Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Loch

Sternxchen · Anmeldungsdatum: 20.06.2026 Beiträge: 3

Meine Frage:
Ich habe einen Kreis mit Masse M und Radius R gegeben. In diesen Kreis wird bei R/2 / 0 ein weiterer Kreis ausgestanzt. Ich soll jetzt das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse, die durch den SP (also durch 0/0) geht, berechnen.
In der vorherigen Aufgabe sollte ich noch die Masse Ml des ausgestanzten Kreises berechnen, wobei ich M/4 erhalten habe.
Herauskommen soll nach Aufgabenstellung 13/24MR^2 (also für das Trägheitsmoment)

Meine Ideen:
Meine Idee: Man kann leicht zeigen, dass das Trägheitsmoment einer dünnen Kreisscheibe bzgl. der z-Achse 1/2MR^2 ist. Ich berechne zunächst das Trägheitsmoment der vollen Kreisscheibe, die einfach 1/2MR^2 ist. Dann berechne ich das Trägheitsmoment bzgl. des SP der kleinen Kreisscheibe, die ausgestanzt wird. Der SP liegt ja bei R/2 / 0, also ist das Trägheitsmoment bezüglich der Achse, die durch diesen SP geht 1/2 M/4 (R/2)^2 = 1/32 MR^2. Dann nutze ich den Satz von Steiner, um das Trägheitsmoment bzgl. der Achse, die durch den Ursprung geht, zu berechnen, also (1/32 + 1/16)MR^2. Also kriege ich 3/32MR^2. Dann rechne ich zuletzt (1/2 - 3/32)MR^2, was mir 13/32MR^2 gib, aber laut Aufgabenstellung soll da 24 statt 32 stehen und ich weiß einfach nicht warum...

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Sternxchen · Anmeldungsdatum: 20.06.2026 Beiträge: 3

dankeschön ^^
Ja stimmt, das macht echt keinen Sinn. Ich kann aber auch gerne nochmal die Aufgabe zitieren:
,,Eine homogene Kreisscheibe der Masse M und des Radius R hat ein kreisförmiges Loch vom Radius R/2 erhalten, dessen Mittelpunkt sich bei (d/0) = (R/2 / 0) vom Scheibenzentrum befindet.
a) Berechnen Sie die Flächenmasse sigma der ursprünglichen vollen Schreibe in Abhängigkeit von M, und bestimmen Sie die Masse ML des herausgestanzten Kreises.
b) Bestimmen Sie die Position des Schwerpunkts xs der perforierten Scheibe (Koordinatenursprung im Mittelpunkt der vollen Scheibe)
c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment J0 der perforierten Scheibe um die z-Achse."

Später gibt es noch eine weitere Aufgabe, die wie folgt geht:

Sternxchen · Anmeldungsdatum: 20.06.2026 Beiträge: 3

bzw. falsch ausgedrückt, im späteren verlauf soll man das dann auch noch bzgl. des sp berechnen. aber das geht recht leicht mit dem satz von steiner. aufgabe ist also, das trägheitsmoment bzgl der z-achse zu berechnen, sorry, wenn da verwirrung auftrat. aber dennoch mein problem, dass ich 13/32 anstelle von 13/24 herausbekomme

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6202

Naja, das Trägheitsmoment bez. der z-Achse wäre

wenn M' die Masse der perforierten Scheibe ist.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5797 Wohnort: Heidelberg

Um das nochmal klar zu sagen:
Deine 13/32 MR² sind richtig, wenn M die Masse des Vollkreises ist. Da aber M' ja nur 3/4 M sind, ist dann I = 13/24 M'R²
Jetzt musst Du als nächstes bestimmen, wie weit der Schwerpunkt der ausgestanzten Scheibe vom Schwerpunkt der Vollscheibe entfernt ist.

Gruß
Marco

gast_free · Anmeldungsdatum: 15.07.2021 Beiträge: 244

M: Masse
r2: Gesamtradius
r1: Innenradius

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21465

Evtl. lohnt ein Blick auf eine prinzipielle Überlegung. Ich erkläre das anhand kartesischer Koordinaten und der entsprechenden Trägheitsmomente, aber es gilt genauso in anderen Koordinatensystemen, d.h. man kann diese passend zur Symmetrie des Systems wählen.

Die Komponenten des Trägheitstensors lauten

Zerlegt man das Volumen in zwei beliebige Teilvolumina

so gilt für das Integral offensichtlich

Hat man nun einen Körper vorliegen, der dadurch entsteht, dass man aus einem größeren Körper einen anderen herausschneidet, so erhält man für den Trägheitstensor