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Moritz17
Gast
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 Moritz17 Verfasst am: 13. Sep 2023 23:19 Titel: Zykloide - Berechnung der Rotationsgeschwindigkeit und der F |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe einen Versuch, bei dem ein Fahrrad mit dem Vorderreifen (r = 0,35m) auf einem Laufband steht, das mit konstanten 7 km/h läuft. Das Fahrrad steht also fest auf der Stelle und es rotiert nur der Vorderreifen des Fahrrads. In den Speichen des Fahrrads wird mithilfe von einem Smartphone und der App Phyphox die Winkelgeschwindigkeit ( w = 9,31 Rad/s) und die Zentripetalbeschleunigung ( a = 9,17 m/s*s) gemessen.
Dadurch konnte ich bisher die Rotationsgeschwindigkeit des Reifens berechnen: v=r*w ; v=0,35m*9,31 Rad/s ; v=1,91 m/s. Dieser Wert kommt den 7km/h vom Laufband sehr nahe, welcher in m/s 1,94 m/s beträgt.
Jetzt möchte ich die theoretische Fortbewegungsgeschwindigkeit des Reifens berechnen. Also wenn man mit dem Fahrrad in echt fahren würde, bewegt sich der Reifen in einer Zykloide. Hier ist allerdings die Rotationsgeschwindigkeit nicht gleich der Fortbewegungsgescheindigkeit der Radnabe. Die Rotationsgeschwindigkeit muss dann ja einen größeren Wert haben, als die Fortbewegungsgeschwindigkeit, weil bei der Rotation der Bogen der Zykloide zurückgelegt wird und bei der Fortbewegungsgeschwindigkeit nur die Gerade.
Meine Frage ist jetzt, wie ich die theoretische Fortbewegungsgeschwindigkeit berechnen kann?
Meine Ideen: |
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Hypertron
Anmeldungsdatum: 16.07.2023
Beiträge: 17
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| Hypertron Verfasst am: 14. Sep 2023 02:23 Titel: |
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@Moritz17: Vorab: Es wäre m.E. besser, hier statt des Begriffs Rotationsgeschwindigkeit den Begriff Umfangsgeschwindigkeit zu verwenden. Zur eigentlichen Frage: Die Geschwindigkeit der Radnabe ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Rads.
Das kann man sich folgendermassen klar machen: Bei einer Umdrehung wird einmal der Umfang des Rads abgerollt. Das bedeutet, der Startpunkt, wo das Rad den Boden berührt, und der Endpunkt, wo das Rad den Boden berührt, sind um den Umfang des Rads voneinander entfernt. In beiden Fällen steht die Achse genau über dem Punkt, wo das Rad den Boden berührt, d.h. die Achse hat sich um die gleiche Strecke fortbewegt. Das bedeutet, dass sich die Achse in der gleichen Zeit, in der der Umfang einmal abgerollt wird, um die gleiche Strecke fortbewegt. Deshalb ist die Geschwindigkeit der Achse bzw. Radnabe gleich der Umfangsgeschwindigkeit des Rads. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 14. Sep 2023 08:20 Titel: |
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So wie ich es verstehe, geht es um die Geschwindigkeit eines Punkts auf dem Reifen im System der Strasse. Dazu kann man den Ortsvektor eines solchen Punktes
=\begin{pmatrix}v_0t+R\sin(\omega t)\\ R\cos(\omega t)\end{pmatrix})
ableiten (v0 sei die konstante Geschwindigkeit der Radachse):
=\dot{\vec{r}}(t)=\begin{pmatrix}v_0+R\omega \cos(\omega t)\\-R\omega\sin(\omega t)\end{pmatrix})
Der Betrag ist zeitlich nicht konstant:
)|=\sqrt{(v_0+R\omega\cos(\omega t))^2+R^2\omega^2\sin^2(\omega t)})
+R^2\omega^2}=v_0\sqrt{2(1+\cos(\omega t))})
Es gilt
\leq 2v_0, \quad \bar{v}>v_0)
Zuletzt bearbeitet von Myon am 14. Sep 2023 21:18, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 14. Sep 2023 08:28 Titel: |
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Wobei die o.g. Rollbedingung noch nicht berücksichtigt ist.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 14. Sep 2023 08:47 Titel: |
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Ganz am Schluss eigentlich schon. Aber es wäre wohl besser gewesen, statt v0 von Beginn an nur
zu verwenden. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 14. Sep 2023 09:00 Titel: |
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Stimmt. Steht natürlich da. Sorry.
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Hypertron
Anmeldungsdatum: 16.07.2023
Beiträge: 17
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| Hypertron Verfasst am: 14. Sep 2023 10:46 Titel: |
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Ich hatte aufgrund der Formulierung "Fortbewegungsgeschwindigkeit des Reifens" den Eindruck, dass trotz der Erwähnung der Zykloide die Bewegung des Reifens als Einheit gemeint ist. Nach dem Lesen von Myon's Antwort scheint mir allerdings, dass wohl tatsächlich die Bewegung eines Punkts auf dem Reifen gemeint ist. Sorry für das Posten einer (vermutlich) überflüssigen Antwort.
@TomS:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wobei die o.g. Rollbedingung noch nicht berücksichtigt ist. |
Myon hat Dich offensichtlich verstanden, ich aber leider nicht. Was ist in diesem Fall mit "Rollbedingung" gemeint? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18083
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| TomS Verfasst am: 14. Sep 2023 10:55 Titel: |
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| Hypertron hat Folgendes geschrieben: | @TomS:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wobei die o.g. Rollbedingung noch nicht berücksichtigt ist. |
Myon hat Dich offensichtlich verstanden, ich aber leider nicht. Was ist in diesem Fall mit "Rollbedingung" gemeint? |
Exakt das, was du oben perfekt erklärt hast.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 14. Sep 2023 19:53 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
)|=\sqrt{(v_0+R\omega\cos(\omega t))^2+R\sin^2(\omega t)})
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@Myon
Ergebnis stimmt. Überprüfe mal die Rechnung.
Gruss
Mathefix |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 14. Sep 2023 21:20 Titel: |
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Hm, ja, da fehlte in der 2. Zeile ein 'R*omega^2', habe das oben eingefügt. Meinst Du das? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Sep 2023 09:45 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Hm, ja, da fehlte in der 2. Zeile ein 'R*omega^2', habe das oben eingefügt. Meinst Du das? |
Ja, auch. Beim Quadrat der z-Komponente -R*omega*sin(omega*t) fehlt das auch.
Meine Rechung
 = r \omega (1+\cos(\omega t) ))
 )
)^{2} +(-r\omega \sin(\omega t))^{2}} )
)^{2}+ \sin^{2}(\omega t)} )
+ \cos^{2}(\omega t) + \sin(\omega t))^{2}} = r\omega\sqrt{(1+2\cos(\omega t)+1})
)})
)}) |
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