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Partielle Spur über Operatorprodukt
 
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IchHabNeFrage
Gast





Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 26. Sep 2014 19:26    Titel: Partielle Spur über Operatorprodukt Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hi an alle

Ich stehe gerade vor dem Problem der partiellen Spur. Es geht im Grunde genommen um ein Problem bei dem man davon ausgegangen ist, dass der Hamiltonoperator in Schwerpunkt- und Relativbewegung separiert werden kann. D.h.:

Mit den entsprechenden Basen

der beiden Unterräume.
Meine Frage ist jetzt ob ich die Spurbildung

bezüglich r richtig gemacht habe, wobei rho die Dichtematrix des gesamten Systems ist.

Meine Ideen:
Ich habe mir das wie folgt Überlegt


Kann man das so machen? Ich bin mir echt unsicher ob das so stimmt.
IchHabNeFrage
Gast





Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 08:35    Titel: Antworten mit Zitat

Niemand? unglücklich
TomS
Moderator


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Beiträge: 13900

Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 09:07    Titel: Re: Partielle Spur über Operatorprodukt Antworten mit Zitat

Dieser Schritt

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:


sieht m.E. nicht richtig aus.

Zwar separiert der Hamiltonoperator, nicht jedoch der Dichteoperator. Es ist doch



D.h. du darfst m.E. den Dichteoperator nicht als Produkt schreiben.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 10:23, insgesamt 3-mal bearbeitet
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 10:19    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, gilt mit dem o.g. Dichteoperator



für die partielle Spur über r




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IchHabNeFrage
Gast





Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 11:16    Titel: Antworten mit Zitat

Hi TomS und danke für die Antwort!

Ich hab gerade gesehen, dass hier auch noch steht, dass die Dichtematrix für den Schwerpunkt gegeben ist durch

Impliziert das nicht eigentlich, dass

?
Und wenn ja. Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt?

Gruß
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:28    Titel: Antworten mit Zitat

Ist das nicht nur die Definition?

Ich starte mal mit dem allgemeinen Fall



und berechne



Damit vergleichen wir jetzt die zweite Spur von oben:



Das bedeutet doch, dass wenn ich jetzt die Spur über s bilde, weil ich den Erwartungswert für einen s-Operator (d.h. Eins bzgl. r) berechnen will, dass ich dann direkt den so definierten partiellen Dichteoperator benutzen darf:



Aber das liegt doch an der Eigenschaft des Operators, deswegen ist doch der vollständige Dichteoperator noch lange kein Produkt.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:09, insgesamt 3-mal bearbeitet
IchHabNeFrage
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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 12:38    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:






Müsste hier nicht noch eine zweite Summe über Q' und r' laufen?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:44    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:






Müsste hier nicht noch eine zweite Summe über Q' und r' laufen?


Oh weh, ich sehe was du meinst! Ich habe bisher immer diagonale Dichteoperatoren hingeschrieben. Das ist i.A. natürlich falsch. Muss also nochmal korrigieren. Ich denke aber, das sich bei der Spurbildung nichts ändert, da hier ja sowieso immer nur die Diagonalelementes beitragen.

EDIT:


Ist wohl nicht so schlimm. Man kann ja annehmen, dass der Dichteoperator diagonalisiert ist. Und er ist bzgl. r und s getrennt diagonalisierbar.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:14, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 12:46    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Ich hab gerade gesehen, dass hier auch noch steht, dass die Dichtematrix für den Schwerpunkt gegeben ist durch

Impliziert das nicht eigentlich, dass

?

Nein, ich denke nicht. Das ist die Definition des partiellen Dichteoperators.

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt?

Ich denke nicht, das es dafür sinnvolle Voraussetzungen gibt.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Sep 2014 13:16, insgesamt einmal bearbeitet
IchHabNeFrage
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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 13:16    Titel: Antworten mit Zitat

Okay! Ich denke das hab ich kapiert smile Eine Frage habe ich aber noch hierzu:

TomS hat Folgendes geschrieben:




Im Grunde genommen müsste ich dort die Spur doch über r' bilden (weil r ja schon in \rho auftaucht) oder nicht?
Aufjedenfall, wenn ich das so mache führt mich das ja dann letztendlich auch auf mein Ergebnis von oben, mit

Habe ich jetzt was falsch gemacht, oder kommt einfach wirklich zufälligerweise das gleiche bei raus!?

