Berechnung Trägheitsmomente Integral

ph9 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,
Kann mir jemand ein einfaches Beispiel zur Berechnung des Trägheitsmomentes mit Hilfe des Integrals und der Dichte nennen?
Wie leite ich die dazugehörige Formel am Besten von der Bewegung eines Massepunktes her?

Meine Ideen:
Für den Trägheitsmoment habe ich

mit Integral

.

Außerdem:

=>

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

isi, der Threadersteller hat ja schon so gut wie komplett Latex verwendet. Ich habe daher einfach mal seine Formeln noch vollends so ergänzt, dass sie hier im Forum auch gleich als Latex-Formeln angezeigt werden (im Wesentlichen einfach jeweils markiert und auf f(x) geklickt).

ph9, in deinen Integralformeln würde ich einfach anfangen, die Masse umzuformen in einen Audruck mit Dichte und Volumen und damit deine Formeln als Integral über ein Volumenelement hinzuschreiben. Je nach Form des Körpers oder Art der Integration kannst du diese Integration über ein Volumen natürlich auch entsprechend als eine Integration über einen Radius oder so schreiben.

Gehts damit schon besser? Wie lautet die genaue Form der Formel, die du herleiten möchtest, und für was für einen konkreten Körper möchtest du sie eventuell dann gleich schon verwenden können?

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

sorry, ich bin einen anderen Formeleditor gewöhnt und danke fürs umschreiben.

Ich könnte ja auch folgendes schreiben:

Also bräuchte ich eine Gleichung

(Das Ganze soll Teil einer Präsentation für Mathematik werden, Thema: Integrale in der Physik, also vom Rechnerischen nicht über 1.Halbjahr Kursstufe, und der physikalische Teil wird so wie so nicht alle ansprechen.)

Daher möchte ich mich auf einen einfachen Körper beschränken (evtl.Punktmasse, Zylindermantel oder Zylinder).
Aus der kinetische Energie, die jeder kenne MUSS, habe ich ja schon die Rotationsenergie hergeleitet. Wie gelingt mir jetzt der perfekte Übergang zum Trägheitsmoment?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

Stimmt, ohne konstante Dichte würde es nur wenig Sinn machen.

Hab mir mal ein konkretes Beispiel überlegt:
Könnte ich einen 1m³ Aluminiumwürfel also um eine 1m entfernte Achse drehe lassen?
Rechnung:

Das Integral fällt weg, da es 1 wird, also bleibt nur noch die Dichte stehen, weshalb das Trägheitsmoment 2,7 kgm² beträgt.

Das war zu einfach grübelnd

, was hab ich falsch gemacht?

Packo · Gast

ph3 oder ph9,

zur Berechnung eines Trägheitsmomentes brauchst du nichts zu drehen!

Deine Integrale ergeben keinen Sinn.

Wo liegt denn eine Achse, die 1 m (vom Würfel ?) entfernt ist ???

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da hast du die Bedeutung des Buchstaben r wohl missverstanden.

Das r meint den Abstand des Volumenelementes dV von der Drehachse. also hat dieses r im allgemeinen keinen fixen Wert, der für alle Volumenelemente gleich ist, sondern hängt davon ab, über welches der Volumenelemente dV du jeweils integrierst.

Also musst du das r erst noch durch einen passenden Ausdruck, zum Beispiel in kartesischen Koordinaten, ersetzen, bevor du anfangen kannst, das Integral auszuwerten.

Wie weit bist du inzwischen mit der Skizze, die den Körper zeigt und die Drehachse, um die er gedreht werden soll, ... ? Zeige diese Skizze gerne mal hier, und sage, mit welchem Ausdruck du das r demnach ersetzen möchtest!

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

Okay, ich lasse also r vom äußersten Rand des Körpers bis zum Rotationszentrum nächstegelegenen Punkt laufen, was durch das Integral ja ausgedrückt wird.
Im Anhang ist die Zeichnung von GeoGebra. Der Origo soll das Rotationszentrum sein und ich habe mal eine Kugel genommen, die drumherum rotieren soll.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eine Kugel ist zum Integrieren sicher nicht das einfachste Startbeispiel, vor allem wenn die Drehung obendrein noch um eine Achse außerhalb der Kugel stattfinden soll.

