Kräfteresultierende mit Cosinussatz berechnen

Elu · Anmeldungsdatum: 24.10.2010 Beiträge: 4

Hallo,
ich möchte eine resultierende Kraft aus zwei Vektoren mit dem Cosinussatz berechnen. Ich habe die Aufgabe zeichnerisch bereits gelöst und kenne das Ergebnis.

Die Formel lautet: Fr = F1^2 + F2^2 - 2*F1 * F2 * cos (Y)

Auch findet man in Formelsammlungen, dass vor dem 2*F1 anstatt dem Minus ein Plus steht.

Ich habe mehrere Aufgaben dieser Art, die ich vorher zeichnerisch gelöst hatte, rechnerisch nachvollzogen und musste feststellen, dass ich in manchen Aufgaben das oben erwähnte Minuszeichen im Cosinussatz gegen ein Pluszeichen auswechseln musste, um konkret zu dem Ergbnis der jeweiligen zeichnerischen Lösung zu kommen. Andernfalls gabe es völlig falsche Lösungen.

(Der von mir jeweils eingesetzte Winkel ist der, der von den beiden Vektoren an ihrem gemeinsamen Angriffspunkt umschlossen wird.)

Ich weiß nicht woran das liegt. Alle meine Überlegungen sind fehlgeschlagen. Wer kann mir helfen?

Gruß Elu

Realschullehrer · Gast

Beim Kosinussatz steht auf der linken Gleichungsseite ein Quadrat, sonst stimmen die Einheiten nicht (links N, rechts N²).
Die rechte Seite der Formel für den Kosinussatz ist mit dem Minuszeichen richtig.

Packo · Gast

Hi Elu,
was der Realschullehrer sagt, stimmt nicht.

Die korrekte Formel ist

Fr^2 = F1^2 + F2^2 + 2*F1*F2*cos(a)

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Beides ist richtig, und beides ist falsch. Du musst erkennen, um welchen Winkel alpha es sich handelt, um den Innen- oder den Außenwinkel des aus den drei Kräften bestehenden Dreiecks. Denn die unterscheiden sich beim Kosinus im Vorzeichen:

cos(180°-alpha) = -cos(alpha)

Elu · Anmeldungsdatum: 24.10.2010 Beiträge: 4

Vielen Dank für das bisher Gesagte, das leuchtet mir ein.

Jetzt habe ich eine Frage:
Bei einem Winkel > 90° ist der Cosinus negativ. Ist folgender Rechnungsgang dann richtig?:

..... - 2 * F1 * F2 * (-cos alpha) = ....... + 2 * F1 * F2 * cos alpha

Packo · Gast

Es geht hier nicht um Innen- oder Außenwinkel in einem Dreieck, sondern um die Berechnung der Resultierenden aus zwei Kräften.
Alpha ist dabei der von diesen Kräften eingeschlossene Winkel. (siehe Aufgabe).
Dies ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn man einen Vektor um den gemeinsamen Schnittpunkt in den anderen Vektor dreht. Es ist gleichgültig, ob links oder rechts gedreht wird. (Man erhält dann eben 2*pi-alpha).
In jedem Fall lautet die Formel:
FR^2 = F1^2 + F2^2 + 2*F1*F2*cos(alpha)

Ein Minuszeichen in dieser Formel ist falsch!
(Außer man schreibt wie Elu zwei davon: Fr^2=F1^2+F2^2-2*F1*F2*(-cos(alpha))).

Elu: bei manchenWinkeln ist der Kosinus negativ - es gilt jedoch nicht, wie du schreibst, "bei einem Winkel > 90° ist der Kosinus negativ".

Elu · Anmeldungsdatum: 24.10.2010 Beiträge: 4

Hallo,
ich mache das, um meiner Enkelin (10.Klasse) zu helfen und gleichzeitig bei mir Bildungslücken zu schließen. Meine Studienzeit liegt 50 Jahre zurück.

Nun zum Thema.

1. Bei einer Aufgabe zur Berechnung der resultierenden Kraft von 2 Teilkräften, die in einem Winkel alpha < 90° zueinander stehen, ist das
+ (Plus) in der Ausgangsformel richtig und stimmt mit der zeichnerischen Ermittlung überein.
Rechnet man aber mit einem - (Minus) in der Ausgangsformel, dann bekommt man den Betrag der Strecke zwischen den Endpunkten der beiden Teilkräfte, was mit der zeichnerischen Darstellung bewiesen werden kann.

2. Bei einer Aufgabe, bei denen der Winkel alpha größer 90° und kleiner 180° ist, ändert sich das + (Plus) wegen des negativen cos alpha (laut Taschenrechner) in der weiteren Rechnung in ein - (Minus). Nur so stimmt dann das Ergebnis auch mit der zeichnerischen Lösung überein.

Ist das so richtig?

Elu

Packo · Gast

1. Ist richtig.
Mit dem Minuszeichen in der Formel ergibt sich die Länge der Strecke zwischen den Endpunkten der beiden Kraftvektoren. Aber danach ist ja in der Aufgabe nicht gefragt.

2. Auch für Winkel zwischen 90° und 180° bleibt das Plus in der Formel richtig; nur muss dann eine negative Zahl addiert werden. Ich weiß ja nicht, was für einen Taschenrechner du hast, aber probiere es mal, du musst immer den Kosinus-Term addieren, egal ob er positiv oder negativ ist.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@Packo
Ich glaube, Du hast meinen Beitrag nicht genau genug gelesen. Ich sprach von dem durch die zwei Kräfte und der Resultierenden gebildeten Dreieck, um den Vergleich mit dem Kosinussatz zu erläutern, der ja immer die Innenwinkel des Dreiecks berücksichtigt und beispielsweise für die Seite c in einem Dreieck lautet

c² = a² + b² - 2ab*cos(gamma)

Der von zwei zu addierenden Kraftvektoren eingeschlossene Winkel ist aber immer der Außenwinkel des aus den zwei Kräften und der Resultierenden gebildeten Dreiecks, wie Du leicht erkennen würdest, wenn Du Dir folgende Skizze machtest.

[IMG]http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=6220f1-1288176890.jpg&size=thumb[/IMG]

Demzufolge lautet der Kosinussatz für dieses Dreieck

Fres² = F1² + F2² - 2F1F2* cos(180°-alpha) = F1² + F2² - 2F1F2* (-cos(alpha)) = F1² + F2² + 2F1F2*cos(alpha)

Ich muss deshalb Deinen Einwand, es ginge hier nicht um Innen- oder Außenwinkel in einem Dreieck, strikt zurückweisen.

Packo · Gast

Hallo GvC,
ich glaube wir reden hier im Kreis herum.
Natürlich kann man den Winkel auch als Außenwinkel in einem Dreieck finden. Dann gilt er jedoch nicht für den Kosinaussatz dieses Dreiecks.
Im Kosinussatz eines schiefwinkeligen Dreiecks steht das Minuszeichen!

Verrate mir bitte lieber, wie man hier mit Fettbuchstaben schreibt, so wie deine Worte "Innenwinkel" und "Außenwinkel".

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Packo · Gast

Ja, das mit dem B hätte ich sehen müssen!

Jedenfalls vielen Dank!

Elu · Anmeldungsdatum: 24.10.2010 Beiträge: 4

Hallo liebe Freunde,
nachdem ihr eure Missverständnisse geklärt habt, nun wieder zu meinem Anliegen.
Meine ursprüngliche Frage ist für mich mit folgender Aussage von Packo beantwortet.