Perle auf Draht, unterschiedliche Zwangsbedingungen

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
Habe schon wieder ein Problemchen. Ich muss die Zwangsbedingungen und Lagrange 1 für eine Perle aufstellen, die reibungsfrei auf einem Draht im Schwerefeld gleitet, der im Koordinatenzursprung verankert ist, einen konstanten Winkel Theta zur z-Achse hat und mit phi'=w um diese rotiert.
Für die Zwangsbedingungen habe ich jetzt

und damit ganz normal die Zwangskräfte bestimmt. Allerdings kommt für die eine Zwangskraft

heraus. Wenn ich jetzt, wie in der einer Teilaufgabe verlangt, Theta = Pi/2 setze, ist der Tangens ja nicht definiert. auch wenn man vorher die Transformationsformeln

einsetzt, schafft das keine Abhilfe.

Jetzt habe ich herausgefunden, dass man als Zwangsbedingung statt

verwenden soll. So bekomme ich auch das richtige Ergebnis heraus, aber ich verstehe eifach nicht, warum die andere Zwangsbedingung falsch sein soll. Es müsste doch eigentlich das gleiche herauskommen, egal welche Bedingung ich wähle?

viele Grüße
Nima93

Meine Ideen:
.

eva1 · Anmeldungsdatum: 06.10.2010 Beiträge: 532

Ich verstehe nicht wie du auf deine Zwangsbedingung kommst.

Wenn man einfach Kugelkoordianten nimmt, dann kann man sich einfach vorstellen, dass

konstant ist und

.

r variiert.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Wir sollen es zuerst in kartesischen Koordinaten machen. Stimmt, mit Kugel- oder Zylinderkoordinaten ginge es natürlich viel schneller...

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Ich hab grade versucht, das ganze in Zylinderkoordinaten zu rechnen und bin leider kläglich gescheitert unglücklich

Wahrscheinlich steh ich wieder mal völlig auf dem Schlauch... könnte mir jemand mal kurz erklären, was ich dann anders machen muss, als in kartesischen Koordinaten? Klar, ich muss die Formel für die Geschwindikeit in Zylinderkoordinaten in die Bewegungsgleichung einsetzen. Aber wie rechne ich die Zwangskräfte aus?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Kuypers, Klassische Mechanik, behandelt mehrere Drahtperlenprobleme (dieses aber wohl nicht) mit Zwangskräften bzw. dem d'Alembert-Prinzip.

Traditionell gerechnet ergibt sich das interessante Problem

Siehe auch Seite 63 (leider ohne Schwerkraft) oder hier, insbesondere das . smile

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Vielen Dank, das hat mir in Bezug auf die Zylinderkoordinaten schonmal viel weitergeholfen. Hätte garnicht gedacht, dass dieses Problem so einen interessanten Hintergrund hat smile

Aber meine anfängliche Frage, warum in kartesischen Koordinaten die eine Zwangsbedingung falsch ist, ist damit leider immer noch nicht geklärt...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Kannst Du Deine Rechnung dazu mal kurz aufschreiben?

ist in Kugelkoordianten schlicht nur die Umrechnung zu kartesischen, z = Höhe quasi.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Sie ist nicht falsch, für für z>0

sind beide Bedingungen äquivalent.
In kartesischen Koordinaten rechnest du dich tot mit Wurzeln. In Zylinderkoordinaten sehen Bewegnungsgleichungen anders aus, da muss du sie nachschauen.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Super, danke! Das heißt für fast alle Winkel ist es egal, welche der Zwangsbedingungen ich nehme? Aber es muss doch eine Möglichkeit geben, vorher zu sehen, ob die Zwangsbedingung für alle Winkel funktioniert? In meinem Fall war ja das Problem, dass die Bewegungsgleichungen für Theta = pi/2 gelöst werden sollte. Der Tangens ist für diesen Winkel ja leider nicht definiert unglücklich

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Den Tangens brauchst Du doch garnicht, siehe oben. Und in der Bewegungsgleichung verschwindet dann der Rotationsterm.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Deine Zwangsbedingung resultiert aus der geometrischen Überlegung

für

gilt offensichtlich z=0, damit würdest du durch Null teilen; deswegen existiert auch Tangens nicht. Das siehst man ohne zu rechnen, spätenstens, wenn man eine Skizze macht.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Alles klar, danke, eigentlich logisch smile