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Zustandsgemisch, Wahrscheinlichkeit fuer einen Zustand
 
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eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 11. Nov 2012 18:27    Titel: Zustandsgemisch, Wahrscheinlichkeit fuer einen Zustand Antworten mit Zitat

Hi Leute,

hab ne Frage:

Gegeben sei die Dichtematrix:



Weiterhin seien die Zustaende normiert und

.

Nun gilt es die Wahrscheinlichtkeit zu finden, dass das Ergebnis in der orthonormalen Basis erzielt wird.

Ich hoffe die Aufgabe ist verstaendliche formuliert.

Ich habe leider gar keine Ahnung was ich machen soll, kann mir vll. jemand einen Tipp geben.

Viele Gruesse und schon mal Danke fuer Helfen,
eva
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Nov 2012 19:03    Titel: Antworten mit Zitat

Verstehe ich dich richtig:

Gegegeben ist ein Dichteoperator



Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit q(k), das System in einem Zustand



einer anderen Orthonormalbasis



zu finden?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 11. Nov 2012 19:33    Titel: Antworten mit Zitat

Jap, so ist die Aufgabe denk gemeint.

Jedoch sind alle Indices so gwaehlt wie ich im ersten Post.

Macht die Aufgabe so Sinn?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Nov 2012 19:54    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du die Aufgabe im Orginal reinstellen?
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eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 11. Nov 2012 20:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich schreibs mal (ist auf Englisch) :

We consider mixed state which is a statistical mixture of pure states. Desnity operator is defined as:



where the pure states are normalized and all p_k are positive numbers with:



Find the probability that measurement in the orthogonal basis will yield
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Nov 2012 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ich finde die Tatsache, dass in den verschiedenen Zuständen jeweils k verwendet wird reichlich seltsam. Deshalb meine Schreibweise und mein Ansatz (ich hoffe, ich interpretiere da nichts falsch)

Gegegeben ist ein Dichteoperator



Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit q(k), das System in einem Zustand



einer anderen Orthonormalbasis



zu finden.

Mein Ansatz wäre, den Erwartungswert des Projektors zu berechnen:



Die Spur berechnet man am besten über dieselbe Orthonormalbasis |k>. Dabei reduziert sich die Spursumme wg. Orthonormiertheit auf den k-ten Basisvektor.

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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 12. Nov 2012 00:56    Titel: Antworten mit Zitat

Danke fuer die Hilfe.

Ich frag morgen nochmals den Prof.

Ich komme dann auf:



Kannst du das bestaetigen?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8586

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Nov 2012 01:11    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht ueber k summieren, dann passt es und du hast P_k.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 12. Nov 2012 07:12    Titel: Antworten mit Zitat

Die Summe kollabiert zu einem einzigen Term, denn



Aber die Summe über k kannst du zuletzt noch als Probe berechnen; du hast



als Wahrscheinlichkeit, und dafür muss gelten



Das kannst du noch nachprüfen.

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Beitrag eva1 Verfasst am: 12. Nov 2012 11:33    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich hab jetzt:



Jetzt ueberpreufe ich noch deine Bedingung:



Das passt also. Danke Jungs.

Bei der b) komme ich gerade auch nicht weiter, vll. koennt ihr mir da noch nen Tipp geben:

(b) Find the density operator when the mixture is transformed according to unitary matrix U.

Ich versteh gar nicht was damit gemeint ist, denn es is ja bekannt, dass fuer alle Dichtematrizen gilt: .
Oder versteht ihr was damit gemeint ist?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Nov 2012 12:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, es geht um eine Basistransformation





Wie lautet dann die neue Dichtematrix bzgl. der neuen Basis?

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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 12. Nov 2012 12:35    Titel: Antworten mit Zitat

Die alte Dichtematrix war:



Nun fuer ich die Transformation durch:



Daher folgt:



Stimmt das so?

Oder ist dann einfach gefragt:



Also dass ich dann einfach durch ersetze.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 12. Nov 2012 12:46    Titel: Antworten mit Zitat

So hätte ich das auch angesetzt, aber das ist evtl. etwas zu trivial. Wie wär's mit


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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 12. Nov 2012 12:57    Titel: Antworten mit Zitat

Und wo hast du jetzt die Unitaere Transformation? Oder kommt die dann noch drauf?

Warum willst du es in der |k> - Basis ausdruecken?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Nov 2012 13:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ich drücke es einfach in irgendeiner Basis aus
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Beitrag eva1 Verfasst am: 12. Nov 2012 17:29    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt hast du ja Rho in einer anderen Basis ausgedrueckt und was meinst und wo ist jetzt die Unitaeretransformation geblieben?

Ich verstehe noch nicht ganz warum du das machst.

Danke schon mal fuer deine grosse Hilfe Gott
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 12. Nov 2012 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

Man kann ja eine entsprechende unitäre Basistransformation durchführen; die beiden Transformationen entsprechen einander.

Ich glaube aber, dass in der Aufgabe etwas anderes erwartet wird; insbs. ist mir die Rolle der psi-Darstellung noch nicht klar; das scheint i.A. keine Orthonormaldarstellung zu sein, daher ist die Argumentation etwas schwieriger. Ist das wirklcih die gesamte Aufgabenstellung?

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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 13. Nov 2012 00:43    Titel: Antworten mit Zitat

Leider ist das die gesamte Aufgabenstellung.

Aber die Dichtematrix beinhaltet doch immer die Psis:

http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtematrix#Konstruktion

Ja die Psi's sind nicht orthogonal. Das sind ja die verschiedenen Zustaende aus dem Ensemble.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Nov 2012 07:38    Titel: Antworten mit Zitat

Frag doch nochmal nach, was erwartet wird
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eva1



Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 14. Nov 2012 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab nochmals nachgefragt und es war einfach gefragt wie sich die Dichtematrix transformiert, falls transformiert wird.

Also ist folgendes korrekt:



Danke fuer die Hilfe. Tanzen

Ich komme auf euch/dich zurueck smile
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Nov 2012 02:25    Titel: Antworten mit Zitat

eva1 hat Folgendes geschrieben:
Also ist folgendes korrekt ...

Prima; jetzt setzen wir mal



ein:



Diesen Zusammenhang habe ich gemeint

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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532

Beitrag eva1 Verfasst am: 15. Nov 2012 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, jetzt hast du es in einer anderen Basis ausgedrueckt.

Aber ich sehe jetzt nicht wirklich den Grund warum du das machst. Kannst du das vll. noch bisschen erlaeutern, oder ist das nur aus aesthetischen Gruenden?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18249

Beitrag TomS Verfasst am: 16. Nov 2012 00:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ich mache das nur, weil ich das einfache Hinschreiben der Trf. mittels von U für zu trivial hielt; ich habe eben eine explizite Form von U in einer Basis bestimmten gewählt und die Trf. explizit berechnet.
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Anmeldungsdatum: 06.10.2010
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Beitrag eva1 Verfasst am: 16. Nov 2012 09:52    Titel: Antworten mit Zitat

Okay, cool. Ist ja echt sehr trivial. Haste recht, Danke. smile
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