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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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 scaer93 Verfasst am: 29. Apr 2013 17:45 Titel: Integral mit Delta-Funktion mit Cos im Argument lösen? |
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Hallo,
ich habe ein Integral, welches ich berechnen soll.
))}{x^{2}}dx)
ich habe zunächst den Cos in den Sinus umgeschrieben, da ja )=sin(\pi x))
Dann kenne ich z.B. noch folgende Beziehung:
) = \Sigma^{}_{i} \, \frac{1}{|f'(x_i)|} \delta(x-x_i))
mit  einfache Nullstellen von f(x) und  als Summensymbol.
Die Ableitung von ) ist )
Nur dann weiß ich nicht weiter, wie ich dann weiter berechnen soll....
Hilft mir evtl. noch die Beziehung:
 \delta(x-a) = f(a)?
<br />
)
Könnt ihr mir da helfen?
Grüße
Scaer93 |
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 29. Apr 2013 19:00 Titel: |
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Sieht doch alles gut aus.
Einsetzen und fertig, würde ich sagen.
Beide Beziehungen sind wichtig und die Vereinfachung schadet auch nicht.
Vielleicht hilfts dem Verständnis (wenn nicht einfach ignorieren...): Man muss natürlich nicht über alles integrieren, sondern nur den Delta-Peak im Integrationsbereich haben. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 29. Apr 2013 20:23 Titel: |
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Danke sehr.
Aber die Integralgrenzen passen doch nicht. In meinem Integral geht es von 1 bis  und bei der Beziehung geht es von  bis .
Ich würde sagen, dass ich am Ende durch die erste Beziehung nur noch etwas a la:
 dx)
Wobei das für die Summe aus der ersten Beziehung steht, die nur noch von den Nullstellen des Sinus abhängt und nicht mehr von x.
Und nun wäre ja die zweite Beziehung zum Einsatz kommen, jedoch stimmen die Integralgrenzen nicht...
Kannst du da noch mal helfen?
Danke und Grüße |
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 29. Apr 2013 21:31 Titel: |
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Ich nehme mal an, die Formel soll nicht genaus so aussehen. Wobei das 1/f' tatsächlich noch fehlt..
Also was kann man mit Summen/Integralen über unterschiedliche Argumente machen?!
Und vielleicht hilft noch, dass man ein Integral "von a bis b" beliebig unterteilen kann. Sprich "von a bis h1", "von h1 bis h2", usw... rein für's Verständnis.
Mal' doch mal die x^(-2)-Funktion und die "Deltas" in einen Graphen... Dann solltest du eigentlich direkt sehen was dabei heraus kommt. Und es sollte klar werden, warum wir bei 1 anfangen zu integrieren.
Wie gesagt, man muss nicht notwendigerweise von "-inf" bis "inf" gehen. Es genügt den jeweiligen Peak im Integrationsbereich einzuschließen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 29. Apr 2013 22:23 Titel: Re: Integral mit Delta-Funktion mit Cos im Argument lösen? |
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Damit sollte das funktionieren:
) = \sum_{i} \, \frac{1}{|f^\prime(x_i)|} \delta(x-x_i))
Du setzt
)\,g(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sum_{i} \, \frac{1}{|f^\prime(x_i)|}\, \delta(x-x_i) \,g(x) = \sum_{i} \, \frac{1}{|f^\prime(x_i)|} \int_{-\infty}^{+\infty} dx\,\delta(x-x_i)\,g(x) = \sum_{i} \, \frac{g(x_i)}{|f^\prime(x_i)|} )
Übrigens kann man sich das Ergebnis recht einfach verstehen. Man setzt für jede Nullstellen eine lineare Näherung der Funktion f(x) um die jeweilige Nullstellen an. Dann entspricht dem Term f' im Nenner einfach der Steigung aus der linearen Näherung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 30. Apr 2013 08:20 Titel: |
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Danke für die Antwort:
Naja, von 1 zu beginnen hatte ich mir so erklärt, dass ich ja schlecht durch null teilen kann, wegen der Funktion  .
Zum Verständnis: ich muss nur dafür sorgen, dass der (die) Peak(s) der Delta-Funktion(en) in meinen Integralgrenzen enthalten ist (sind), dann darf ich die Delta-Rechenregeln benutzen, auch wenn die Rechenregeln für andere Integralgrenzen (wie hier bis  in der Formelsammlung stehen?
Das Würde dann doch bedeuten, dass TomS mir die Lösung im Prinzip schon gegeben hat.
Ich müsste in das von TomS nur meine Funktion einsetzten und umformen, wie er es gemacht hat und dann wäre ich fertig. Dann schreibe ich noch den Satz hier aus meinem Post hin, wegen den Integralgrenzen und ich hätte die Aufgabe gelöst, oder?
Ich ersetze bei dem von dir, TomS, einfach die untere Grenze durch meine 1 und erkläre mit dem Satz oben, dass ich die Rechenregeln verwenden darf, richtig?
