Schwingungsfrequenz durch harmonisches Potential berechnen

Staubfrei · Gast

Die Angabe lautet:

In einer Wanne mit halbkreisförmigem Querschnitt mit Radius R rollt ein Kügelchen reibungsfrei hin und her. Berechnen Sie die Schwingungsfrequenz dieser Bewegung für kleine Auslenkungen, indem Sie die tiefste Stelle der Wanne näherungsweise durch ein harmonisches Potential (Parabel) beschreiben.

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich das ganze angehen soll. grübelnd

Ein harmonisches Potential sieht doch wie folgt aus:

Aber was fange ich hier damit an?

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Ich würde mal den Krümmungsradius bei einer Parabel berechnen Augenzwinkern

Gruß

Packo · Gast

Wir legen den Nullpunkt des Potenzial in den tiefsten Punkt der Wanne und bezeichnen den Auslenkwinkel zur Vertikalen mit ϕ.
Potenzial U(ϕ) = mgR(1-cos(ϕ))
Taylor: cos(x) = 1 – x²/2! + x^4/4! - …
Wir brechen nach dem 2. Glied ab:
U(ϕ) = 1/2mgRϕ² parabolisches Potenzial
Die „Rückstellkraft“:
F(ϕ) = -dU/dϕ = -mgRϕ
Die Rückstellkraft ist also proportional der Auslenkung ϕ.
Proportiinalitätsfaktor mgR = D
F(ϕ)=-Dϕ
U(ϕ) = ½*D*ϕ²
Newton: m*d²ϕ/dt² = F(ϕ) = -Dϕ
m*d²ϕ/dt² + Dϕ = 0 die bekannte harmonische Schwingungsgleichung
mit ω² = D/m
f = ω/(2π) = 1/(2π)√(gR)