Gruß
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 13:23    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Im Grunde genommen müsste ich dort die Spur doch über r' bilden (weil r ja schon in \rho auftaucht) oder nicht?

Ok, rho ist mittels Summe über r definiert, die Spurbildung erfolgt dann mittels Summe über r'. Der Index r soll aber nicht auf eine konkrete Variable r hinweisen, sondern nur darauf, dass ich im r-Raum ausspure, nicht im s-Raum. Außerdem liefert die Spurbildung ja sowieso immer ein delta(r,r').

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
wenn ich das so mache führt mich das ja dann letztendlich auch auf mein Ergebnis von oben, mit

Habe ich jetzt was falsch gemacht, oder kommt einfach wirklich zufälligerweise das gleiche bei raus!?


Warte mal kurz ...

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 13:34    Titel: Re: Partielle Spur über Operatorprodukt Antworten mit Zitat

Bei dir steht da

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:


Das wäre



Bei mir steht da



Das ist aber nicht da selbe!

Insbs. sehe ich nicht, wie in dem Ausdruck zwei Wahrscheinlichkeiten p auftreten sollten; alles ist doch strikt linear in p. Die Annahme, dass dein vollständiger Dichteoperator als Produkt geschrieben werden kann, ist m.E. falsch.

Rechne doch meinen Weg nochmal exakt nach. Evtl. hab' ich mich wirklich verrechnet, aber der Ansatz sollte stimmen.

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IchHabNeFrage
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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 27. Sep 2014 14:17    Titel: Antworten mit Zitat

Hey TomS!

Ja du hast recht. Ich hatte mir das Leben vorhin ein bisschen zu leicht gemacht smile Aber ich komme jetzt auf das gleiche Ergebnis wie du!
Ich denke damit hat sich die Frage erledigt.
Vielen, vielen Dank nochmal für die umfangreiche Aufklärung!

Beste Grüße
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 27. Sep 2014 14:34    Titel: Antworten mit Zitat

Gerne - hoffe, es stimmt auch ;-)
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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab' mal ein Beispiel für zwei freie Teilchen der Masse M auf einem Kreis in einem Wärmebad berechnet. Der Hamiltonoperator enthält zwei kinetische Terme



Dabei ist





Die Länge L des Kreises vernachlässige ich.

Der erste Term entspricht der Schwerpunktsbewegung, der zweite der Relativbewegung (d.h. alpha entspricht dem Winkel des Schwerpunktes, phi dem Winkel zwischen den Teilchen auf der Kreislinie). Auf einem Kreis sind beide Energien, d.h. auch die Basen, diskret.

H ist gleichzeitig in alpha und phi diagonalisierbar. Die Eigenfunktionen lauten





In dieser Eigenbasis gilt



... nach einer kurzen Pause geht's weiter ...

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Der Dichteoperator des kanonischen Ensembles in einem Wärmebad der Temperatur T lautet



Man findet die Energiedarstellung, indem man diesen Operator auf die Eins



wirken lässt.

Da H diagonal in der gewählten Basis ist, hat der Dichteoperator



ebenfalls Diagonalform.

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt



Der Dichteoperator zweier freier Teilchen mit Massen m ist also offensichtlich identisch zu dem zweier Teilchen mit Massen 2m und m/2.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2014 18:31, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

Möchte man den Dichteoperator im Ortsraum darstellen, so muss man ihn zwischen zwei Einsen für alpha



(und phi analog) sandwichen.

Man erhält



... steht für die entsprechenden phi-Terme.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte in alpha und phi erhält man aus den Summen



(phi analog)

Die Summen führen auf elliptische Thetafunktionen.

