Perle auf beschleunigtem Draht

exfantil · Gast

Meine Frage:
Ein Draht ist um einen Winkel \alpha gegen die x-Achse geneigt und wird in die x-Richtung zeitabhängig beschleunigt. (Beschleunigung: a=kt, Zeitpunkt t=0). Auf diesem Draht gleitet eine Perle reibungsfrei im Schwerefeld.

Formulierenen Sie die Zwangsbedingung und Leiten sie mit dem Lagrange-Formalismus 1. Art die beiden Bewegungsgleichungen ab.
Eliminieren sie dien Lagrange-Multiplikator, nutzen sie die Zwangsbedingungen um auf eine Bewegungsgleichung für y zu kommen.
Bestimmen sie die Zwangskraft, wie steht diese relativ zum Draht=
Lösen sie die Bewegungsgleichung und geben Sie y(t), x(t) für y(0)=y0 und y'(0)=0.

Meine Ideen:
y = mx + c
y = xtan\alpha + c
c = y-abschnitt; c = tan\alpha * 0,5at²
y = tan\alpha x - 0,5at²tanw

damit könnte ich ja schon was anfangen, indem ich x und y einfach in T = 0,5m(x'²+y'²) und mgy in V einsetze. Aber das läuft doch nicht auf den Lagrange-Formalismus 1. Art sondern auf den 2. Art hinaus, oder?

Wie schaut denn eigentlich der Lagrange-Formalismus 1. Art aus?
L = T - V + \lambda (a(x) - b) ?
\lambda (a(x) - b) soll wohl die Zwangsbedingung darstellen.
Die ZB lautet aber wohl nicht:
y = tan\alphax - c, oder? das ist ja bereits die Bewegungsgleichung.
Die Perle muss auf dem Draht laufen, ist ZB. Aber wie formuliere ich das?
Das Ausweichen auf dem Draht ist ja irgendwie auch die einzige "Freiheit" für die Perle.
Ich komm nicht so ganz dahinter.
Ich hoffe, ihr könnt mich mit geschickten Fragen auf die richtige Antwort bringen! smile

Vielen Dank schon mal

exfantil

Ada · Gast

Die Aufgabe wird sehr schwer,weil das Verfahren ungeeignet ist

Zunächst das c weglassen

Die Zwangsbedingung y = xtan(a) ist dann schon ganz gut.Aber man schreibt
besser xsin(a)-ycos(a)=0 wegen der kommenden Ableitung

Sagt dir das irgendwas?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Kleiner Tip:

Du musst die Zwangsbedingung in der Form

anschreiben.

Dann ist der Ansatz

Mit Lagrange II und L=T-V hat das nichts zu tun.

exfantil · Gast

Erstmal entschuldigt, dass ich nicht geschrieben habe, war gestern unterwegs, und heut früh konnte ich nicht online, waren wohl mal wieder die Server vom Provider down! unglücklich

Ich habs jetzt mal mit
ZB: 0 = (a(t) + x) sin

) - ycos

probiert. Wobei der Ansatz ja nicht ganz korrekt ist; die Gleichung bedeutet ja eigentlich, dass der Draht an der Stelle a(t) die x-Achse schneidet, oder?

Dann geht es weiter mit
d/dt

L/

-

L/

x = Q(x) als generalisierte Zwangskraft; analog für Q(y).

wenn ich dann die ZB einmal nach t ableite, erhalte ich meine Q(x), Q(y) ebenso, und kann gleichsetzen:
Q(x) =

sin

= m

und für
Q(y) =-

cos

= mg + m

dann noch die ZB 2mal nach t ableiten, und ich kann die Gleichungen oben nach

und

auflösen, und in die 2mal abgeleitete ZB einsetzen.

wie ich allerdings aus meinen Qs eine Zwangskraft kriege, ist mir noch nicht ganz klar - ebenso weiß ich nicht, ob die ZB richtig (in Bezug auf die Beschleunigung) formuliert ist.

ich hoffe, ihr könnt mir noch mal helfen
exfantil

Einfallspinsel · Gast

Ist dieses Beispiel nicht 10 mal leichter mit dem dynamischen Grundgesetz zu lösen?

