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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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 jentowncity Verfasst am: 29. Nov 2005 23:41 Titel: Waggon (problem bei Integration) |
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Moin Leute!
Hab da ein echt blödes Problem mit einem Integral:
Zunächst die Aufgabe:
| Zitat: | Ein 7m langer Waggon mit m = 2t fährt (reibungsfrei) waagerecht mit v = 6m/s unter einer Ladeluke von 1m Durchmesser hindurch, die genau so lange geöfnet ist, wie sie sich ganz über dem Waggon befindet. Aus der Luke fallen 5t Sand pro Sekunde senkrecht nach unten.
Wie ändert sich während des Beladens die Geschwindigkeit und der zurückgelegte Weg mit der Zeit? |
Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz:da der Sand nur eine Vertikale Impulskomponente hat, also mit also ergibt sich:So, das war nicht so schwer. Der Weg ergibt sich durch Integration von v(t) von 0 bis t.
Und genau hier ist auch mein Problem: Ich krieg es nicht gebacken zu integrieren.
Weiß jemand wie es geht? 
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dachdecker2
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 30. Nov 2005 15:54 Titel: |
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Moin dachdecker2!
Danke für die schnelle und vor allem geile Antwort!
Auf Tafelwerk und Grundintegral bin ich nicht gekommen.
Naja, wieder was gelernt.
Danke nochmal 
Gruß
jentowncity
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dachdecker2
Administrator
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| dachdecker2 Verfasst am: 30. Nov 2005 20:54 Titel: |
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Das Tafelwerk ist immer meine erste Anlaufstelle, darauf verweise ich ja auch oft genug. Ich kann nicht verstehen, warum das so viele nicht kennen. Das Tafelwerk ist meiner Meinung nach wichtiger als der Duden und ein Deutsch-Englisch-Wörterbuch zusammen  .
6 m weit wird der Wagon befüllt, was überschlagsmäßig eine reichlich 38 t schwere Füllung macht. Eine Schöne Differentialrechnung könnte man draus machen, wenn man fragt, wie groß der Massestrom(t) sein muss, damit die Füllhöhe im Ganzen Waggon gleich ist. Traust du dir die Lösung zu?
Das hier ist mein 777. Post - eine Schnapszahl  .
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Gruß, dachdecker2
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jentowncity
Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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| jentowncity Verfasst am: 01. Dez 2005 01:25 Titel: |
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nee, von Differenzialgleichungen verstehe ich nix und schon gar nichts von deren Lösungen (ich weiß nur, dass man da raten muss)...
Wie sehen die aus? Sind das nicht Bewegungsgleichungen? 
p.s. deine Werte stimmen nicht ganz, denn so wie ich das sehe hast du für s(t) 7m eingesetzt, wo es 5m sein müssten, denn die Luke ist nur so lange auf, wie sie sich ganz über dem waggon befindet.
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
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| sax Verfasst am: 01. Dez 2005 02:19 Titel: |
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Das Tafelwerk(eigentlich gibt es unzählige) ist doch sehr begrenzt. Ich benutze da lieber den Bronstein(oder erst mal maple).
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dachdecker2
Administrator
Anmeldungsdatum: 15.06.2004
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| dachdecker2 Verfasst am: 01. Dez 2005 02:57 Titel: |
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@jentowncity:
Ich lasse den Waggon 6 m weit befüllen (nicht 5), weil die Luke einen Meter lang ist und der Wagon 7 m.
@sax:
Das Tafelwerk hat schon Vorteile. Klar ist der Matheteil vom Bronstein 13 mal so lang wie der (meines) Tafelwerkes. Grad in letzter zeit hab ich öfter die Massen von Himmelsköpern gesucht, Physikalische Zusammenhänge und zuweilen brauch ich auch ab und an chemische Formeln oder die Tabellen im Physikteil. Weil das alles im Bronstein nicht drin ist, ist er weder meine erste Anlaufstelle nocht das Nachschlagewerk, dass ich immer dabei hab. Und wie man meist sieht, reicht das Tafelwerk gewöhnlich auch aus.
Wenn man mal was nicht im Tafelwerk findet, kann man immer nocht Göhler, Bartsch, Bronstein, Taschenbuch der Regelungstechnik/Physik/Mestechnik/Eletronik... zu Rate ziehen. Das alles kann ich aber nicht immer mit mir herumschleppen .
Ich bin übrigens auch ein Maple-fan. Das hilft mir zusammen mit MatLab und LabVIEW auch immer wieder . Viele schwören auf MathCad, damit komme ich gar nicht klar .
