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Nachricht |
Gimili
Gast
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 Gimili Verfasst am: 22. Mai 2005 15:56 Titel: Raketengleichung - Mehrstufenprinzip |
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Hallo zusammen!
Ich bin in der 12. Klasse im Physik-Leistungskurs und arbeite gerade an einer Facharbeit über Raketentechnik.
Ich habe dafür nun die Raketengleichung hergeleitet und auch das Mehrstufenprinzip erwähnt.
Jetzt zu meinen Problemen:
(1) Ich würde gerne allgemein berechnen, wie die Massen bzw. Treibstoffverhältnisse in den verschiedenen Stufen der Mehrstufenraketen gewählt werden müssen um möglichst hohe Geschwindigkeiten zu erreichen. Mir fehlt dafür aber der Ansatz, genauso wie für eine Konstante oder eine Funktion, die ich errechnen wollte, um den Höheren Nutzungsgrad von mehrstufenraketen zu errechnen (  )
(2) Beim Integrieren der Raketengrundgleichung nach der Zeit (um s(t) zu erhalten) habe ich Probleme mit dem natürlichen Logarithmus. Ich komme irgendwie nicht drauf, wie ich das auseinanderfriemeln kann, damit ich zu einer gescheiten Form für s(t) komme.
Wäre begeistert, wenn mir jemand von euch helfen könnte!
Vielen Dank schon im Voraus! |
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Mister S
Anmeldungsdatum: 06.01.2005
Beiträge: 426
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| Mister S Verfasst am: 22. Mai 2005 17:25 Titel: |
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zu 2 könntest du deine Frage ja mal präzisieren. Weißt du nicht, was die Stammfunktion des nat. Logarithmus ist? bitte sehr:
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Mai 2005 17:38 Titel: Re: Raketengleichung - Mehrstufenprinzip |
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Raketengl. mehrstufig,
ich denke mal das berechnest einfach als Summe der Werte über die einzelnen Stufen, wobei die nächste Stufe immer mit V_end der vorherigen und mit der, um die gerade abgestoßenen Stufe verringerten Restmasse startet.
Das mal auf die Schnelle. Wie das nun noch zu optimieren ist, kann ich die Sekunde nichts zu sagen. |
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Gimili
Gast
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| Gimili Verfasst am: 22. Mai 2005 18:19 Titel: |
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@ Mister S
Das ist die Raketengleichtung:
)
mit Integration komme ich darauf:
=s_{0}+(v_{T}*(m_{leer}/m_{0})-Integral(a_{t}*ln(m_{0}/m_{leer})))
was aber irgendwie keinen Sinn macht.
Deshalb suche ich die richtigen Schritte...ein Link würde schon helfen (ich find bei google nichts...)
@ Gast
Die Formel an sich ist bei der Mehrstufigkeit kein Problem, aber es geht um das Rechnen mit Variablen und daraus erfolgenden Verhältnissen (oder falls nicht konstant auch Funktionen.)
Hoffend auf weitere Hilfe
Gimili |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 22. Mai 2005 18:44 Titel: |
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Du darfst ja nicht die Gleichung für die Raketenendgeschwindigkeit integrieren, sondern integrierst v(t) um s(t) zu erhalten.
_________________
Formeln mit LaTeX |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Mai 2005 19:04 Titel: |
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zuallererst, du kannst "deins" nicht so integrieren wollen wie's oben steht,
musst das so ansetzen:
)
\,=\,\frac{1}{k}*\left(\left (-{\it m_o}+{\it v_T}\,t*k\right )*\ln ({\frac {{\it m_o}}{{\it m_o}-{\it v_T}\,t*k}})+{\it v_0}\,t*k-{\it m_o}+{\it v_T}\,t*k\right)+s_0)
noch ungeprüft |
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Gimili
Gast
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| Gimili Verfasst am: 22. Mai 2005 19:35 Titel: |
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1) Danke für die schnellen Antworten!
2) hää??  ich verstehs nicht:
@ para
die Raketengleichung beschreibt doch das v der Rakete. Wenn ich das Integriere müsste ich doch zum Weg (s) der Rakete zum Zeitpunkt t kommen und das tue ich doch... ?! bitte um Erklärung
@Gast
Danke für die Integration, aber woher kommt das "k" und gibt es das auch irgendwie schrittweise (sorry, wir haben Integrale nicht lange behandelt) zur Not auch eingescannt, wenns per hand schneller geht?