Das bringt zwar den Threadsteller nicht weiter, aber nur mal so in den Raum geworfen.

Einfallspinsel · Gast

die beschleunigung der Perle im Bezugssystem des Drahtes müßte sein.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

gelöscht: erledigt.

Einfallspinsel · Gast

Damit ich aber auch noch was in diese Richtung beitragen kann.

Die Zwangskraft steht in dem Fall normal auf den Draht und ist nichts anderes als die Bodenkraft des Drahtes das die Perle eben am Draht bleibt.
Vergleich schiefe Ebene.

Sie muß den Teil der Gewichtskraft der in Boden Richtung geht der Perle aufheben und zusätzlich noch die Beschleunigungskraft in diese Richtung aufbringen, von also

Zwangskraft=m*g*cos alpha + m* a_ perle * sin alpha

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@einfallspinsel: Ich glaube wir sind alle in der Lage, dieses Beispiel auch ohne Formalismus zu lösen. Aber es ist eben Lagrange-I zu verwenden, um anhand dieses simplen Beispiels der Perle die allgemeine Gültigkeit des Theorems zu demonstrieren. Zugegeben: ein typisch akademisches Lehrbuch-Beispiel halt - aber sind wir nicht alle (fertige oder angehende) Akademiker? Wenn man den Formalismus nicht bei einfachen Dingen anwenden kann, wird man bei komplizierten Sachverhalten erst recht scheitern. Damit ist das Beispiel im Rahmen einer Einführungsvorlesung in klassische Mechanik voll gerechtfertigt.

Thumbs up!

Zum Threadsteller:

Wieso rechnest du mit der Lagrangefunktion herum? Diese ist Bestandteil der Lagrange'schen Gleichungen zweiter Art. Hier geht es um die erste Art, wie schon oben erwähnt.

Die Bewegungsgleichung unter der Zwangsbedingung

ist

Zum konkreten Beispiel: Die Zwangsbedingung ist

also

Den Lagrange'schen Multiplikator kann man eindeutig ermitteln und in die Bewegungsgleichung einsetzen.

Einfallspinsel · Gast

aha, kapiert. dachte warum schwer wenns einfach geht Big Laugh

.

ich hab mich oben verschrieben:

Zwangskraft=m*g*cos alpha + m* a_ Draht * sin alpha

exfantil · Gast

@schnudl:
das hab ich aus meinem skript kopiert:

"Berücksichtigung der Zwangsbed. über Lagrange-Multi:

d/dt * dL/dx' - dl/dx = Q(x)"

Einfallspinsel · Gast

@ Franz bist du schon mal im Auto gesessen wenns regnet. während die Tropfen bei langsamer Beschleunigung nach unten rennen , rennen sie bei schneller Beschleunigung nach oben.

Zugegebener weise hast du das auch ohne Beschleunigung bei gegebener Geschwindigkeit durch den Luftwiderstand.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

@exfantil:

wo ist da der Lagrange-Multiplikator geblieben? Das sind die Lagrange Gleichungen zweiter Art!!!

Siehe:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus#Lagrangesche_Methode_erster_Art

http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus#Lagrangesche_Methode_zweiter_Art

Letztere hast du angeschrieben!

exfantil · Gast

zum thema formalismus:
jetzt ist der groschen gefallen.
ich mach mich nochmal an die arbeit, und schau später nochmal hier vorbei!

danke!

exfantil · Gast

Zumindest glaub ich, dass der groschen gefallen ist.