Magst du dich vielleicht erst einmal statt dessen an einem Würfel oder Quader versuchen, der um seine Mittelachse gedreht wird? Da werden die Integrale in kartesichen Koordinaten viel einfach aufzustellen und hinzuschreiben sein...

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

Wenn der rote Würfel um die Z-Achse rotiert ist der Radius der äußersten Massenpunkte die auf dem Kreis liegen =

und der Radius des innerste Punktes = 0

Wäre es dann nicht einfacher einen Zylinder zu nehmen oder denke ich zu kompliziert, das ergibt dann:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da bin ich nur teilweise einverstanden.

Wenn man das Trägheitsmoment eines Zylinders berechnen möchte, dann ist das zwar in der Tat einerseits einfacher, weil man nur eine Variable (den Radius) hat, über den man im Volumenintegral integrieren muss. Es ist aber auch andererseits schwieriger, weil man dann vorher einen zusätzlichen Schritt braucht, um ein passendes Koordinatensystem (Zylinderkoordinaten oder Polarkoordinaten) einzuführen und das Volumenintegral zu Beginn dementsprechend umzuschreiben.

(Dass du diesen Schritt in deiner Rechnung für den Zylinder komplett weggelassen hast, ist einer der Gründe dafür, warum diese Rechnung nicht richtig ist.)

Wenn du nicht diesen Extraschritt mit Zylinderkoordinaten lernen und einführen möchtest (das lernen und üben die meisten eher noch nicht auf der Schule, sondern erst zum Beispiel gegen Anfang des Physikstudiums), dann würde ich dir eher empfehlen, wirklich mal einen Würfel zu nehmen und das Volumenintegral für diesen Würfel wirklich mal in kartesischen Koordinaten aufzustellen. (und dementsprechend, wie oben ja schon angesprochen, mit dem Pythagoras das r entsprechend umschreiben)

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(Achte übrigens am besten immer darauf, dass du explizit ans Integral dazuschreibst, was die Variable ist, über die integriert wird. Denn ein Integral, bei dem das "Volumen" von "0 bis Wurzel 2" läuft, hast du ja sicher nicht gemeint. Solche Flüchtigkeitsfehler passieren dir erst gar nicht, wenn du die Integrale ausführlich und sorgfältig hinschreibst.)

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

Nebenbei möchte ich mich für deine Geduld bedanken!

Um unnötige Fehler zu vermeiden versuche ich jetzt meinen Rechenweg ausführlicher zu erklären:

ist die Ausgangsformel (das r(V) schreibe ich nur um mir die Abhängigkeit klar zu machen), wobei V =a^3=8
ich suche also die Funktion r^2(V) bzw zunächst r(V):

durch Gleichsetzen ergibt sich:

quadriert also:

dann lautet mein Integral:

ph3 · Anmeldungsdatum: 01.01.2011 Beiträge: 11

Und falls ich das richtig einsetze und ausrechne komme ich auf folgendes:

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Mit der Schreibweise eines Integrals

meint man fürs Ausrechnen nicht ein Einfachintegral über die Variable V, sondern ein sogenanntes Mehrfachintegral über die Koordinaten der Dimensionen, aus denen sich das zusammensetzt.

Magst du zum Verstehen und Üben mal das Volumen eines Rechteckquaders mit den Seitenlängen a, b und c ausrechnen, indem du ein solches Mehrfachintegral auswertest (und dann mal schauen, ob das Resultat auch wirklich zu dem passt, was du mit der dir bereits bekannten Formel erwartest) ?

(Die Rechnung fängt mit der offensichtlichen Aussage an: "Das gesamte Volumen des Rechteckquaders ist gleich der Summe all seiner Volumenelemente und damit gleich dem Volumenintegral von 1, integriert über den gesamten Körper")

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Ich habe im Übrigen mal geschaut, ob ich eben mal schön einen Link finde, in dem man sich die Grundlagen zu so etwas wie Mehrfachintegralen zur Not vielleicht schon mal in Kurzform zusammengefasst reinziehen kann. Hilft dir da etwas wie zum Beispiel

http://user.uni-frankfurt.de/~jtoedter/Ex1WS09/ExWS09-Volumen_JT.pdf

schon ein kleines bisschen weiter, um einen ersten Eindruck davon zu gewinnen, wie solche Integrale gemeint sind und funktionieren (und wie sie nicht gemeint sind und wie sie nicht funktionieren)?