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IchHabNeFrage
Gast
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 IchHabNeFrage Verfasst am: 26. Sep 2014 19:26 Titel: Partielle Spur über Operatorprodukt |
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Meine Frage:
Hi an alle
Ich stehe gerade vor dem Problem der partiellen Spur. Es geht im Grunde genommen um ein Problem bei dem man davon ausgegangen ist, dass der Hamiltonoperator in Schwerpunkt- und Relativbewegung separiert werden kann. D.h.:
Mit den entsprechenden Basen
der beiden Unterräume.
Meine Frage ist jetzt ob ich die Spurbildung
\hat{\rho}]
<br />
)
bezüglich r richtig gemacht habe, wobei rho die Dichtematrix des gesamten Systems ist.
Meine Ideen:
Ich habe mir das wie folgt Überlegt
\hat{\rho}]&=&\int\limits_{- \infty}^{\infty}dr\,\langle r|(\hat{1}_{SP}\otimes\hat{H}_{rel})\hat{\rho}|r\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}dr\,\langle r|\hat{\rho}_{SP}\otimes \hat{H}_{rel}\hat{\rho}_{rel}|r\rangle\\
<br />
&=&\hat{\rho}_{SP}\int\limits_{-\infty}^{\infty}dr\,\langle r|\hat{H}_{rel}\hat{\rho}_{rel}|r\rangle = \hat{\rho}_{SP}Tr_r[\hat{H}_{rel}\hat{\rho}_{rel}]=\hat{\rho}_{SP}\langle\hat{H}_{rel}\rangle
<br />
)
Kann man das so machen? Ich bin mir echt unsicher ob das so stimmt. |
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 08:35 Titel: |
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Niemand?  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 09:07 Titel: Re: Partielle Spur über Operatorprodukt |
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Dieser Schritt
| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | \hat{\rho}|r\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}dr\,\langle r|\hat{\rho}_{SP}\otimes \hat{H}_{rel}\hat{\rho}_{rel}|r\rangle) |
sieht m.E. nicht richtig aus.
Zwar separiert der Hamiltonoperator, nicht jedoch der Dichteoperator. Es ist doch
D.h. du darfst m.E. den Dichteoperator nicht als Produkt schreiben.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 10:23, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 10:19 Titel: |
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Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gilt mit dem o.g. Dichteoperator
für die partielle Spur über r
 = \sum_{rs} p_{rs} \, \langle r|H_r|r\rangle\,|s\rangle\langle s|)
 = \sum_{rs} p_{rs} \, H_s|s\rangle\langle s|)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 11:16 Titel: |
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Hi TomS und danke für die Antwort!
Ich hab gerade gesehen, dass hier auch noch steht, dass die Dichtematrix für den Schwerpunkt gegeben ist durch
Impliziert das nicht eigentlich, dass
?
Und wenn ja. Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt?
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:28 Titel: |
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Ist das nicht nur die Definition?
Ich starte mal mit dem allgemeinen Fall
und berechne
 |s \rangle\langle s| = \sum_s p_s \, |s \rangle\langle s| )
Damit vergleichen wir jetzt die zweite Spur von oben:
 = \sum_{rs} p_{rs} \, H_s|s\rangle\langle s| = \sum_s p_s\,H_s|s\rangle\langle s| )
Das bedeutet doch, dass wenn ich jetzt die Spur über s bilde, weil ich den Erwartungswert für einen s-Operator (d.h. Eins bzgl. r) berechnen will, dass ich dann direkt den so definierten partiellen Dichteoperator benutzen darf:
)
Aber das liegt doch an der Eigenschaft des Operators, deswegen ist doch der vollständige Dichteoperator noch lange kein Produkt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:09, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 12:38 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Müsste hier nicht noch eine zweite Summe über Q' und r' laufen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:44 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Müsste hier nicht noch eine zweite Summe über Q' und r' laufen? |
Oh weh, ich sehe was du meinst! Ich habe bisher immer diagonale Dichteoperatoren hingeschrieben. Das ist i.A. natürlich falsch. Muss also nochmal korrigieren. Ich denke aber, das sich bei der Spurbildung nichts ändert, da hier ja sowieso immer nur die Diagonalelementes beitragen.
