Wellenfunktion von Helium und Wahrscheinlichkeitsdichte

misterl · Anmeldungsdatum: 06.06.2010 Beiträge: 4

Hallo Liebe Leute,

ich habe drei Fragen, die jedoch aus dem gleichen Kapitel des QM-Skripts stammen, daher stell ich die mal in einen Thread. Zum Warmwerden vielleicht mal das Alpha-Teilchen (Heliumkern):

Wieso ist der Spin des Alpha-Teilchens Null? Es können sich doch auch zwei Spins von je 1/2 zu einem Gesamtspin Eins addieren (habe da ein Bild vom Triplett-Zustand im Kopf, s = 1 jedoch ein Spin 1/2, der andere -1/2).

Die zweite Frage geht um die Lösung des Wasserstoffatoms. Die Rechnung selbst (Separationsansatz und Lösungen der DGL) sind mir klar, auch dass so die Kugelflächenfunktionen Y und die Radialfunktionen R resultieren. Nur danach geht die Verwirrung los: Es heißt "Die Radialfunktionen

haben ihr Maximum bei r=0, das Elektron hält sich also mit großer Wahrscheinlichkeit am Ort des Kerns auf. Oft ist es von Interesse zu wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das Elektron zwischen zwei Kugelflächen befindet..... Man erhält die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit

"

Dazu die Bilder dieser Funktionen

und

. Doch welche dieser Funktionen gibt nun wirklich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an? Ich dachte, dass sich das Elektron im Mittelwert doch ca. im Bohrschen Radius vom Kern entfernt aufhält, was das Bild von

auch andeutet, während die Funktion

ihr Maximum tatsächlich im Kern hat. Was ist nun der Unterschied zwischen diesen verschiedenen Wahrscheinlichkeiten?

Die dritte Frage ist speziell fürs Helium-Atom. Da steht im Skript, dass bei Helium-Atomen als Bose-Teilchen die Gesamtwellenfunktion symmetrisch gegenüber der Vertauschung irgend zweier Teilchen ist. So weit so gut, es sind ja Bosonen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte

also invariant gegen der Vertausching ist. Doch zwei Seiten weiter wird nun für die Ortswellenfunktion eine symmetrische Funktion

und eine antisymmetrische

gebildet und für die Spinfunktion ebenso eine symmetrische (Triplett)

und antisymmetrische (Singulett)

.
Da nun die Gesamtwellenfunktion das Produkt der Orts- und Spinfunktion ist findet man angeblich nur die Lösungen:

Begründung: Man hat nur diese zwei Möglichkeiten, da beide antisymmetrisch gegenüber der Teilchenvertauschung sind. Aufgrund des Pauli-Prinzips seien nur diese zwei Kombinationen zugelassen.
Aber oben stand doch, dass beim Helium die Gesamtwellenfunktion symmetrisch gegenüber der Vertauschung sein muss?! Wie passt das zusammen? Das verwirrt mich im Moment sehr.

Hoffe, dass ihr Licht ins Dunkel bringen könnt smile

Sollten das zu viele Fragen für einen Thread sein, kann ich das auch splitten.

grüße, misterl

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

zu 1.) Die Spins koennten sich auch anders addieren, allerdings ist dann die Energie höher. Der Spin 0 Zustand ist der mit geringster Energie.

zu 2.) Die W'keit das Teilchen in einer Kugelschale der Dicke dr zu finden ist , ist gegeben durch

.
(diese Gleichung definiert P(r)). Deswegen kommt man auf die von Dir angegebene Formel, das extra r^2 kommt vom Volumenelement. |psi|^2 ist die W'keitsdichte im gesamten Raum.

zu 3.) Ich vermute dass es hier nur um die Wellenfunktion der beiden Elektronen geht und das sind beides Fermionen, also ist diese antisymmetrisch.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Zustand |nlm> innerhalb einer Kugelschale [R,R+dr] zu finden, lautet

Diese Wahrscheinlichkeit ist evtl. leichter zu interpretieren als die Dichte.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Ja, ich haette genauer sein sollen:
Das P, das ich definiert hab (und was in der Frage stand), sind W'keitsdichten, in diesem Fall W'keit pro Längeneinheit (des Radius).

misterl · Anmeldungsdatum: 06.06.2010 Beiträge: 4

Vielen Dank für die Antworten. Das heißt also fürs Alpha-teilchen, dass zwar durchaus auch ein Spin s=1 möglich wäre, jedoch praktisch nicht passiert, da die Energie niedriger ist, wonach man ja strebt? Oder gibt es auch alpha-teilchen mit Spin 1, die dann aber bald z.B. durch Spinumklapp-Prozesse zu Spin 0 werden?

Dieses

, das bei mir auftaucht ist auch nur ein Normierungsfaktor. Ich glaube ihr habt dann schon allgemein die Definition für die Wahrscheinlichkeit P hingeschrieben und ich das Ergebnis nach Integration. Der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeit (als Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte) ist mir bekannt.
Die Radialfunktionen

ergeben sich ja erstmal mathematisch aus der Lösung des Problems und haben dann für z.B. n=1 und l=0 ihr Maximum direkt bei der Null, wodurch das Elektron mit großer Wahrscheinlichkeit direkt am Ort des Kerns sein soll. Aber wozu wird dann ein weiterer Begriff

definiert (als "radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit"), der nun auch eine Wahrscheinlichkeit angibt, die aber nicht mehr bei der Null ihr Maximum hat? Siehe auch hier, wobei die oberen Bilder mein

und die unteren Bilder mein

darstellen: http://ruby.chemie.uni-freiburg.de/Vorlesung/SVG/E_in_fk/ao_dichte_radial.svg

Ich hab mal genauer nachgelesen: Hier heißt es ", dass das Maximum der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Nähe der Bohrschen Bahn für die jeweilige Quantenzahl n liegt".
Ist es also richtig, dass die Funktionen R erstmal die Wahrscheinlichkeitsdichte angeben und danach (nach Integration über den Raumwinkel) man die radiale Wahrscheinlichkeit P enthält, die dann nun ja im Kern wiederum Null ist? Und diese gibt dann an wie wahrscheinlich man an einem Ort das Elektron findet? Hab grad noch leichte Probleme die ganzen Funktionen R, P, Y, Psi zusammenzubasteln... Aber wird glaub schon etwas klarer smile

Bei der Frage zum Helium-Atom hast du glaub Recht, da werden tatsächlich die Elektronen betrachtet.... In meinem alten Vorlesungsmitschrieb hatten wir die gleiche Rechnung und da steht auch, dass es Elektronen sind. Dumm nur, dass in dem Skript hier dann explizit steht "Die Gesamtwellenfunktion des Helium-Atoms erhalten wir durch Kombination von Orts- und Spinfunktion":

Diese sind ja nun klar antisymmetrisch. (die vom Helium soll ja wie 2 Seiten vorher stand symmetrisch sein). Ich deute das nun so, dass im Skript zwar etwas von Gesamtwellenfunktion des Heliums steht, aber eigentlich die Beschreibung seiner beiden Elektronen damit gemeint ist, ähnlich wie man das Wasserstoff-Atom gelöst und dabei ja auch "nur" die Wellenfunktion des Elektrons gefunden hat.

lg, misterl

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Generell kann man beliebige Definitionen einführen, aber mehr Definitionen schaffen nicht mehr Klarheit. Im Falle des Wasserstoffatoms hat man die Wellenfunktionen selbst, sowie N, R und Y; ich denke das reicht; weitere Defintionen sind unnötig und verwirren nur.

Aber das kann jeder halten wie er will.