ist, aber ich will sie trotzdem berechnen als Übung für mich.
Also so sieht´s bei mir aus:


Zuletzt bearbeitet von frage1 am 13. Apr 2022 15:31, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 13. Apr 2022 10:38    Titel: Antworten mit Zitat

frage1 hat Folgendes geschrieben:
Also so sieht´s bei mir aus:

Was Du berechnest hast, jedenfalls auf der 1. Zeile, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte bei r=a0. Der Wert stimmt noch nicht, da Du für r nicht a0, sondern 10^(-12) eingesetzt hast.
Um die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen V zu erhalten, musst Du noch mit V multiplizieren.
frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 13. Apr 2022 15:19    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, ich hab für a0 das Volumen eingesetzt, war wieder mal ungenau beim rechnen. Aber jetzt sollte das ganze passen. Ich lade sicherheitshalber noch die endgültige Lösung hoch.
Und vielen vielen Dank für die ganzen Erklärungen Myon!



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Myon



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Beitrag Myon Verfasst am: 13. Apr 2022 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Die Zahlenwerte sind richtig, die Einheit noch nicht ganz. Die Normierungskonstante im Quadrat hat die Einheit 1/pm^3, und vom Volumen kommt die Einheit pm^3. Damit wird die Wahrscheinlichkeit dimensionslos, wie es sein muss.
jmd



Anmeldungsdatum: 28.10.2012
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Beitrag jmd Verfasst am: 13. Apr 2022 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich verstehe nicht warum sich frage1 weigert das V bei der Wahrscheinlichkeit dazuzuschreiben

frage1



Anmeldungsdatum: 20.02.2021
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Beitrag frage1 Verfasst am: 14. Apr 2022 10:14    Titel: Antworten mit Zitat

Alles klar, hab's verbessert.
vielen vielen Dank Myon, deine Erklärungen haben mir sehr geholfen!

@jmd, hab das V jetzt dazugeschrieben, danke dir!
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