Tut mir Leid wenn ich grad garkeinen Durchblick habe.....
trotzdem hoffend auf Erleuchtung 
Gimili |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 22. Mai 2005 20:08 Titel: |
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Die Raketengrundgleichung ist das bestimmte Integral vom Zeitpunkt t=0 bis zu der Stelle, an der der komplette Treibstoff ausgestoßen wurde. Ein bestimmtes Integral zu integrieren ist aber irgendwie sehr komisch (ich versteh auch nicht, wonach du hier integriert hast).
Wenn du den zurückgelegten Weg der Rakete zu Brennschluss haben willst, brauchst du allgemein v(t), integrierst das dann einmal, und setzt wieder die gleichen Schranken ein.
_________________
Formeln mit LaTeX |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Mai 2005 20:13 Titel: |
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| Gimili hat Folgendes geschrieben: | @Gast
Danke für die Integration, aber woher kommt das "k" und gibt es das auch irgendwie schrittweise (sorry, wir haben Integrale nicht lange behandelt) zur Not auch eingescannt, wenns per hand schneller geht?
Tut mir Leid wenn ich grad garkeinen Durchblick habe.....
trotzdem hoffend auf Erleuchtung
Gimili |
das oben stehende s(t) ist deine gesuchte Weg-Zeit Funktion (sofern sich
kein Fehlerchen eingeschlichen hat)
(mit Ableiten kannst die Richtigkeit nachverifizieren ...)
das vT ist die Ausströmgeschwindigkeit deines Düsenstromes in m/sek und das k ist nun nichts anderes als eine Konstante die es ermöglicht die stetige Ausströmmasse zu bestimmen.
Angenommen du hast in einer Stufe von Anfang bis Ende konstante Ausströmgeschw. (was auch vorrausgesetzt ist) dann kannst das k so bestimmen
k = (m0-mleer) / (volle Brennlänge des Düsenstromes)
k = (m0-mleer) / (vT * volle Brennzeit der Stufe)
vT * k * 1sek = ergibt dann die in 1sek ausgestoßene Masse in kg, und
Esgilt also zu jeder Zeit t die Gl.
AusgestoßeneMasse(t) = vT*k*t
vT * k * volleBrennzeit = m0-mleer
(die insgesamt ausgestoßene Masse)
setzt das in die v-Funktion ein und für t die volle Brennzeit, so ergibt das gerade
v0+vT*ln( m0 / ( m0-(m0-mleer)) ) = v0+vT*ln(m0 /mleer) |
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Mister S
Anmeldungsdatum: 06.01.2005
Beiträge: 426
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| Mister S Verfasst am: 22. Mai 2005 20:25 Titel: |
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Über was integriert ihr eigentlich?  ?
Im Moment bin ich zu faul, die obige Gleichung zu überprüfen. Wie bist du hingekommen? Partielle Integration? |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Mai 2005 20:39 Titel: |
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Integriert wurde über t natürlich und zwar v(t),
(NICHT vT!!) <staun>
Wie bist du hingekommen? Partielle Integration?
solche Mühen mach ich mir erst garnicht, sowas schlag ich in Tabellen nach und bastel es dann passend zusammen. Es kann also gut sein, dass sich noch was vereinfachen lässt, das war mir erstmal egal. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 22. Mai 2005 23:49 Titel: Ableitung der Raketengleichung |
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Es gilt der Impulserhaltungssatz:
}{d t} = 0 \ \ \ oder \ \ \ v\frac{d m}{d t} + m\frac{d v}{d t} = 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ v d m + m d v = 0 )
Der erste Term entspricht hier dem Impuls des ausströmenden Gases. Nimmt man die Ausströmgeschwindigkeit u als konstant an, kann man die Gleichung umstellen und integrieren:
)
Diese Gleichung ist die Grundgleichung der Raketenantriebe und wurde zuerst von den Russen Konstantin Ziolkowski (1857 - 1935) abgeleitet. Auf der Erdoberfläche ist zusätzlich die Gewichtskraft -mg zu berücksichtigen.
Der Ausdruck
wird als Massenverhältnis bezeichnet. Die Endgeschwindigkeit einer n-srtufigen Rakete ergibt sich damit aus folgender Formel:
Haben alle Stufen die gleiche Aussströmgeschwindigkeit u folgt:
Sind nun auch noch die Masenverhältnisse der Stufen gleich, ergibt sich folgende Gleichung:
Konstantin Ziolkowski: "Die Menschheit wird nicht ewig auf der Erde bleiben!" |
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