Zustandsgemisch, Wahrscheinlichkeit fuer einen Zustand

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Hi Leute,

hab ne Frage:

Gegeben sei die Dichtematrix:

Weiterhin seien die Zustaende normiert und

.

Nun gilt es die Wahrscheinlichtkeit zu finden, dass das Ergebnis

in der orthonormalen Basis

erzielt wird.

Ich hoffe die Aufgabe ist verstaendliche formuliert.

Ich habe leider gar keine Ahnung was ich machen soll, kann mir vll. jemand einen Tipp geben.

Viele Gruesse und schon mal Danke fuer Helfen,
eva

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Verstehe ich dich richtig:

Gegegeben ist ein Dichteoperator

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit q(k), das System in einem Zustand

einer anderen Orthonormalbasis

zu finden?

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Jap, so ist die Aufgabe denk gemeint.

Jedoch sind alle Indices so gwaehlt wie ich im ersten Post.

Macht die Aufgabe so Sinn?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Kannst du die Aufgabe im Orginal reinstellen?

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Ok ich schreibs mal (ist auf Englisch) :

We consider mixed state which is a statistical mixture of pure states. Desnity operator is defined as:

where the pure states

are normalized and all p_k are positive numbers with:

Find the probability that measurement in the orthogonal basis

will yield

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ich finde die Tatsache, dass in den verschiedenen Zuständen jeweils k verwendet wird reichlich seltsam. Deshalb meine Schreibweise und mein Ansatz (ich hoffe, ich interpretiere da nichts falsch)

Gegegeben ist ein Dichteoperator

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit q(k), das System in einem Zustand

einer anderen Orthonormalbasis

zu finden.

Mein Ansatz wäre, den Erwartungswert des Projektors zu berechnen:

Die Spur berechnet man am besten über dieselbe Orthonormalbasis |k>. Dabei reduziert sich die Spursumme wg. Orthonormiertheit auf den k-ten Basisvektor.

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Danke fuer die Hilfe.

Ich frag morgen nochmals den Prof.

Ich komme dann auf:

Kannst du das bestaetigen?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Nicht ueber k summieren, dann passt es und du hast P_k.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Die Summe kollabiert zu einem einzigen Term, denn

Aber die Summe über k kannst du zuletzt noch als Probe berechnen; du hast

als Wahrscheinlichkeit, und dafür muss gelten

Das kannst du noch nachprüfen.

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Also ich hab jetzt:

Jetzt ueberpreufe ich noch deine Bedingung:

Das passt also. Danke Jungs.

Bei der b) komme ich gerade auch nicht weiter, vll. koennt ihr mir da noch nen Tipp geben:

(b) Find the density operator

when the mixture is transformed according to unitary matrix U.

Ich versteh gar nicht was damit gemeint ist, denn es is ja bekannt, dass fuer alle Dichtematrizen gilt:

.
Oder versteht ihr was damit gemeint ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ich denke, es geht um eine Basistransformation

Wie lautet dann die neue Dichtematrix bzgl. der neuen Basis?

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Die alte Dichtematrix war:

Nun fuer ich die Transformation durch:

Daher folgt:

Stimmt das so?

Oder ist dann einfach gefragt:

Also dass ich dann einfach

durch

ersetze.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

So hätte ich das auch angesetzt, aber das ist evtl. etwas zu trivial. Wie wär's mit

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Und wo hast du jetzt die Unitaere Transformation? Oder kommt die dann noch drauf?

Warum willst du es in der |k> - Basis ausdruecken?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ich drücke es einfach in irgendeiner Basis aus

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Jetzt hast du ja Rho in einer anderen Basis ausgedrueckt und was meinst und wo ist jetzt die Unitaeretransformation geblieben?

Ich verstehe noch nicht ganz warum du das machst.

Danke schon mal fuer deine grosse Hilfe Gott

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Man kann ja eine entsprechende unitäre Basistransformation durchführen; die beiden Transformationen entsprechen einander.

Ich glaube aber, dass in der Aufgabe etwas anderes erwartet wird; insbs. ist mir die Rolle der psi-Darstellung noch nicht klar; das scheint i.A. keine Orthonormaldarstellung zu sein, daher ist die Argumentation etwas schwieriger. Ist das wirklcih die gesamte Aufgabenstellung?

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Leider ist das die gesamte Aufgabenstellung.

Aber die Dichtematrix beinhaltet doch immer die Psis:

http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtematrix#Konstruktion

Ja die Psi's sind nicht orthogonal. Das sind ja die verschiedenen Zustaende aus dem Ensemble.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Frag doch nochmal nach, was erwartet wird

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Ich hab nochmals nachgefragt und es war einfach gefragt wie sich die Dichtematrix transformiert, falls

transformiert wird.

Also ist folgendes korrekt:

Danke fuer die Hilfe. Tanzen

Ich komme auf euch/dich zurueck smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Ja, jetzt hast du es in einer anderen Basis ausgedrueckt.

Aber ich sehe jetzt nicht wirklich den Grund warum du das machst. Kannst du das vll. noch bisschen erlaeutern, oder ist das nur aus aesthetischen Gruenden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Ich mache das nur, weil ich das einfache Hinschreiben der Trf. mittels von U für zu trivial hielt; ich habe eben eine explizite Form von U in einer Basis bestimmten gewählt und die Trf. explizit berechnet.

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Okay, cool. Ist ja echt sehr trivial. Haste recht, Danke. smile