EDIT:
Ist wohl nicht so schlimm. Man kann ja annehmen, dass der Dichteoperator diagonalisiert ist. Und er ist bzgl. r und s getrennt diagonalisierbar.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:46 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | Ich hab gerade gesehen, dass hier auch noch steht, dass die Dichtematrix für den Schwerpunkt gegeben ist durch
Impliziert das nicht eigentlich, dass
? |
Nein, ich denke nicht. Das ist die Definition des partiellen Dichteoperators.
| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | | Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt? |
Ich denke nicht, das es dafür sinnvolle Voraussetzungen gibt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:16, insgesamt einmal bearbeitet |
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 13:16 Titel: |
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Okay! Ich denke das hab ich kapiert  Eine Frage habe ich aber noch hierzu:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Im Grunde genommen müsste ich dort die Spur doch über r' bilden (weil r ja schon in \rho auftaucht) oder nicht?
Aufjedenfall, wenn ich das so mache führt mich das ja dann letztendlich auch auf mein Ergebnis von oben, mit
 \rho \right]= \rho_{SP} \langle H_{rel} \rangle
<br />
)
Habe ich jetzt was falsch gemacht, oder kommt einfach wirklich zufälligerweise das gleiche bei raus!?
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 13:23 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | | Im Grunde genommen müsste ich dort die Spur doch über r' bilden (weil r ja schon in \rho auftaucht) oder nicht? |
Ok, rho ist mittels Summe über r definiert, die Spurbildung erfolgt dann mittels Summe über r'. Der Index r soll aber nicht auf eine konkrete Variable r hinweisen, sondern nur darauf, dass ich im r-Raum ausspure, nicht im s-Raum. Außerdem liefert die Spurbildung ja sowieso immer ein delta(r,r').
| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | wenn ich das so mache führt mich das ja dann letztendlich auch auf mein Ergebnis von oben, mit
Habe ich jetzt was falsch gemacht, oder kommt einfach wirklich zufälligerweise das gleiche bei raus!? |
Warte mal kurz ...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 13:34 Titel: Re: Partielle Spur über Operatorprodukt |
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Bei dir steht da
| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | \hat{\rho}] = \ldots = \hat{\rho}_{SP}Tr_r[\hat{H}_{rel}\hat{\rho}_{rel}]
<br />
) |
Das wäre
Bei mir steht da
Das ist aber nicht da selbe!
Insbs. sehe ich nicht, wie in dem Ausdruck zwei Wahrscheinlichkeiten p auftreten sollten; alles ist doch strikt linear in p. Die Annahme, dass dein vollständiger Dichteoperator als Produkt geschrieben werden kann, ist m.E. falsch.
Rechne doch meinen Weg nochmal exakt nach. Evtl. hab' ich mich wirklich verrechnet, aber der Ansatz sollte stimmen.
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 14:17 Titel: |
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Hey TomS!
Ja du hast recht. Ich hatte mir das Leben vorhin ein bisschen zu leicht gemacht Aber ich komme jetzt auf das gleiche Ergebnis wie du!
Ich denke damit hat sich die Frage erledigt.
Vielen, vielen Dank nochmal für die umfangreiche Aufklärung!
Beste Grüße |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 14:34 Titel: |
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Gerne - hoffe, es stimmt auch ;-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 16:17 Titel: |
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Ich hab' mal ein Beispiel für zwei freie Teilchen der Masse M auf einem Kreis in einem Wärmebad berechnet. Der Hamiltonoperator enthält zwei kinetische Terme
Dabei ist
Die Länge L des Kreises vernachlässige ich.
Der erste Term entspricht der Schwerpunktsbewegung, der zweite der Relativbewegung (d.h. alpha entspricht dem Winkel des Schwerpunktes, phi dem Winkel zwischen den Teilchen auf der Kreislinie). Auf einem Kreis sind beide Energien, d.h. auch die Basen, diskret.
H ist gleichzeitig in alpha und phi diagonalisierbar. Die Eigenfunktionen lauten
In dieser Eigenbasis gilt
 |N,n\rangle\langle N,n|)
... nach einer kurzen Pause geht's weiter ...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 17:36 Titel: |
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Der Dichteoperator des kanonischen Ensembles in einem Wärmebad der Temperatur T lautet
Man findet die Energiedarstellung, indem man diesen Operator auf die Eins
wirken lässt.
Da H diagonal in der gewählten Basis ist, hat der Dichteoperator
ebenfalls Diagonalform.
Für die Wahrscheinlichkeiten gilt
Der Dichteoperator zweier freier Teilchen mit Massen m ist also offensichtlich identisch zu dem zweier Teilchen mit Massen 2m und m/2.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2014 18:31, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 21:51 Titel: |
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Möchte man den Dichteoperator im Ortsraum darstellen, so muss man ihn zwischen zwei Einsen für alpha
(und phi analog) sandwichen.
