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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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 Picassodrücker Verfasst am: 06. Sep 2012 15:17 Titel: Berechnung Rotationskurven von Galaxien |
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Hallo,
für Umlaufgeschwindigkeiten von Objekten um das Zentrum einer Galaxie gilt ja:
 = \sqrt{\frac{G \cdot M(r)}{r} } )
Nachdem die Scheibe ein Zylinder ist, gilt weiters:
 = \sqrt{\frac{G \cdot \varrho \cdot r^{2} \cdot \pi \cdot d }{r} } )
Die Dichte nimmt mit wachsendem Abstand exponentiell ab, also:
 = \sqrt{G \cdot \varrho_{0}^{-\frac{r}{h} } \cdot r \cdot \pi \cdot d } )
Nun kenne ich für die Milchstraße die Skalenlänge h (ca. 3,5 kpc) und die Höhe des Zylinders d (ca. 0,3 kpc). Was mir jetzt noch fehlt, ist die Dichte im Zentrum der Galaxie. Gibt es dafür einen bekannten Wert, der mir erlaubt, die Funktion aufzustellen?
Mir ist klar, dass die Rotationskurven normalerweise anders berechnet werden. Ich weiß auch, dass ich Halo und Bulge nicht berücksichtigt habe, weil es mir nur darum geht, eine Funktion aufzustellen, die den erwarteten Verlauf einer Rotationskurve zeigt. Nur möchte ich dazu keine aus der Luft gegriffenen Werte verwenden, sondern einen möglichst realistischen Verlauf skizzieren.
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen... Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18084
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2012 15:30 Titel: |
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Mir ist noch nicht klar, wie du das mit der Dichte rechnest; ich gehe davon aus, dass M(r) die Masse ist, die von einer kreisförmigen Bahn mit Radius r eingeschlossen wird; dann gilt aber
 = \int_{\text{Vol}(r)}d^3r\,\rho(r))
Wenn du von einer radial exponentiell abnehmenden Massendichte ausgehst (ich weiß nicht, wieso du das annehmen darfst, denn die Massendichte ist doch üblicherweise das, was man aus den Rotationskurven erst bestimmen möchte), dann musst du entweder einen unendlich langen Zylinder konstanter Massendichte (entlang der Zylinderachse) annehmen (was ich für unrealistisch halte), oder du musst eine kugelsymmetrische Massendichte annehmen.
Für die Gültigkeit o.g. Formel musst du aber eine kugelsymmetrische Massenverteilung annehmen, nur dann ist die Gravitation im Abstand r ausschließlich durch die Massendichte im Inneren eine Kugel vom Radius r gegeben.
Was genau hast du vor? Und welche Symmetrie bzw. Formel für die Massendichte setzt du an? Und wie berechnest du dann die gravitativ wirkende Masse M(r)?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 06. Sep 2012 16:09 Titel: |
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Ja, ich denke, dass ich in diesem Beispiel eine sphärisch-symmetrische Verteilung annehmen kann, oder? Ich möchte mir keine konkreten Werte für die Bahngeschwindigkeit ausrechnen (sonst müsste ich Bulge und Halo ja berücksichtigen), sondern lediglich den Verlauf der erwarteten Rotationskurven von (Spiral-)galaxien skizzieren. Insofern dürfte so eine Vereinfachung ja nicht problematisch sein.
Dass die Dichte exponentiell abfällt, habe ich schon mehrmals gelesen, z.B. auch hier (rechts oben): http://bit.ly/NOmn93 (Ich hoffe, dass der Link richtig funktioniert, sollte auf Seite 402 verlinken). Was mir noch fehlt, ist dieser Ausgangswert für die Dichte.
Mag sein, dass ich da was falsch verstanden habe, und die Formel komplizierter ist, aber ich hoffe, dass zumindest klar ist, worauf ich hinaus will. Im Prinzip möchte ich nur anhand des Beispiels einer Rotationskurve erklären, wie sich dunkle Materie indirekt "beobachten" lässt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18084
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2012 17:28 Titel: |
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Nun, wenn die Dichte exponentiell abnimmt, dann kannst du doch einfach einen Ansatz
 = \rho_0 \, e^{-r/r_0})
wählen.
