Trägheitsmoment Würfel

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Meine Frage:
Die Aufgabe als Bilddatei :

Meine Ideen:
Ich kann den Abstand r von der Drehachse zu den Massenpunkte nicht bestimmen.
Also ich muss ja

berechnen.
Ich suche genau diesen r .
Rest denke ich wird kein Problem sein.
Kann jemand helfen?

Packo · Gast

Nadia,
bist du mit dem Begriff eines Trägheitstensors vertraut?

Ich gebe dir mal einen Tipp (leider ohne Beweis, denn der ist etwas aufwendig):

Beim Würfel ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel!

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Hi danke für deine Antwort, aber wir müssen das so lösen, indem wir r bestimmen und dann r nach x,y,z integrieren.

Gibt es keine andere Möglichkeit (tipp war Kreuzprdukt) .

Lg

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Der Hinweis von Packo zielt vermutlich in die Richtung Trägheitstensor -> spezielle Trägheitsmomente: http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitstensor (da steckt genau Dein Beispiel drin!)

So leicht geht das mit \int r^2 dm vermutlich nicht. Ich hatte auch erst über geometrische Symmetrien nachgedacht, aber wir kommen wohl um eine Transformation (oben) nicht herum.

Radikal anders übrigens: experimentell smile

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Das habe ich mir auch angeschaut , bin nicht mit dem tensor so vertraut.
Ich könnte die einzelnen schritte nachvollziehen , aber hier versteh ich nicht , wie das, der trägheitsmoment(3kg*m^2 , ich bins gewohtn , dass es r^2*m steht und nicht anderes) sein kann.

lg

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Was heißt "gewohnt"? Hast Du schon Trägheitsmomente verschiedener Körper berechnet, z.B. Stab, Zylinder, Kugel, Kegel? Dann weißt Du, daß man das dm geschickt wählen muß (Symmetrien ausnutzen), um integrieren zu können.

Wenn man sich die Querschnitte des Würfels senkrecht zur Drehachse = Raumdiagonalen ansieht, das müßten doch Quadrate sein ... vielleicht kann man da beginnen. grübelnd

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Sorry wegen gewohnt , ich meinte eigentlich die einheiten .
nichts mit 3kg*m^2.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Also, ohne Gewähr:

Das Integral:

Integral(r²dm) ist äquivalent zu Integral(r²*DICHTE*dV)
dV wird hier als dx*dy*dz angenommen.
r ist der senkrechte Abstand. Wenn ich mich nicht täusche entspricht das dem Kreuzprodukt eines Vektors in Richtung der Diagonalen und des Vektors der zum Betrachteten Volumenelement zeigt.
Das geht wie folgt:

Aktuelles Volumenelement = (x,y,z)
Vektor in Richtung der Raumdiagonalen = (L,L,L), wobei es natürlich mehrere Möglichkeiten für diesen Vektor gäbe. Ich hab den ursprung des Koordinatensystems in eine Ecke gelegt.
Achtung: Damit der richtige Wert rauskommt musst du noch (L,L,L) durch seinen Betrag dividieren. D.h. Vektor_L = (L,L,L)/(Betrag von(L,L,L))
Dann musst du nur das Integral lösen:

Integral(|Vektor_L x Vektor(x,y,z)|²*dx*dy*dz in den Grenzen der Seitenlängen, d.h. dx,dy,dz von 0 bis L integrieren. Reihenfolge ist dabei egal.

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

den Punkt im uhrsprung des koordinatensystem zu wählen , beudet für mich, das der Vektor,der die Diadonale des würfels schneidet (1,1,1) ist .
Liege ich richtig ?

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

ähhh, Vektoren schneiden einander nicht. Was du meinst sind vielleicht Geraden, aber um die gehts nicht.
Aber du hast mich gerade auf einen Fehler aufmerksamgemacht:
Wenn man (L,L,L) als Diagonalvektor nimmt, muss man den noch auf 1 normieren, d.h. durch seinen betrag teilen.

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

ISt das Volumenelement einfach die seiten bis zu der Kanten nach der ich integriere?
Wie lauten dann meine Integralgrenzen, etwa auch von -a/2 bis a/2 ?

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Wenn man das Koordinatensystem, wie ich erwähnt habe, in eine Würfelecke packt, können die Grenzen nicht -L/2 bis L/2 sein, das wäre ja teilweise außerhalb des würfels. Grenzen sind in diesem Fall von 0 bis L.