Man erhält
N}\,\ldots\,|\alpha,\phi\rangle\langle\alpha^\prime,\phi^\prime| )
... steht für die entsprechenden phi-Terme.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte in alpha und phi erhält man aus den Summen
 = Z^{-1}\,\sum_N e^{-\beta N^2/2M}\,e^{i(\alpha - \alpha^\prime)N} )
(phi analog)
Die Summen führen auf elliptische Thetafunktionen.
Was ich eigtl. zeigen wollte, war die allgemeine Struktur der Dichteoperatoren. In diesem Fall ist die Darstellung im Ortsraum nicht-diagonal.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2014 23:08, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 22:30 Titel: |
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Berechnet man die o.g. partielle Spur in N-n-Darstellung, so findet man
 = \frac{1}{Z}\,\left[-\frac{\partial}{\partial\beta}\sum_n e^{-\beta E_n}\right]\,\sum_N e^{-\beta E_N}\,|N\rangle\langle N| = \frac{1}{Z}\,\frac{1}{2\mu}\,\theta^\prime_3(0,e^{-\beta/2\mu})\,\sum_N e^{-\beta E_N}\,|N\rangle\langle N|)
' bedeutet dabei die Ableitung nach dem zweiten Argument.
Zunächst faktorisiert der Dichteoperator nicht. Allerdings faktorisiert die Wahrscheinlichkeit
und daraus folgt bei der Berechnung einer partiellen Spur ein faktorisierender partieller Dichteoperator
 \sim h(\beta)\cdot\rho_N)
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Sep 2014 00:06, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 23:22 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | 
Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt? |
Eine derartige Faktorisierung für die Dichteoperator selbst gilt wohl nicht. Aber wenn die Wahrscheinlichkeit faktorisiert
dann folgt für partielle Dichteoperatoren offensichtlich, dass bestimmte abgeleitete Ausdrücke faktorisieren. Aus
folgt dann
 = \sum_r p_r\,\langle r|H_r|r\rangle \,\cdot\, \sum_s p_s \, \,|s\rangle\langle s|)
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:01 Titel: |
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Hallo TomS.
Schöne Ausführung, vielen Dank
Das mit der faktorisierung ist komisch... ich sehe das immer wieder mal!
Ist es denn nicht so, dass wenn ich p_rs=p_rp_s habe und
dann
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:18 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | Ist es denn nicht so, dass wenn ich p_rs=p_rp_s habe und
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Das ist jetzt aber etwas völlig anderes!
Die bisherigen p's waren klassische Wsk.s im Dichteoperator.
Die zwei p's, die du jetzt einführst, sind jedoch qm Wsk.-Amplituden im qm Zustand. Die musst du bitte strikt auseinanderhalten. Insbs. kann der von dir eingeführte Zustand als reiner Zustand geschrieben werden.
Die bisher diskutierten Dichteoperatoren sind aber i.A. gemischte Zustände. Ich habe ja am Bsp. des thermischen Zustandes versucht zu zeigen, wie die p's zustandekommen können. Die haben aber nichts mit den p's in deinem Zustand zu tun.
Du kannst den Unterschied recht einfach sehen. Für einen reinen Zustand ist der Dichteoperator immer ein Projektor (auf genau den Zustand), d.h. es gilt
Für die oben diskutierten Dichteoperatoren gilt dies jedoch i.A. nicht. (insbs. nicht für den thermischen Zustand)
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. Sep 2014 09:23, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:21 Titel: |
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Oder gilt das wirklich nur wenn mein Psi ein reiner Produktzustand ist!? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:24 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | | Oder gilt das wirklich nur wenn mein Psi ein reiner Produktzustand ist!? |
was?
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IchHabNeFrage
Gast
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| IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:28 Titel: |
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| Zitat: |
Die bisherigen p's waren klassische Wsk.s im Dichteoperator.
Die zwei p's, die du jetzt einführst, sind jedoch qm Wsk.-Amplituden im qm Zustand.
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Das ist mir schon bewusst, die Bezeichnung war vielleicht etwas inkonsistent gewählt
Ich versuche mir gerade nur zu überlegen wann das gesamte rho als direktes Produkt geschrieben werden kann. Da wollte ich erstmal kleine Brötchen backen (reiner Zustand). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:45 Titel: |
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| IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben: | | Ich versuche mir gerade nur zu überlegen wann das gesamte rho als direktes Produkt geschrieben werden kann. Da wollte ich erstmal kleine Brötchen backen (reiner Zustand). |
Das reicht nicht, denn das hat offensichtlich viel mit der Basiswahl zu tun.
In dieser Basis ist
offensichtlich nicht diagonal
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