Der exponentielle Abfall muss sich aus beobachteten Werten (Sterndichte ?) ermitteln lassen. Aus einer Abschätzung der Gesamtmasse M (ebenfalls aus beobachteten Werten) kann der Normierungsfaktor festgelegt werden:
 = \int_{\text{Vol}(r)}d^3r\,\rho(r) = 4\pi \int_0^r ds\,s^2\,\rho(s) = 4\pi \rho_0 \int_0^r ds\,s^2\,e^{-s/r_0})
 = 4\pi \rho_0 \int_0^\infty ds\,s^2\,e^{-s/r_0})
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 06. Sep 2012 19:25 Titel: |
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| Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: | | Ja, ich denke, dass ich in diesem Beispiel eine sphärisch-symmetrische Verteilung annehmen kann, oder? |
Für die sichtbare Materie gilt das ganz offensichtlich nicht und selbst für den Halo aus dunkler Materie ist das eine sehr kühne Annahme. Sie setzt nämlich voraus, dass der Drehimpuls vernachlässigbar ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18084
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2012 19:39 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: | | Ja, ich denke, dass ich in diesem Beispiel eine sphärisch-symmetrische Verteilung annehmen kann, oder? |
Für die sichtbare Materie gilt das ganz offensichtlich nicht und selbst für den Halo aus dunkler Materie ist das eine sehr kühne Annahme. Sie setzt nämlich voraus, dass der Drehimpuls vernachlässigbar ist ... |
... was aufgrund der Stationarität i.A. wiederum nicht sein kann.
Ich kenne keine exakten Modelle, aber generell halte ich die Annahme auch für zu sehr vereinfacht. Man kann damit ein Spielzeugmodell definieren, aber kein realistisches Modell. Insbs. versagt das kugelsymmetrsiche Modell gerade da, wo die dunkle Materie besonders wichtig wird, nämlich im Bereich der Scheibe bzw. des Halos.
Schau mal hier:
http://ecap.nat.uni-erlangen.de/members/katz/ws02/atp/talks/kk/KK.pdf
http://pulsar.sternwarte.uni-erlangen.de/wilms/teach/astrosem_ss10/scherl.pdf
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Picassodrücker
Anmeldungsdatum: 06.09.2012
Beiträge: 44
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| Picassodrücker Verfasst am: 07. Sep 2012 23:47 Titel: |
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Danke schonmal für eure Antworten.
Ich kann mir jedoch immer noch nicht vorstellen, wodurch die Geschwindigkeit des Körpers (in der Annahme, dass kein Halo aus dunkler Materie existiert) noch beeinflusst wird außer von der Gravitation der Materie innerhalb seiner Bahn. Ich habe bisher auch immer gelesen, dass die Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft ist, wodurch sich eben die Formel
herleiten lässt. Insofern ist mir noch nicht ganz klar, weshalb das Modell der symmetrischen Massenverteilung hier nicht angewendet werden kann.
Der Verlauf der erwarteten Rotationskurve würde auch mit jener Funktion übereinstimmen, die ich zuerst unter Berücksichtigung des Dichteabfalls hergeleitet habe. Ich möchte auch wie gesagt kein komplett akkurates Modell, sondern einfach eines mit dessen Hilfe ich die Bedeutung dunkler Materie herleiten kann.
Dazu fehlt mir aber eben, wie gesagt, der Parameter  . Nun habe ich hier gelesen, dass die Dichte ganz im Inneren 6.5 × 10^9 M ⊙ pc^(-3) beträgt, was für diese Rechnung ein absolut unrealistischer Wert ist. Darüber hinaus kenne ich noch die durchschnittliche Dichte, die aber wahrscheinlich ebenso wenig geeignet ist.
Mir ist es egal, ob es sich hierbei um ein "Spielzeugmodell" handelt, denn ich schreibe eine Arbeit über die Expansion des Universums, wobei "Dunkle Materie" nur ein kleiner Einschub sein soll, um kurz diese Komponente der Gesamtdichte des Universums zu erklären. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18084
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| TomS Verfasst am: 08. Sep 2012 09:32 Titel: |
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| Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: | Ich kann mir jedoch immer noch nicht vorstellen, wodurch die Geschwindigkeit des Körpers ... noch beeinflusst wird außer von der Gravitation der Materie innerhalb seiner Bahn. Ich habe bisher auch immer gelesen, dass die Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft ist, wodurch sich eben die Formel
herleiten lässt. |
Für eine kugelsymmetrische Massenverteilung ist das sicher alles ganz korrekt. Wenn ein Bahnradius r gegeben ist, dann ist die Bahn vollständig durch die im Inneren der Kugelschale mit Radius r enthaltenen Masse M(r) definiert. Dazu musst du aber Kugelsymmetrie voraussetzen!
