Hydrostatik: Druckangriffspunkt einer gekrümmten Fläche bere

peter94 · Anmeldungsdatum: 30.10.2013 Beiträge: 4

Meine Frage:
Hallo

Angenommen eine Säule liegt horizontal in einer idealen Flüssigkeit (hier Wasser). Jedoch befindet sich nur auf der linken Seite Wasser (rechts Luft).
Ich möchte das Moment um den Punkt errechnen, wo die Säule den Boden berührt.

Meine Ideen:
Die Beträge der Druckkräfte kann ich errechnen. Der Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit (?*g*V).
Ebenso kann ich die horizontale Kraft ermitteln. Hier rechne ich ?*g*h*A, wobei h der Abstand zwischen der Wasseroberfläche und dem Schwerpunkt der Projizierten ist.
Wie komme ich nun auf den Druckangriffspunkt ? Wie würde das funktionieren, wenn die Säule die Form einer Ellipse hätte ?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also, irgendwie ist mir ehrlich gesagt die Aufgabenstellung nicht so ganz klar. Ich denke fast, dass es eventuell nicht nur mir so geht, weil es bis jetzt noch keine andere Antwort gab...

Deshalb dachte ich, ich probier mal eine kleine Skizze, zumindest so wie ich die Aufgabe meine verstanden zu haben... Falls Du überhaupt noch Interesse hast, kannst Du ja noch sagen, ob das so wirklich gedacht war, oder doch ganz anders, etc...

Gruß
Marco

peter94 · Anmeldungsdatum: 30.10.2013 Beiträge: 4

Hallo

Ja, genau so war es gemeint.

und das Problem liegt beim Druckmittelpunkt/Angriffspunkt.

LG
Peter

Wiktoria · Gast

Ich bezeichne mit H den Durchmesser der Säule und mit L ihre Länge.

Die resultierende, horizontale Kraft auf den Zylinder liegt bei 1/3*H vom Boden aus gemessen und hat den Wert
R = 1/2*roh*g*H²*L
Das gesuchte Drehmoment also M = 1/6*roh*g*H³*L

Falls die Säule einen elliptischen Querschnitt hat, so ändert sich das Drehmoment nicht.

peter94 · Anmeldungsdatum: 30.10.2013 Beiträge: 4

Hallo

Danke für deine Antwort.

Das mit dem horizontalen Druck ist klar. Entweder die Höhe mal 1/3 oder das Iy/(ys*A) +ys ... Flächenträgheitsmoment der Projizierten/(Schwerpunktabstand der Projizierten mal der Fläche) + Schwerpunktabstand der Projizierten ... kommt aufs gleiche raus

Jedoch müsste hier nicht auch noch ein Auftrieb und eine Auflast (vertikaler Druck) wirken ?

und wo würde der angreifen ?
Greift die Auftriebskraft im Schwerpunkt des darüberliegenden Volumens an ? (siehe Bild ... Schwarzer Punkt ist jeweils der Schwerpunkt der Teilfläche, Auftrieb greift im Schwerpunkt der gesamten Fläche an)

und die Auflast im Schwerpunkt von dieser Restfäche eines Viertelkreises ?
(siehe Bild)

LG Peter

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

also ich meine auch, dass man das berücksichtigen muss.

Auf jeden Fall kann man ja über die halbe Oberfläche der Walze/Säule integrieren, indem man lauter infinitesimale Streifen bildet, die jeweils in der selben Tiefe sind und zum Hebelarm jeweils im selben Winkel stehen etc, Allerdings wird das ein ziemlich hässliches Integral werden, so weit ich das schonmal angeschaut habe... Ich persönlich würde auf jeden Fall diesen Weg mal weiter gehen.

Obs da eine einfachere Lösung gibt, weiß ich nicht... Dementsprechend wird es dann auch bei einer Ellipse anders sein (mE ist bei einem Kreis das Drehmoment höher durch die im Mittel höheren Auftriebskräfte, die Du ja auch beschrieben hast, als bei einer schmalen Ellipse oder gar einer rein senkrechten Barriere im Extremfall).

