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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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 Clawfinger Verfasst am: 20. Nov 2010 16:23 Titel: Radialbeschleunigung berechnen |
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Hey Leute
Ich habe folgende Aufgabe:
Eine Zentrifuge mit einem Rotordurchmesser von 5cm läuft mit a)200 und b) 2000 Umdrehungen pro Minute. Wie groß ist jeweils die Radialbeschleunigung?
Nun habe ich mir hierfür natürlich eine Gleichung für die Radialbeschleunig rausgesucht, die ja a = v²/r lautet. r ist ja einfach der Durchmesser durch 2 teilen, also 2,5 cm. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich aus den Umdrehungen eine schöne Geschwindigkeit machen soll. Wiki spuckt mir für Umdrehungen nur aus, dass es sich dabei um eine Hilfseinheit handelt. Das bringt mich aber auch nicht wirklich weiter. Denn ich muss das ganze ja irgenwie in schöne Einheiten bringen. Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen. Vielen Dank. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 20. Nov 2010 16:40 Titel: Re: Radialbeschleunigung berechnen |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | | [...] Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich aus den Umdrehungen eine schöne Geschwindigkeit machen soll. [...] |
Geschwindigkeit = Weg pro Zeit.
Der Weg ist hier dann natürlich der Umfang, die Zeit ergibt sich aus der Frequenz. |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 20. Nov 2010 17:09 Titel: |
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Warum ist der Weg "natürlich" der Umfang? Mir fehlt für sowas immer das Verständnis und kann mir das alles nicht so herleiten und von alleine sehen, dass das stimmt.
Muss ich, um auf die Zeit zu kommen 1 / 500 U/min rechnen? Ich würde das ganze mit 60 multiplizieren und käme dann durch den auf Sekunde im Nenner, also müsste das richtig sein, oder? |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 20. Nov 2010 17:30 Titel: |
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Ein Punkt im Abstand r dreht sich in einer Minute U mal komplett herum und legt dabei den Weg "U x Umfang" zurück:
In Einer Sekunde ist es dann 1/60 dieses Weges, also ist die Geschwindigkeit
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 20. Nov 2010 17:33 Titel: |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | | Warum ist der Weg "natürlich" der Umfang? Mir fehlt für sowas immer das Verständnis und kann mir das alles nicht so herleiten und von alleine sehen, dass das stimmt.[...] |
Dem ganzen liegt die Annahme zu Grunde, dass die Umschichtung in der Zentrifuge (geringe Dichte nach innen, hohe Dicht nach außen) so langsam vor sich hin geht, dass man die Bahn eines Massenelementes als Kreisbahn nähern kann oder dass der betrachtete Zeitraum ausreichend kurz ist und die Näherung deswegen gültig bleibt.
Wenn sich also die Zentrifuge mit konstanter Geschwindigkeit dreht und das Teilchen dabei etwa seine Position hält (oder ausreichend kurze Zeiten betrachtet werden), so bewegt es sich auf einer Kreisbahn. Die Strecke, die es dabei (bei einer Umdrehung) zurück legt ist eben exakt der Kreisumfang dieser Kreisbahn.
(Es ließe sich auch anders argumentieren: macht man das Zentrifugenglas sehr klein, muss die zurückgelegte Strecke genau die Kreisbahn sein, ansonsten müsste das Teilchen das Röhrchen verlassen.)
Deine Überlegungen bzgl. der Dauer für 500 Umdrehungen/min. sind korrekt. |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 20. Nov 2010 19:35 Titel: |
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Okay, also ich habe jetzt wie folgt die Geschwindigkeit ausgerechnet:
\frac{2r\pi}{\frac{1}{60*200}}
Damit komme ich auf einen Wert von 1884,95 m/s. Der kommt mir allerdings ziemlich hoch vor. Stimmt der so oder habe ich was falsch gemacht?
Bei der Rechnung von schnudl kommt zumindest etwas anderes raus. Allerdings kann ich mir das nicht herleiten, warum ich für die Strecke das U mal nehmen muss. |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 20. Nov 2010 20:07 Titel: |
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Clawfinger,
mein Ratschlag: rechne alles in SI-Einheiten.
Anstatt mit Drehzahlen - rechne immer mit der Winkelgeschwindigkeit omega.
a)
r = 0,025 m
b) genauso |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 21. Nov 2010 01:51 Titel: |
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Danke dafür^^
So sieht das auch schon humaner aus =)
Habe aber noch eine c dafür:
Dieselbe Zentrifuge wird nun mit der Anfangsgeschwindigkeit gleichförmig mit  beschleunigt. c) Nach welcher Zeit erreicht die Bahnbeschleunigung (Radialbeschleunigung) am Außenrad der Trommel (Durchmesser noch immer 5cm) den Betrag 5g? (g = 9,81 m/s²)
Nun habe ich nach der Gleichung a = versucht rauszufinden, wie hoch \omega denn sein muss, damit die gewünschte Bahnbeschleunigung erreicht ist. Damit wollte ich mir dann ein Delta schaffen für folgende Gleichung:
}{\mathrm{d} t}=r \cdot \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}= r \cdot {\alpha)
Dabei die hintere Gleichung benutzt und nach t aufgelöst.
Also Ich bekäme dann 78,5 s bei heraus.
Benutze ich das allerdings, um dann a auszurechnen zur Probe, erhalte ich nicht das richtige Ergebnis.
Wo ist mein Denkfehler? Danke für eure Hilfe^^ |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Nov 2010 10:01 Titel: |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | [...]