Mich hat es einfach nur gewundert, dass meine Grenzen nicht übereinstimmten. Ich wusste, dass ich die Grenzen (=Intervalle) aufteilen darf. Jedoch wusste ich nicht, wie ich bitte bei Grenzen aufteilen kann. Geht ja z.B. schlecht 
Grüße
scaer93 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2013 08:42 Titel: |
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Hi,
Die Singularität von stört nicht, wenn die Deltafunktion bei x=0 keinen Peak hat. Wenn das jedoch der Fall ist, dann hast du ein Problem. In deinem Fall kannst du für  in der Umgebung von x=0 (sowie für jede andere Nullstelle) eine Taylorentwicklung ansetzen; dann folgt
 = \delta( \pi x ))
Warum die Grenzen des Integrals anhand des Integranden ändern kannst ist mir nicht klar. Üblichkeiten hat man doch ein mathematisches Problem, aus dem sich die Grenzen ergeben, d.h. dass diese nicht mehr willkürlich änderbar sind.
Aber du sagst ja nichts zur Bedeutung des Integrals bzw. der ursprünglichen Problemstellung.
Zu den Grenzen: die Deltafunktion liefert immer eine Beitrag, wenn der Peak im Integrationsgebiet liegt. D.h.
\,f(x) = f(x_0)\; \text{wenn}\; x_0 \in \,]a,b[)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 30. Apr 2013 17:58 Titel: |
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Also wirklich TomS... was soll denn das... Ich wäre froh, wenn du mir meine "metamathematischen" Probleme auch so lösen würdest..
Naja, so wie er es geschrieben hat, sieht es dann eben aus, wenn man meine Tipps befolgt.
Vorgekaut schmeckts zwar nur halb so gut, ist aber leichter verdaulich...
Du musst eigentlich nur in die letzte Gleichung einsetzen. Das eventuelle Erfolgserlebnis hat er dir damit genommen; naja...
Mit dem Aufteilen des Integrals kann man sich die komplette Funktion einfach als Superposition der einzelnen Faltungen vom jew. Peak mit "x^(-2)" vorstellen. Wobei das auch ohne Aufteilen gilt. Je nach dem, wie man sich das vorstellen möchte. Entweder alles in einem Graph, oder pro Peak ein Graph und dann die Superposition..
Und genau das drückt dann die Summe schließlich aus. Dann werden die Grenzen auch klar.
Würde sich etwas ändern, wenn dort als Untergrenze nicht "1" sondern "0.5" (oder "0+dx, oder 1-dx") stünde?!... ..eben. 
Es sei noch gesagt, dass das was er mit Taylor entwicken will quasi überflüssig ist, weil es ja schon in der Ableitung drin steckt und wir uns hier eh mit infinitesimal schmalen Peaks abgeben.
(Auf Wikipedia wird das "Skalierung" genannt - zu recht).
Und auch bei Singularitäten hilft das nicht. Dann hat man so oder so ein Problem, wenn nicht grade "unendlich" in der Lösungsmenge auftauchen soll.
TomS, die Peaks liefern nicht nur irgendeinen Beitrag, sondern immer den selben, daher spielen die genauen Grenzen keine Rolle. Wo nichts ist, kann auch nichts aufsummiert werden. Es genügte also theoretisch von "-epsilon bis +epsilon" zu integrieren... Durchführbar ist es dann eher mit realen Grenzen. |
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scaer93
Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137
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| scaer93 Verfasst am: 30. Apr 2013 19:01 Titel: |
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Ja, danke sehr. Das habe ich nun auch verstanden.
Mir ist es meistens lieber die Lösung oder einen größeren Teil derer zu sehen und diese nachzuvollziehen, als da dann zu sitzen und doch nichts zu verstehen...
Von dem her mache ich dir, TomS keinen Vorwurf und finde auch, dass es den nicht geben sollte...
Trotzdem Danke an euch zwei, habt mir gut geholfen... |
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Klondijk457
Gast
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| Klondijk457 Verfasst am: 30. Apr 2013 19:44 Titel: |
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..Nur steht in der Lösung auch nichts von "angepassten" Integrationsgrenzen... Es wird schwer etwas nachzuvollziehen, dass garnicht vorhanden ist.
Ich denke problematisch wird's, weil man dann sogar zum richtigen Ergebnis kommt auch ohne etwas verstanden zu haben. Dabei kommt auch nichts neues heraus, denn "den Lösungsweg" an sich gibt es nicht. Leider lässt sich jetzt nurnoch mutmaßen, ob dir nicht ein alternativer eingefallen wäre..
In diesem Fall eher überschaubar, aber das soll wohl nicht die letzte Aufgabe für dich gewesen sein, nehme ich an... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18094
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| TomS Verfasst am: 01. Mai 2013 08:47 Titel: |
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| Klondijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Also wirklich TomS... was soll denn das... Ich wäre froh, wenn du mir meine "metamathematischen" Probleme auch so lösen würdest. |
Ich gelobe Besserung ;-)
| Klondijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Ws sei noch gesagt, dass das was er mit Taylor entwicken will quasi überflüssig ist, weil es ja schon in der Ableitung drin steckt und wir uns hier eh mit infinitesimal schmalen Peaks abgeben. |
Die Taylorentwicklung zeigt, warum die Allgemeine Formel mit dem 1/ |f'| funktioniert.
| Klondijk457 hat Folgendes geschrieben: | | TomS, die Peaks liefern nicht nur irgendeinen Beitrag, sondern immer den selben, daher spielen die genauen Grenzen keine Rolle. Wo nichts ist, kann auch nichts aufsummiert werden. Es genügte also theoretisch von "-epsilon bis +epsilon" zu integrieren. |
Klar, aber kann sich das ja mal für ein endliches Intervall mit genau einem Peak klarmachen.
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