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo,

also, ich hab mal etwas gerechnet... Allerdings bin ich da ziemlich aus der Übung, weshalb ich mir gut vorstellen kann, dass das nicht alles so ganz korrekt ist. Also bitte nochmal genau anschauen!

Der hydrostatische Druck ist:

Die Tiefe

ist (s. Schaubild im Anhang)

Wobei

der Radius der Walze/Säule ist.
Das Flächenelement ist (mit

die Länge der Walze/Säule)

Der Betrag der Kraft aus dem Druck ist dann:

Für den Hebelarm

hab ich das hier (hab den Kosinus-Satz im unteren Dreieck verwendet, wobei der stumpfe Winkel in der Mitte der Walze

ist. Vielleicht gehts auch einfach, weil es ja ein gleichschenkliches Dreieck ist?):

Also ist

:

Alles am Ende zusammen gebaut ergibt:[edit: hier fehlt noch der Sinus vom Winkel zwischen Kraft und Hebelarm. S. Posts weiter unten]

Da ich leider auch mit Integrale-Lösen nicht mehr fit bin und auch keine Zeit/Lust hatte... Ich hab mal dieses Wolfram Alpha ausprobiert. Ich bekomme für das Integral dort

, das ganze dann noch mal die ganzen Konstanten würde mir also:

bringen.

Ich weiß leider gar nicht, ob das einen Sinn ergibt und ob/wo ich mich verrechnet hab... Könnte sich das nochmal jemand anschauen, der mit Rechnen noch etwas mehr "im Saft" steht als ich? Würde mich sehr freuen!

Gruß
Marco

Physikgast · Gast

@as_string

Ich glaube bei deiner Rechnung fehlt der Winkel zwischen r und F

Ich habe erst den Kraftvektor auf den Schwerpunkt berechnet
und komme dann auf

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ach, verdammt... Das stimmt natürlich!
Da fehlt ja noch ein Faktor

Auf meinem Zettel hatte ich ihn noch irgendwann stehen, dann dummerweise nicht mehr...

Ja, da kommt beim Integral dann nur noch

raus und insgesamt das von Dir genannte Ergebnis.

Vielen Dank für's Nachrechnen!

Gruß
Marco

peter94 · Anmeldungsdatum: 30.10.2013 Beiträge: 4

Hallo,

Danke für die aufwendige Herleitung. Jedoch habe ich mittlerweile auch einen anderen Lösungsweg gefunden :

Angenommen der Radius ist 5m und die Breite (L...) ist 8

Dann rechne ich den Betrag der horizontalen Kraft aus:
Fh= ρ * g* h * A = 1 * 9,81 * 2,5 * 5 * 8 = 981 kN

Der Druckmittelpunkt ist von unter her 0.3333 * 5 = 1,667

Dann der Auftrieb

Fv = ρ * g* V = 1 * 9,81 * (2,5^2*pi/4 + 2,5 * 2,5) *8 = 875,738 kN

Und die Auflast noch:

Fauf = ρ * g * V = 1 * 9,81 * (2,5*2,5 - 2,5^2*pi/4) = 105,362 kN

Weiter zum Angriffspunkt des Auftriebs -> Schwerpunkt der darüber liegenden Fläche

xs= ((2,5^2*pi/4 * 1,06 + 2,5*2,5*1,25)/(2,5^2*pi/4 + 2,5 * 2,5)) = 1,1666 m

1,06 ... Schwerpunktsabstand des Viertelkreises (Unten)

Dann der Angriffspunkt der Auflast:

2,5 - 0,5585 = 1,9415

0,5585 ... Schwerpunktabstand der Restfläche des Viertelkreises (Oben)

Das würde folgendes Moment ergeben:

M = 981 * 1,667 + 875,738 * 1,166 - 105,362* 1,9415 = 2451,02 kNm

ODER MIT DEINER SUPER FORMEL

2*ρ*g*r^3*l

2*1*9,81*2,5^3*8 = 2452,5 kNm

Passt perfekt überein (abgesehen von dem Rundungsfehler)

Vielen Dank an alle Helfer