Was ich eigtl. zeigen wollte, war die allgemeine Struktur der Dichteoperatoren. In diesem Fall ist die Darstellung im Ortsraum nicht-diagonal.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 28. Sep 2014 23:08, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 22:30    Titel: Antworten mit Zitat

Berechnet man die o.g. partielle Spur in N-n-Darstellung, so findet man



' bedeutet dabei die Ableitung nach dem zweiten Argument.

Zunächst faktorisiert der Dichteoperator nicht. Allerdings faktorisiert die Wahrscheinlichkeit



und daraus folgt bei der Berechnung einer partiellen Spur ein faktorisierender partieller Dichteoperator


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Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Sep 2014 00:06, insgesamt 2-mal bearbeitet
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 28. Sep 2014 23:22    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:


Welche Vorraussetzungen brauche ich, damit das gilt?


Eine derartige Faktorisierung für die Dichteoperator selbst gilt wohl nicht. Aber wenn die Wahrscheinlichkeit faktorisiert



dann folgt für partielle Dichteoperatoren offensichtlich, dass bestimmte abgeleitete Ausdrücke faktorisieren. Aus



folgt dann


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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:01    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo TomS.

Schöne Ausführung, vielen Dank smile

Das mit der faktorisierung ist komisch... ich sehe das immer wieder mal!
Ist es denn nicht so, dass wenn ich p_rs=p_rp_s habe und

dann

?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:18    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Ist es denn nicht so, dass wenn ich p_rs=p_rp_s habe und

Das ist jetzt aber etwas völlig anderes!

Die bisherigen p's waren klassische Wsk.s im Dichteoperator.

Die zwei p's, die du jetzt einführst, sind jedoch qm Wsk.-Amplituden im qm Zustand. Die musst du bitte strikt auseinanderhalten. Insbs. kann der von dir eingeführte Zustand als reiner Zustand geschrieben werden.

Die bisher diskutierten Dichteoperatoren sind aber i.A. gemischte Zustände. Ich habe ja am Bsp. des thermischen Zustandes versucht zu zeigen, wie die p's zustandekommen können. Die haben aber nichts mit den p's in deinem Zustand zu tun.

Du kannst den Unterschied recht einfach sehen. Für einen reinen Zustand ist der Dichteoperator immer ein Projektor (auf genau den Zustand), d.h. es gilt



Für die oben diskutierten Dichteoperatoren gilt dies jedoch i.A. nicht. (insbs. nicht für den thermischen Zustand)

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 29. Sep 2014 09:23, insgesamt 2-mal bearbeitet
IchHabNeFrage
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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:21    Titel: Antworten mit Zitat

Oder gilt das wirklich nur wenn mein Psi ein reiner Produktzustand ist!?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:24    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Oder gilt das wirklich nur wenn mein Psi ein reiner Produktzustand ist!?

was?

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IchHabNeFrage
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Beitrag IchHabNeFrage Verfasst am: 29. Sep 2014 09:28    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Die bisherigen p's waren klassische Wsk.s im Dichteoperator.

Die zwei p's, die du jetzt einführst, sind jedoch qm Wsk.-Amplituden im qm Zustand.

Das ist mir schon bewusst, die Bezeichnung war vielleicht etwas inkonsistent gewählt smile
Ich versuche mir gerade nur zu überlegen wann das gesamte rho als direktes Produkt geschrieben werden kann. Da wollte ich erstmal kleine Brötchen backen (reiner Zustand).
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 13900

Beitrag TomS Verfasst am: 29. Sep 2014 09:45    Titel: Antworten mit Zitat

IchHabNeFrage hat Folgendes geschrieben:
Ich versuche mir gerade nur zu überlegen wann das gesamte rho als direktes Produkt geschrieben werden kann. Da wollte ich erstmal kleine Brötchen backen (reiner Zustand).

Das reicht nicht, denn das hat offensichtlich viel mit der Basiswahl zu tun.



In dieser Basis ist



offensichtlich nicht diagonal

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