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ghostwhisperer
Anmeldungsdatum: 19.07.2023
Beiträge: 16
Wohnort: Kronberg
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 ghostwhisperer Verfasst am: 02. Aug 2023 09:02 Titel: Berechnung Antikommutator Gammamatrizen |
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Hallo!
Mal wieder ein Mathe-Problem.. Wie berechnet sich der Antikommutator der Dirac Gammamatrizen? Normale Matrizen-Produkte nehme ich an. Dann komme ich auf:
Y0Y0=I
Y1Y1=-I, Y2Y2=-I, Y3Y3=-I
Y0Y1=0, Y0Y2=0,Y0Y3=0
y1Y2 {-i,i,-i,i}
y2Y1 = -Y1Y2
y2Y3=0
Dann wäre der Antikommutator aber nicht die Metrik..
Sondern ein Vielfaches von -I, der Einheitsmatrix
Wo ist der Fehler??
DANKE!
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Grüße, ghosti |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 09:19 Titel: |
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Ich weiß nicht, was es da genau zu berechnen gibt.
1) Die Gamma-Matrizen sind für die Konvention
)
so definiert, dass
gilt.
2) D.h. du musst das allenfalls für eine konkrete Darstellung mittels 4*4 Matrizen nachrechnen.
Für
ist der Antikommutator Null (Nachrechnen!)
Für
erhältst du
(Nachrechnen!)
Für
mit dem Vorzeichen aus der Metrik
usw.
(Nachrechnen!)
Und nein, der Antikommutator liefert nicht die Metrik sondern die 4*4 Einheitsmatrix; von der Metrik bleibt nur eine Zahl übrig. Wenn ich deine Rechnung richtig verstehe, ist sie wohl korrekt.
Es ist evtl. verwirrend, dass sowohl die gamma-Matrizen als auch die Metrik mittels 4*4-Matrizen dargestellt werden. Das ist aber ein Spezialfall in zwei und vier Dimensionen. I.A. folgt für eine d-dim. Raumzeit eine N*N Darstellung der gamma-Matrizen mit
Generell sind die Indizes der Einträge der gamma-Matrizen keine Raumzeit- sondern Spinor-Indizes; wenn man also Matrix-Elemente meint, dann z.B.
_{i} = \gamma^\mu_{ij} \, \psi_{j})
_{ik} = \gamma^\mu_{ij} \, \gamma^\nu_{jk})
mit Summe über j.
EDIT: Für einfachere Überlegungen lohnt es sich evtl., den Fall von d=2 zu betrachten:
Da gibt es die Darstellung
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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ghostwhisperer
Anmeldungsdatum: 19.07.2023
Beiträge: 16
Wohnort: Kronberg
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| ghostwhisperer Verfasst am: 02. Aug 2023 12:10 Titel: Danke! war verwirrend dargestellt |
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Danke Toms!
Ich hab dann die Formel zum Antikommutator falsch verstanden.
Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht..
Tatsache ist dann: die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw..
Zu dumm 
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Grüße, ghosti |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 02. Aug 2023 12:50 Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt |
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| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht. |
AB+BA.
Und da keine Raumzeit-Indizes doppelt vorkommen, wird auch nicht summiert.
| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw. |
Warum Vervierfachung?
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ghostwhisperer
Anmeldungsdatum: 19.07.2023
Beiträge: 16
Wohnort: Kronberg
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| ghostwhisperer Verfasst am: 03. Aug 2023 08:46 Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | Nämlich, dass AB-BA mit Summierung über alle Möglichkeiten direkt der Metrik entspricht. |
AB+BA.
Und da keine Raumzeit-Indizes doppelt vorkommen, wird auch nicht summiert.
| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | die Komponenten Y0Y0 etc entspricht der Vervierfachung der Komponente g00 usw. |
Warum Vervierfachung? |
Klar AB+BA, hab mich vertippt.
Vervierfachung insofern, dass eine Metrikkomponente ij mit einer Einheitsmatrix multipliziert, also gewissermaßen auf 4 verschiedene Positionen projiziert wird.