Anders gesprochen: wenn du eine nicht-kugelsymmetrische Massenverteilung hast (z.B. Zylindersymmetrie in der Scheibe), dann musst du zum einen berechnen, welche „gravitativ wirkende Masse“ M(r) dadurch definiert wird und ob du tatsächlich die Masse der Scheibe durch eine (gleich große) gedachte Punktmasse im Mittelpunkt ersetzen kannst, denn das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt genau für diese punktförmigen Massen, nicht für beliebige Massenverteilungen!
Zu anderen musst du evtl. Effekte der außerhalb einer Kugel mit Radius r liegenden Massen berücksichtigen. Betrachte eine Massenscheibe mit Radius R>r und einen Bahnradius r. Ohne explizite Berechnung ist zunächst unklar, ob die Effekte der außen liegenden Massen für r’>r tatsächlich wegfallen, oder ob sie berücksichtigt werden müssen. Dazu solltest du aber für realistische Modelle auch explizite Rechnungen finden.
Den Skalierungsparameter der Dichte würde ich nicht einfach übernehmen, sondern ich würde ihn durch die Normierung auf die Gesamtmasse festlegen. Der exakte Wert im Zentrum ist sicher ziemlich unsicher zu messen, insbs. wenn es dort ein gigantischen SL geben sollte ;-)
M.E. kannst du wie folgt vorgehen: du teilst eine Spiralgalaxie in zwei Bereiche, einen näherungsweise kugelförmigen Bulk sowie eine zylindrische Scheibe infinitesimaler Dicke. Dann besorgst du dir (aus verlässlichen Quellen) vernünftige Ansätze zur Verteilung der leuchtenden und nicht-leuchtenden Materie (Staub etc.) und damit auch der freien Parameter des Modells. Daraus kannst du nun qualitativ sehr einfach die Rotationskurven für einen Stern in der Ebene der Scheibe berechnen. Anschließend vergleichst du das mit den experimentell gefunden Werten. Zuletzt kommt noch mal der Beitrag eines kugelsymmetrischen Halos dunkler Materie hinzu.
Wenn dir das zu aufwändig ist, dann kannst du auch dein vereinfachtes Modell betrachten, aber du solltest zumindest auf die o.g. Problematik hinweisen.
EDIT:
Für die Gravitationskraft einer Scheibe fällt mir noch die Näherung einer unendlich ausgedehnten, unendlich dünnen Scheibe homogener Massendichte pro Fläche ein (die häufig in der Elektrostatik mit homogener Flächenladungsdichte betrachtet wird). Dafür erhält man aus Symmetriegründen eine Kraft senkrecht (!) zur Scheibe, d.h. aus einer derartigen unendlichen Scheibe resultiert keine relevante Kraft. Das wäre eine vernünftige Näherung für einen Stern relativ nahe am Bulk der Galaxie sowie in der Scheibenebene.
Für eine endliche Scheibe nicht-verschwindener Dicke wird die Rechnung bereits ziemlich kompliziert:
http://www.physikerboard.de/lhtopic,21896,0,0,asc,gravitation+scheibe.html
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 08. Sep 2012 16:46 Titel: |
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| Picassodrücker hat Folgendes geschrieben: | | Mir ist es egal, ob es sich hierbei um ein "Spielzeugmodell" handelt, denn ich schreibe eine Arbeit über die Expansion des Universums, wobei "Dunkle Materie" nur ein kleiner Einschub sein soll, um kurz diese Komponente der Gesamtdichte des Universums zu erklären. |
Kann es sein, dass Du auf sowas hinaus willst:
http://www.physikerboard.de/ltopic,21993,0,asc,26.html
Das ist wirklich nur eine mathematische Spielerei, weil die zugrundeliegende Theorie (klassische Mechanik mit Newtonschem Gravitationsgesetz) experimentell falsifiziert ist. Dass am Ende ein sinnvolles Ergebnis heraus kommt, ändert daran auch nichts. |
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