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Elektrostatische Energie beim Draht
 
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navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 62

Beitrag navix Verfasst am: 30. Apr 2022 00:19    Titel: Elektrostatische Energie beim Draht Antworten mit Zitat

Gegeben sei ein gerade, zylinderförmiger Draht mit Radius und einer homogenen Ladungsdichte . Er ist von einem Zylindermantel vernachlässigbarer Dicke mit Radius konzentrisch umgeben. Dieser Mantel trägt denselben Ladungsbetrag pro Länge wie der Draht selbst, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Nehmen Sie an der Draht sei unendlich lang.

Bestimmen Sie die elektrostatische Energie pro Drahtlänge dieser Anordnung.

Meine Ideen: Zunächst habe ich zur Problemstellung eine Skizze angefertigt (s. Anhang). Die elektrostatische Energie einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ist definiert als



bzw.



Das E-Feld des äußeren Hohlzylinders/Mantelfläche ist innen ja null und außerhalb (in Zylinderkoordinaten)



Das E-Feld des inneren Drahtes hingegen



Meine Überlegung war jetzt, dass sich E-Felder bzw. Potentiale ja aufgrund des Superpositionsprinzips überlagern, d.h. innerhalb des Hohlzylinders hätte ich nur den Anteil vom Draht und außerhalb müsste ich beide Felder/Potentiale aufaddieren.

Fragen:
- Ist das vom Ansatz her so ok?
- Wie kriege ich die Flächenladungsdichte in auch als Volumenladungsdichte geschrieben, bzw. wie mache ich diese hier kompatibel?
- Ist mit "Energie pro Drahtlänge" die Energiedichte gemeint?



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Skizze
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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4817

Beitrag Myon Verfasst am: 30. Apr 2022 08:21    Titel: Re: Elektrostatische Energie beim Draht Antworten mit Zitat

Zitat:
- Ist das vom Ansatz her so ok?

Ich denke, es wäre einfacher, vom E-Feld der ganzen Ladungsanordnung auszugehen (ergibt sich durch das Gausssche Gesetz) und dann die Energiedichte zu integrieren. Dann ist das E-Feld ausserhalb des Zylindermantels gleich null, und innerhalb des Zylindermantels ist der Mantel irrelevant für das E-Feld.

Zitat:
-Wie kriege ich die Flächenladungsdichte in auch als Volumenladungsdichte geschrieben, bzw. wie mache ich diese hier kompatibel?

Das ist nicht möglich und auch nicht nötig. Wenn das E-Feld berechnet und die Energiedichte integriert wird, trägt der infinitesimal dünne Zylindermantel auch nicht zum Integral bei (PS: gut, genaugenommen müsste man das wahrscheinlich zeigen, denn es würden dort Grössen divergieren).

Zitat:
- Ist mit "Energie pro Drahtlänge" die Energiedichte gemeint?

Die Energiedichte ist ja ortsabhängig. Ich denke, dass die Energie der Ladungsandordnung (welche gleich der Feldenergie sein sollte (?)) pro Drahtlänge gesucht ist, also Einheit J/m.
navix



Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 62

Beitrag navix Verfasst am: 30. Apr 2022 10:49    Titel: Re: Elektrostatische Energie beim Draht Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
- Ist das vom Ansatz her so ok?

Ich denke, es wäre einfacher, vom E-Feld der ganzen Ladungsanordnung auszugehen (ergibt sich durch das Gausssche Gesetz) und dann die Energiedichte zu integrieren. Dann ist das E-Feld ausserhalb des Zylindermantels gleich null, und innerhalb des Zylindermantels ist der Mantel irrelevant für das E-Feld.

Zitat:
-Wie kriege ich die Flächenladungsdichte in auch als Volumenladungsdichte geschrieben, bzw. wie mache ich diese hier kompatibel?

Das ist nicht möglich und auch nicht nötig. Wenn das E-Feld berechnet und die Energiedichte integriert wird, trägt der infinitesimal dünne Zylindermantel auch nicht zum Integral bei (PS: gut, genaugenommen müsste man das wahrscheinlich zeigen, denn es würden dort Grössen divergieren).

Zitat:
- Ist mit "Energie pro Drahtlänge" die Energiedichte gemeint?

Die Energiedichte ist ja ortsabhängig. Ich denke, dass die Energie der Ladungsandordnung (welche gleich der Feldenergie sein sollte (?)) pro Drahtlänge gesucht ist, also Einheit J/m.


Wenn ich das richtig verstanden habe, löschen sich also die Felder außerhalb des Mantels gegenseitig auf und innerhalb wirkt nur das Feld des Drahtes.

Bzgl des Satzes von Gauß: Soll ich dann einfach einen Vollzylinder entlang der Symmetrieachse mit r > 10R legen (damit die ganze Ladung eingeschlossen wird)? Dann würden die Feldlinien diesen ja radial durchstoßen und das Oberflächenintegral sich dementsprechend vereinfachen.

Müsste man sich das Feld dann nicht wieder separat für Draht und Mantel überlegen, um das Oberlächenintegral zu berechnen?

Und wie würde ich dann die eingeschlossene Ladung umschreiben? Das wäre ja einmal die Volumenladungsdichte multipliziert mit dem Volumen des Drahtes, minus die "Volumenladungsdichte" des Mantels multipliziert mit einem infinitesimal kleinen Volumen.

EDIT: Habe ja ganz vergessen, dass hier Ladung pro Länge gemeint ist... Mein Lösungsansatz schaut jetzt wie folgt aus:

Lege einen Hüllzylinder mit Radius um die Anordnung. Mit dem Gauß'schen Satz folgt:





wobei die Oberfläche des Hüllzylinders und und die elektrischen Felder vom Draht bzw. vom Mantel sind. Da die eingeschlossene Ladung pro Länge sich aber genau gegenseitig aufhebt, ist und somit folgt



d.h. die Felder löschen sich außerhalb gegenseitig auf. Für die Energie erhalte ich somit


Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4817

Beitrag Myon Verfasst am: 30. Apr 2022 16:14    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das ist richtig. Dass das E-Feld ausserhalb des Mantels verschwindet, folgt unmittelbar aus dem Gaussschen Gesetz, wenn man eine Zylinderfläche um den Mantel herum betrachtet, denn die eingeschlossene Ladung ist dann =0.

Nun E(r) für die Bereiche 0<r<R und R<r<10R berechnen (im ersten Fall ist E proportional zu r, im zweiten Fall fällt E mit 1/r ab), und über das Volumen integrieren.
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