Seehr gedehntes Quasi 
Aber es wird summiert.. Es ergeben sich 10 verschiedene Matrixprodukte die zusammenaddiert werden. Auch wenn die meisten Null sind. Zumindest ergibt die Formel anders für mich keinen Sinn. 1/2(-1*3+1 zB)
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Grüße, ghosti |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 05. Aug 2023 08:12 Titel: Re: Danke! war verwirrend dargestellt |
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| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | Aber es wird summiert … |
Nein, es wird nicht summiert.
Gegeben seien zwei Matrizen A, B sowie die Beziehung
mit einer Zahl x und der Einheitsmatrix 1.
Nun gebe ich dir andere Matrizen mit
usw.
In allen Fällen steht rechts Zahl * Einheitsmatrix.
Damit das nicht so unübersichtlich wird, sagen wir, die Zahl rechts hängt von den Matrizen ab, und schreiben das als
Diese Gleichung gelte für sehr viele Matrizen A, B, C … wobei rechts unterschiedliche Zahlen stehen.
Nun gehen uns aber irgendwann die Buchstaben aus, wir nummeriert die Matrizen daher durch, also i = 1, 2, 3 … und schreiben das als
Fertig. Da wird nicht summiert.
Im Falle der Dirac-Matrizen handelt es sich um vier Matrizen
für die 4*4 Antikommutatoren berechnet werden, so dass rechts 4*4 Zahlen auftreten.
In unserem speziellen Fall gewinnt man diese aus der Metrik mit 4*4 Einträgen. Bzw. umgekehrt, man hat die Matrizen so konstruiert, dass genau diese 4*4 Zahlen rechts auftreten.
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ghostwhisperer
Anmeldungsdatum: 19.07.2023
Beiträge: 16
Wohnort: Kronberg
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| ghostwhisperer Verfasst am: 13. Aug 2023 20:02 Titel: Herleitung der Pauli-Matrizen |
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Hallo!
Ich würde gerne mehr verstehen. Grundlegend sind ja hier die Pauli-Matrizen. Eine Frage: werden diese irgendwo aus anderen mathematischen Objekten hergeleitet? Ich habe hierzu bisher nur eine einzige Aussage gefunden:
Wiki-Briefs zu Pauli-Matrizen: diese waren schon vor ihrer Einführung in die Quantenmechanik bekannt. Es steht aber nichts weiter dabei. Kein Link, keine Erklärung..
Arbeiten zur Clifford-Algebra helfen auch nicht.. überall werden die PM vorausgesetzt..
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Grüße, ghosti |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 13. Aug 2023 20:24 Titel: Re: Herleitung der Pauli-Matrizen |
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| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | | Eine Frage: werden diese irgendwo aus anderen mathematischen Objekten hergeleitet? |
Es gibt Bezüge zur 3D-Drehgruppe: https://en.wikipedia.org/wiki/3D_rotation_group |
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ghostwhisperer
Anmeldungsdatum: 19.07.2023
Beiträge: 16
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| ghostwhisperer Verfasst am: 13. Aug 2023 20:31 Titel: Unitäre Ähnlichkeits-Trafo |
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Hallo! Eines hab ich noch gefunden:
Unitäre Ähnlichkeits-Transformation:
https://www.youtube.com/watch?v=bguxPY4irWA&list=UULFrrcA_Fm-Pwq_PASod4ItcQ
Diese Video-Reihe führt über komplexe Zahlen irgendwann auf die Pauli-Matrizen. Aber eher in der Art einer Analogie zwischen komplexen Zahlen und Matrizen..
Ist das die richtige Sichtweise?
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Grüße, ghosti |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 14. Aug 2023 07:21 Titel: Re: Herleitung der Pauli-Matrizen |
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| ghostwhisperer hat Folgendes geschrieben: | Grundlegend sind ja hier die Pauli-Matrizen …
Arbeiten zur Clifford-Algebra helfen auch nicht. überall werden die PM vorausgesetzt. |
Nein, die Clifford-Algebra ist schon der richtige Startpunkt.
Die Pauli-Matrizen werden erst für eine Darstellung benötigen. Zunächst ist es völlig ausreichend, dass Spinoren und die Clifford-Algebra existieren.
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