"ISt das Volumenelement einfach die seiten bis zu der Kanten nach der ich integriere? "

Bin mir nicht sicher was du meinst, glaube aber du meinst ob man von 0 bis L integriert. Und ja, das tut man.

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Ich glaube ich bin etwas weiter gekommen

habe das Kreuzprodukt gebildet und kam zu

Kann das stimmen , wenn ja soll ich dann nach jeder Variable Integreren?

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ich hab das Integral doch oben hingeschrieben.
Du musst dm noch durch Dichte*dx*dy*dz ersetzen.
Ferner sollte es 1/Wurzel(3) sein. nicht Wurzel(3)

edit: Sonst sollte es stimmen! Dann ausmultiplizieren und jeden Summanden nach x,y und z integrieren

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Ich habe das erste Integral berechnet
erhalte
1. nach dy

2. nach dz

Da kann was nicht stimmen, denn wenn ich die anderen Terme auch integriere , bekomme ich am ende 3 mal soviel und das ist kein 1/6.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hast du alle Terme nach x,y und z integriert?

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Ja habe ich mein endeergebnis ist

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ich erhalte für das Integral das von dir angegeben worden ist 1/6

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

dass kann nicht sein !!!
Hast du jetzt für das gesamte integral 1/6 ,oder wie versteh ich das?

Ich habe mit wolfram gerechnet und kamm nicht auf 1/6.
Kann sein , dass man das Kreuzprodukt nochmal mit (0,0,1 ) kreuzen muss?

Lg

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Nein. Ich habs per hand ausgerechnet, es kommt 1/6 raus(nicht das gesamte integral, aber der teil den du hier präsentiert hast)

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Ich habe meinen Fehler gefunden ,

wird ja quadriert und wird zu 1/3.

Dann klappt ja das ganze.

Vielen dank !!

Lg

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

du bist dir aber bewusst das natürlich noch die Länge fehlt und die Dichte?

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

Ja das weiß ich ,
wo kommt die denn hin smile

eigentlich immer am ende des Integral p*dv ? p*a^3 , mir fehlt aber irgenwie ein a , ich glaibe beim letztem Integral setze ich für für die Integralgrenzen 0 bis a ,oder?

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Nein. Lies nochmal was ich geschrieben habe...ich habe jetzt schon 2 mal geschrieben, dass du alles von Null bis L integrierst, da L die Kantenlänge ist.
D.h. da wo du 1 eingesetzt hast, musst du L einsetzen.
Am ende musst du dann irgendwas mit l^5 rausbekommen. Dann L^3 rausziehen, weil dass das Volumen des Quaders ist

Nadia.. · Anmeldungsdatum: 07.01.2011 Beiträge: 52

ja so habe ich das gemacht.
Vielen dank!!!

Packo · Gast

Etwas umständlich zum Ziel gelangt.
Das Ergebnis lautet:
J = 1/6*rho*L^5 = 1/6*m*L^3

mit der Dichte rho und der Masse m

Wenn man akzeptiert,was ich geschrieben habe: das Trägheitsellipsoid ist eine Kugel, so heißt dies ja, dass alle Trägheitsmomente bezüglich aller Achsen durch den Schwerpunkt, gleich sind.

Man kann also die Koordinatenachsen durch den Mittelpunkt des Würfels legen und dann das Trägheitsmoment bezüglich der x-Achse (oder y- oder z-Achse) rechnen. Dies führt wesentlich einfacher zum obigen Ergebnis.
Ich gebe aber zu, dass der Beweis für die Behauptung fehlt.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo!

Wenn ich richtig verstanden habe, sind J_xx = J_yy = J_zz = 1/6 ML² die (Haupt?) Trägheitsmomente durch den Schwerpunkt in x, y und z - Richtung (also Richtung Körperachsen).

War nicht aber das Trägheitsmoment bezüglich einer Raumdiagonale gesucht? [Komme zwar auf ein anderes Ergebnis; bin jedoch vollkommen aus der Übung.] grübelnd

Gruß

Packo · Gast

franz,
wie ist denn dein Ergebnis und wie hast du es gerechnet?

Es ist J_xx=J_yy=J_zz=J_Raumdiagonale.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Hallo Packo,

danke für das freundliche Angebot! Da es konzeptionell wohl in Ordnung geht, muß ich mich nochmal in die Materie vertiefen und die Integrationsgrenzen genauer ansehen.
Es fehlt mir leider die Unbekümmertheit unseres jungen Freundes. smile

Vorab schon an angenehmes Wochenende!