Dabei die hintere Gleichung benutzt und nach t aufgelöst.
Also Ich bekäme dann 78,5 s bei heraus.[...] |
Dein Fehler ist, dass du auf der rechten Seite integriert hast, jedoch nicht auf der linken Seite. Bei Gleichungen musst du auf beiden Seiten das gleiche tun. Trennung der Variablen liefert dir also:
Omega= Alpha*t. |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 21. Nov 2010 11:03 Titel: |
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Clawfinger,
deine Rechnung ist richtig und dein Ergebnis auch. Die Probe stimmt ebenfalls.
Die Formel omega = alpha*t ist für dieses Beispiel falsch. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Nov 2010 11:22 Titel: |
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| Packo hat Folgendes geschrieben: | | [...]deine Rechnung ist richtig und dein Ergebnis auch.[...] |
Oh, sorry habe übersehen, dass es eine Anfangsgeschwindigkeit gibt.
Die Rechnung ist formal trotzdem nicht ganz korrekt.
Wenn er etwas der Art schreibt:
dw/dt=a
folgt mit Trennung der Variablen:
dw=dt*a
Integration liefert (falls a nicht von t abhängig):
w-w(t=0)=a*t
Das Differenzial muss also durch eine Differenz ersetzt werden, ansonsten steht dort ja: a*t etwa 0 für alle t und das ist definitiv nicht richtig. |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 21. Nov 2010 14:09 Titel: |
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Also ich habe das d immer als Differenz gewertet gehabt.
Demnach habe ich für t halt w2 - w1 / alpha gerechnet gehabt.
Die Probe habe ich dann mit r * ((w2 - w1)/t) = a gemacht. Allerdings erhalte ich damit nicht 5g heraus. Wie hast du denn die Probe gemacht, Packo? |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Nov 2010 14:20 Titel: |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | [...] Demnach habe ich für t halt w2 - w1 / alpha gerechnet gehabt.
Die Probe habe ich dann mit r * ((w2 - w1)/t) = a gemacht. Allerdings erhalte ich damit nicht 5g heraus. [...] |
Mit t=(w2-w1)/alpha
ist dann
r*((w2-w1)/t)=alpha*r. |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 21. Nov 2010 14:50 Titel: |
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Aber ich will doch gar nicht alpha herausbekommen. Ich möchte doch nachprüfen, dass nach dieser Zeit das ganze auch wirklich bei der Bahnbeschleunigung a = 5g ist. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Nov 2010 14:53 Titel: |
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Clawfinger, Du hast prinzipiell alles richtig gemacht, hast Dich nur zwischendurch mal verrechnet bzw. beim Ablesen von Deinem Taschenrechner einen Zahlendreher eingebaut: 78,5s anstatt 87,5s (korrekt gerundet wären es allerdings 87,6s gewesen).
Du scheinst leicht den Überblick zu verlieren, benötigst also ein bisschen mehr Selbstbewusstsein. Zur Lösung dieser Aufgabe war nur die Kenntnis der Geschwindigkeitsgleichung bei gleichmäßig beschleunigter Drehbewegung (1) sowie der allseits bekannten Formel für die Zentripetalkraft nötig (2).
(1) w = alpha*t + w0 ---> t = (w-w0)/alpha
(2) Fz = m*az = m*w²*r ---> w = sqrt(az/r)
(2) in (1) einsetzen ---> fertig |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Nov 2010 16:17 Titel: |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | | Aber ich will doch gar nicht alpha herausbekommen. Ich möchte doch nachprüfen, dass nach dieser Zeit das ganze auch wirklich bei der Bahnbeschleunigung a = 5g ist. |
Dann ist das korrekt so, wie du es gemacht hast. Ich wusste nicht, dass a deine Radialbeschleunigung ist.
...
Pardon Bahnbeschleunigung. Aber wolltest du nicht die Radialbeschleunigung bestimmen?
Zuletzt bearbeitet von Chillosaurus am 22. Nov 2010 21:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 21. Nov 2010 20:04 Titel: |
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GvC,
ich kann bei Clawfinger keinen Zahlendreher erkennen.
t = 78,5 s (bezw. richtig gerundet = 78,6 s) nicht 87,6 s. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Nov 2010 20:17 Titel: |
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Ja, hast recht. Hatte für w0 0,5/s statt 5/s eingesetzt. Mein Fehler! Also hatte Clawfinger alles richtig. |
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Clawfinger
Anmeldungsdatum: 11.11.2010
Beiträge: 19
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| Clawfinger Verfasst am: 21. Nov 2010 22:44 Titel: |
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Danke für eure Hilfe. Es ist ja schonmal gut zu wissen, wenn es richtig ist. =)
Nach deinem Prinzip hab ich das ja auch gerechnet gehabt, GvC.
Nur ich wollte das ganze natürlich doch auch nachprüfen. Also wollte ich rechnen, ob nach dieser Zeit wirklich a = 5g ist. Die Gleichung für a ist ja a = r * dw/dt. Gebe ich aber 0,025 * (w - w0 ) / t im Taschenrechner ein, ist das nicht 5g. Daher bin ich dabei so unsicher, dass es stimmt. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Nov 2010 23:10 Titel: |
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| Clawfinger hat Folgendes geschrieben: | | Die Gleichung für a ist ja a = r * dw/dt. |
Das ist die Gleichung für die Tangentialbeschleunigung. Die gegebene Beschleunigung von 5g ist aber die Radialbeschleunigung. Diese beiden Beschleunigungen sind natürlich nicht vergleichbar. |
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