also:
wenn meine verallg. Zwangskräfte
Q(x) =

* sin (alpha)
Q(y) =

* cos (alpha)
sind, dann ist

d/dt

L/

-

L/

x =m

=

* sin

und
d/dt

L/

-

L/

y = m

+ mg

Das ist nach Nolting - Grundkurs Theo Physik 2 die Lagrange-Gleichung 1.Art. Ist das hier das gewünschte, ein Druckfehler, oder steh ich nur total auf der Leitung?? *hilfe*

exfantil · Gast

(hab ich 2 über mir vergessen:
und m

+ mg = Q(y) = -

cos(alpha) sein)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ich hab den Nolting nicht zu Hause, aber ich kenne das von all meinen Büchern anders, nämlich wie oben beschrieben. Auch kann ich keinen einzigen Link finden, wo unter Lagrange erster Art etwas mit der Lagrangefunktion vorkommt, während man darunter immer wieder meinen beschriebenen Ansatz findet. Bist du denn 100% sicher?

Da ich dich aber nicht verwirren oder auf eine falsche Bahn führen möchte, schlage ich vor ich passe. Möglicherweise hat der Nolting eine andere Nomenklatur was Lagrange betrifft. Vielleicht weiß jemand anderer weiter.

Der Weg über den mir bekannten Weg wäre übrigens:

Zwangsbedingung:

Lagrange Gleichungen erster Art:

bestimmen und einsetzen - fertig.

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

exfantil · Gast

die aufgabe im nolting ist zwar etwas anders, das sollte aber ja nichts an dern formulierung ändern.
wobei verwirrung ja im moment nichts schadet; ich bereite mich ja im moment auf keine klausur vor.

ich könnte die entsprechenden seiten ja theoreitsch abscannen und online stellen, aber das wär ja gegen das urheberrecht... ^^

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

naja, ich sags nicht weiter. würde mich jetzt aber schon interessieren...

gastttt · Gast

sobald die anmeldung durch ist, kann ich dir ne PN schreiben - sonst bräucht ich deine emailadresse

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

1) anmelden ist immer gut
2) heute mache ich mit physik schluss

Prost

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Habe die PN erhalten !

Obwohl ich es so noch nie gesehen habe ist es mir nun völlig klar:

Durch die Einführung generalisierter Koordinaten wird die Dimension des Problems verringert, mit dem Nebeneffekt, dass die Zwangsbedingungen automatisch erfüllt werden. In dem Beispiel von Nolting ist aber explizit erwähnt, dass dies hier nicht zutrefen soll:

infantil · Gast

Wo ist das?

Beschleunigung: a=kt

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Sorry, das k ist schon belegt. Hab ich übersehen. Ich habe es als Abkürzung für tan(a) verwendet. Ich verwende nun

dafür. Die Beschleunigung geht bei meiner Darstellung in die Nebenbedingung ein (siehe mein letztes Bild):

Differenzieren

mit der Beschleunigung des Drahtes in x-Richtung

also als Zwangsbedingung

---
Ich möchte aber dem Nolting keine Konkurenz machen. Im Prinzip hast du das komplette Beispiel dort vorgerechnet. Such dir einen Lösungsweg aus und konzentriere dich darauf!

exfantil · Anmeldungsdatum: 30.05.2010 Beiträge: 2

ich hab mich jetzt vorerst mal an den nolting-weg gehalten und es zur Korrektur bei meinem ÜbungsLeiter eingereicht. Mal schaun, was der ÜL dazu sagt.
wenn ich am wochenende zeit hab, probier ich mal "deinen" weg.

Danke für eure Hilfe
exfantil

edit: anscheindend unterscheiden wir nicht so streng zwischen den einzelnen Lagrange-Formalismen. Mein ÜL war zumindest einigermaßen zufrieden; ein, zwei Fehler hatten sich dennoch eingeschlichen.

scm · Gast

kann bitte einer die lösung komplett zusammenfassen. so jeden schritt gerechnet. ich steh vor der gleichen aufgabe und komme auch mit den antworten hier und dem nolting nicht auf eine lösung.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Nee du, mach mal nen neuen Thread auf und stell deine konkreten probleme da rein.

scm · Gast

meine konkreten probleme sind die bewegungsgleichungen. die fragestellung ist die gleiche

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Tjo mach nen neuen Thread auf wieso sollte dir jemand alles zusammenfassen?