Potential homogen geladener Hohlzylinder mit Randbedingungen

Felix24 · Gast

Hallo,

ich stehe auf dem Schlauch.

Gegeben ist eine Anordnung aus zwei leitenden, konzentrisch angebrachten Zylindern (Radien

,

mit

).
Zwischen den Elektroden befindet sich eine konstante Raumladung

.

Als zusätzliche Randbedingungen sind die beiden Potentiale

und

gegeben.

Unter Vernachlässigung der Streufelder an den Enden der Zylinder soll, ausgehend von der Poissonschen Differenzialgleichung, das Potential der Anordnung im gesamten Raumbereich ermittelt werden.

Mein erster Lösungsansatz sieht folgendermaßen aus:

Wegen

und der Feldfreiheit im Inneren der Anordnung muss

auch Null sein.

Für die verbleibenden Konstanten habe ich folgende Überlegungen angestellt:

Da das Potential in

stetig sein muss, gilt:

Da das Potential in

stetig sein muss, gilt:

Außerdem muss die 1. Ableitung des Potentials in

stetig sein, also gilt:

Wenn ich die ganzen Konstanten so ausrechne, kriege ich für den Bereich zwischen den Elektroden einen plausiblen Potentialverlauf heraus. Für den Außenbereich ergibt das aber nur Quatsch.

Sind meine Überlegungen prinzipiell richtig oder habe ich mich möglicherweise nur verrechnet? Ich vermute einen Fehler mit der letzten Überlegung (Ableitung des Potentials). Gibt es in dem Bereich (auf der äußeren Elektrode) eine Flächenladungsdichte, die man irgendwie berücksichtigen muss?

Danke und viele Grüße
Felix

Bruce · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 537

Warum muß die 1. Ableitung des gesuchten Potentials nach dem Radius stetig sein?

Gegenbeispiel: Homogen geladene, unendlich ausgedehnte Platte!

Ist hier die 1.Ableitung des Potentials beim Durchgang durch die Platte stetig?

Gruß von Bruce

Felix24 · Gast

Okay danke, das mit der Ableitung stimmt wohl nur, wenn keine Flächenladungsdichte in der Grenzschicht vorhanden ist.

Mit Ladung in der Grenzschicht muss offenbar gelten:

Leider kenne ich aber weder die Konstante C4 noch die Flächenladungsdichte in der Grenzschicht. Irgendwas fehlt mir also noch.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Dein Ansatz ist falsch. Der Term mit der Konstante C2 existiert nicht und C4 ist auch schon gegeben durch die Gesamtladung des Zylinders (beides siehst Du leicht mit dem Gauss'schen Satz). Darüber hinaus ist mir nicht ganz klar, was die Aufgabenstellung ist, da die potential Differenz zwischen ri und ra schon durch die Raumladung gegeben ist (Du erhaelst also einen Zusammenhang zwischen der Gesamtladung und U).

Aber vielleicht versteh ich Deine Anordnung falsch...