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Gruß, dachdecker2
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jentowncity
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| jentowncity Verfasst am: 03. Dez 2005 14:49 Titel: |
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Moin dachdecker2,
der Waggon wird 5m lang befüllt, und zwar weil die Luke nicht nur einen Meter vor dem Ende geschlossen wird, sondern auch noch weil sie erst einen Meter nach dem Anfang geöffnet wird, also insgesamt 2m der ursprünglichen Strecke geschlossen, oder anders gesagt: 5m lang geöffnet.
MfG jentowncity
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dachdecker2
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| dachdecker2 Verfasst am: 03. Dez 2005 15:24 Titel: |
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Wenn die Luke einen Meter im Durchmesser misst, dann kann ich den Waggon ab dem Moment, in dem die gesamte Luke über der sieben Meter langen Ladefläche ist, sechs Meter verschieben, bis die hinterkanten von Luke und Waggon zusammentreffen. Wenn man jetzt das Zeitverhalten beim Fallen der Ladung für vernachlässigbar hält, kann man davon ausgehen, dass nichts vor oder hinter die Ladefläche fällt .
Ich bin schon am Machen. Im Moment überprüfe ich, ob mein Ansatz Okay ist .
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dachdecker2
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| dachdecker2 Verfasst am: 05. Dez 2005 12:56 Titel: |
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| jentowncity hat Folgendes geschrieben: | | ... fährt (reibungsfrei) waagerecht mit v = 6m/s unter einer Ladeluke von 1m Durchmesser hindurch, die genau so lange geöfnet ist, wie sie sich ganz über dem Waggon befindet. Aus der Luke fallen ... |
Der Waggon ist 6 m länger als die Luke im Durchmesser misst, folglich ist die Luke ein zusammenhängendes Stück von 6 m länge vollständig über dem Waggon. Keine Widerrede.
Jetzt zum eigentlichen Thema , der konstanten Lastverteilung im Waggon nähmlich:
Um Den Waggon von vorn bis hinten gleichmäßig hoch zu beladen, muss }{v(t)}= b = const.) sein. Die Konstante b lege ich mal auf  fest, damit müssten nachher (bei s = 6 m) 30 Tonnen auf den Waggon geladen sein.
 = b \cdot v(t)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1))
=b\frac{m_0v_0}{m(t)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2))
Die Geschwindigkeit (2) hab ich in die Formel für den Massenstrom (1) eingesetzt, und folgende Differentialgleichung erhalten:
 = b \frac{m_0v_0}{m(t)}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3))
Die folgenden Lösungen hat die Mathesoftware Maple ausgerechnet. Ich hab einige Schwierigkeiten damit, "von Hand" zur Lösung zu kommen. Klar ist, da bin ich mir mit Maple einig, dass sich das Verfahren zum Lösen von bernoullischen Differentialgleichungen anbietet. Aber weiter muss ich noch dranbleiben.
 = b\frac{m_0v_0}{\sqrt{2tbm_0v_+b^2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4))
 = \sqrt{2tbm_0v_+b^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5))
 = \frac{m_0v_0}{\sqrt{2tbm_0v_+b^2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6))
 = \frac 1{b m0}\cdot \sqrt{2tbm_0v_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7))
Die Grapen sehen denen aus der Lösung der Originalaufgabe relativ ähnlich, jedoch sind hier (4) und (6) sowie (5) und (7) einander proportional.
Ich poste mal meinen Lösungsansatz:
Man kann Dgl. (3) als Bernoulische Dgl. schreiben:
 + p(t) m(t) + q(t) \cdot m^n(t) = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(<img src=) ">
 = 0, \,\,\,\,\,\,q(t) = - b \cdot m_0v_0\,\,\,\,\,\, und \,\,\,\,\,\,n = -1)
laut Lösungsalgorhytmus wird zunächst durch ) geteilt danach werden die Substitutionen }) und  = -(n-1)\frac{\dot y(t)}{y^n(t)}) gemacht. Es wird folgende lineare Differentialgleichung erhalten:
)
Die charakteristische Gleichung hat folgendes Aussehen:
)
Die Homogene Lösung aus (9) ist demnach:
)
Mit dem konstanten Störterm ( ) ist der Ansatz für die partikuläre Lösung:
)
)
Eingesetzt in die Ausgangsgleichung:
)
Spätestens in der (14) scheint ein Fehler zu sein ... ich bleib mal dran.
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