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Vengeance
Anmeldungsdatum: 30.12.2011
Beiträge: 3
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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 GvC Verfasst am: 31. Dez 2011 01:56 Titel: |
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| Vengeance hat Folgendes geschrieben: | Zwecks einer Aufgabe befasse ich mich grade mit dem Trägheitsmoment und bin bei der Gleichung
J = Integral r^2 dm ziemlich ins Stocken geraten.
...
Aber diese Gleichung gibt mir einige Rätsel auf. Was genau bedeutet "dm"? |
 ist die Definition für das Trägheitsmoment.
dm ist die infinitesimal kleine Masse eines infinitesimal kleinen Volumens (Punktmasse) im Abstand r von der Drehachse. Alle infinitesimal kleinen Trägheitsmomente  werden zum Gesamtträgheitsmoment aufsummiert. Die Summation infinitesimal kleiner Elemente nennt man auch Integration.
| Vengeance hat Folgendes geschrieben: | | Die Aufgabe verlangt, dass ich die Drehzahl einer Scheibe berechnen soll, auf der sich eine Person vom Rand zur Mitte hin bewegt. |
Ist das die komplette Aufgabenstellung? Keine Angabe zur Anfangsdrehzahl der Drehscheibe? Keine Angabe, ob die Masse der Drehscheibe vernachlässigt werden soll oder nicht. Falls nicht, welches ist die Masse und die Masseverteilung sowie der Radius der Drehscheibe, welche Masse hat die Person?
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Vengeance
Anmeldungsdatum: 30.12.2011
Beiträge: 3
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| Vengeance Verfasst am: 31. Dez 2011 13:43 Titel: |
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Jep, es gab Werte, tut mir Leid, dass ich diese nicht sofort mitnotiert habe.
Die Scheibe wiegt 100kg und vollführt 10 Umdrehungen pro Minute. Die Person wiegt 60kg und steht auf dem Rand, bei 3 Metern Radius. Sie nähert sich der Achse radial, bis auf einen Abstand von 0,5 Metern.
Nun soll die finale Drehzsahl der Scheibe ermittelt werden.
Zum Trägheitsmoment noch einmal:
Ich habe noch nicht ganz verstanden, warum die Masse unendlich klein sein soll. Schließlich sollte ja nur der Radius kleiner werden und nicht die Masse!?
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 31. Dez 2011 14:31 Titel: |
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| Vengeance hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe noch nicht ganz verstanden, warum die Masse unendlich klein sein soll. |
Wenn Du alle infinitesimal kleinen Trägheitsmomente  aufsummiert (=integriert) hast, erhältst Du definitionsgemäß das gesamte Trägheitsmoment, das natürlich auch die gesamte Masse enthält. Denn Du hast ja jede infinitesimal kleine Masse mit dem zugehörigen r² multipliziert. Mir scheint, Du weißt nicht, was eine Definition bedeutet. Die kannst Du nicht hinterfragen, das liegt in der Natur der Definition. Wenn Geschwindigkeit definiert ist als erste Ableitung des Weges nach der Zeit, fragst Du dann auch: Warum?
Du beißt Dich an der falschen Stelle fest. Anstatt physikalische Definitionen zu hinterfragen, solltest Du Dir lieber Gedanken machen über die physikalischen Gesetzmäßigkeit, die dieser Aufgabe und ihrer Lösung zugrundeliegt. Denn das ist doch das, was Du bei solchen Aufgaben tun sollst: Die Anwendung physikalischer Grundgesetzmäßigkeiten zu üben. Zu solchen Grundgesetzmäßigkeiten gehören diverse Erhaltungssätze. Welcher ist hier wohl anzuwenden?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 31. Dez 2011 15:03 Titel: |
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Statt
)
schreibt man oft auch
\,f(\vec{r})=\int_{S^{n-1}}\!\!\!d\Omega \int_{B(\Omega)}dr\,r^{n-1}\,\rho(\vec{r})\,f(\vec{r}))
Dabei steht dV für das Volumenelement in n=3 Dimensionen (oder das Flächenelement in n=2 Dimensionen), \rho für die Massendichte.
Im letzten Integral verwende ich dann eine Zerlegung in Polarkoordinaten (natürlich können kartesische Koordinaten besser geeignet sein), wobei S für die 2-dim. Oberfläche des 3-dim. Volumens steht (entsprechend wieder der n=2 Fall) und d\Omega für das Oberflächenelement. Aus dem Volumentelement dV resultiert dann ein dr r² in n=3 Dimensionen (dr r in n=2). B(r) steht für den r-Bereich, über den je Winkel zu integrieren ist.
Für die Masse gilt
)
Im Falle einer homogenen Massenverteilung ist \rho einfach eine Konstante und kann vor das Integral gezogenen werden
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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