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Berechnung Antikommutator Gammamatrizen
 
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ghostwhisperer



Anmeldungsdatum: 19.07.2023
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Beitrag ghostwhisperer Verfasst am: 02. Aug 2023 09:02    Titel: Berechnung Antikommutator Gammamatrizen Antworten mit Zitat

Hallo!
Mal wieder ein Mathe-Problem.. Wie berechnet sich der Antikommutator der Dirac Gammamatrizen? Normale Matrizen-Produkte nehme ich an. Dann komme ich auf:
Y0Y0=I
Y1Y1=-I, Y2Y2=-I, Y3Y3=-I
Y0Y1=0, Y0Y2=0,Y0Y3=0
y1Y2 {-i,i,-i,i}
y2Y1 = -Y1Y2
y2Y3=0

Dann wäre der Antikommutator aber nicht die Metrik..
Sondern ein Vielfaches von -I, der Einheitsmatrix
Wo ist der Fehler??
DANKE!

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Grüße, ghosti
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 09:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß nicht, was es da genau zu berechnen gibt.

1) Die Gamma-Matrizen sind für die Konvention



so definiert, dass



gilt.

2) D.h. du musst das allenfalls für eine konkrete Darstellung mittels 4*4 Matrizen nachrechnen.

Für



ist der Antikommutator Null (Nachrechnen!)

Für



erhältst du



(Nachrechnen!)

Für



mit dem Vorzeichen aus der Metrik



usw.

(Nachrechnen!)


Und nein, der Antikommutator liefert nicht die Metrik sondern die 4*4 Einheitsmatrix; von der Metrik bleibt nur eine Zahl übrig. Wenn ich deine Rechnung richtig verstehe, ist sie wohl korrekt.

Es ist evtl. verwirrend, dass sowohl die gamma-Matrizen als auch die Metrik mittels 4*4-Matrizen dargestellt werden. Das ist aber ein Spezialfall in zwei und vier Dimensionen. I.A. folgt für eine d-dim. Raumzeit eine N*N Darstellung der gamma-Matrizen mit



Generell sind die Indizes der Einträge der gamma-Matrizen keine Raumzeit- sondern Spinor-Indizes; wenn man also Matrix-Elemente meint, dann z.B.





mit Summe über j.


EDIT: Für einfachere Überlegungen lohnt es sich evtl., den Fall von d=2 zu betrachten:

Da gibt es die Darstellung


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ghostwhisperer



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Beitrag ghostwhisperer Verfasst am: 02. Aug 2023 12:10    Titel: Danke! war verwirrend dargestellt Antworten mit Zitat

Danke Toms!

Ich hab dann die Formel zum Antikommutator falsch verstanden.
Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht..
Tatsache ist dann: die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw..
Zu dumm unglücklich

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Grüße, ghosti
TomS
Moderator


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Beiträge: 18545

Beitrag TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 12:50    Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt Antworten mit Zitat

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht.

AB+BA.

Und da keine Raumzeit-Indizes doppelt vorkommen, wird auch nicht summiert.

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw.

Warum Vervierfachung?

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ghostwhisperer



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Beitrag ghostwhisperer Verfasst am: 03. Aug 2023 08:46    Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht.

AB+BA.

Und da keine Raumzeit-Indizes doppelt vorkommen, wird auch nicht summiert.

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw.

Warum Vervierfachung?

Klar AB+BA, hab mich vertippt.
Vervierfachung insofern, dass eine Metrikkomponente ij mit einer Einheitsmatrix multipliziert, also gewissermaßen auf 4 verschiedene Positionen projiziert wird.
Seehr gedehntes Quasi smile
Aber es wird summiert.. Es ergeben sich 10 verschiedene Matrixprodukte die zusammenaddiert werden. Auch wenn die meisten Null sind. Zumindest ergibt die Formel anders für mich keinen Sinn. 1/2(-1*3+1 zB)

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Grüße, ghosti
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 05. Aug 2023 08:12    Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt Antworten mit Zitat

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
Aber es wird summiert …

Nein, es wird nicht summiert.

Gegeben seien zwei Matrizen A, B sowie die Beziehung



mit einer Zahl x und der Einheitsmatrix 1.

Nun gebe ich dir andere Matrizen mit



usw.

In allen Fällen steht rechts Zahl * Einheitsmatrix.

Damit das nicht so unübersichtlich wird, sagen wir, die Zahl rechts hängt von den Matrizen ab, und schreiben das als



Diese Gleichung gelte für sehr viele Matrizen A, B, C … wobei rechts unterschiedliche Zahlen stehen.

Nun gehen uns aber irgendwann die Buchstaben aus, wir nummeriert die Matrizen daher durch, also i = 1, 2, 3 … und schreiben das als



Fertig. Da wird nicht summiert.

Im Falle der Dirac-Matrizen handelt es sich um vier Matrizen



für die 4*4 Antikommutatoren berechnet werden, so dass rechts 4*4 Zahlen auftreten.



In unserem speziellen Fall gewinnt man diese aus der Metrik mit 4*4 Einträgen. Bzw. umgekehrt, man hat die Matrizen so konstruiert, dass genau diese 4*4 Zahlen rechts auftreten.

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Beitrag ghostwhisperer Verfasst am: 13. Aug 2023 20:02    Titel: Herleitung der Pauli-Matrizen Antworten mit Zitat

Hallo!
Ich würde gerne mehr verstehen. Grundlegend sind ja hier die Pauli-Matrizen. Eine Frage: werden diese irgendwo aus anderen mathematischen Objekten hergeleitet? Ich habe hierzu bisher nur eine einzige Aussage gefunden:
Wiki-Briefs zu Pauli-Matrizen: diese waren schon vor ihrer Einführung in die Quantenmechanik bekannt. Es steht aber nichts weiter dabei. Kein Link, keine Erklärung..
Arbeiten zur Clifford-Algebra helfen auch nicht.. überall werden die PM vorausgesetzt..

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Grüße, ghosti
Telefonmann



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Beitrag Telefonmann Verfasst am: 13. Aug 2023 20:24    Titel: Re: Herleitung der Pauli-Matrizen Antworten mit Zitat

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
Eine Frage: werden diese irgendwo aus anderen mathematischen Objekten hergeleitet?

Es gibt Bezüge zur 3D-Drehgruppe: https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group
ghostwhisperer



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Beitrag ghostwhisperer Verfasst am: 13. Aug 2023 20:31    Titel: Unitäre Ähnlichkeits-Trafo Antworten mit Zitat

Hallo! Eines hab ich noch gefunden:
Unitäre Ähnlichkeits-Transformation:
https://www.youtube.com/watch?v=bguxPY4irWA&list=UULFrrcA_Fm-Pwq_PASod4ItcQ
Diese Video-Reihe führt über komplexe Zahlen irgendwann auf die Pauli-Matrizen. Aber eher in der Art einer Analogie zwischen komplexen Zahlen und Matrizen..
Ist das die richtige Sichtweise?

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Grüße, ghosti
TomS
Moderator


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Beiträge: 18545

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Aug 2023 07:21    Titel: Re: Herleitung der Pauli-Matrizen Antworten mit Zitat

ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben:
Grundlegend sind ja hier die Pauli-Matrizen …
Arbeiten zur Clifford-Algebra helfen auch nicht. überall werden die PM vorausgesetzt.

Nein, die Clifford-Algebra ist schon der richtige Startpunkt.

Die Pauli-Matrizen werden erst für eine Darstellung benötigen. Zunächst ist es völlig ausreichend, dass Spinoren und die Clifford-Algebra existieren.

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