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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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:)
Gast
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 :) Verfasst am: 20. Mai 2010 21:52 Titel: |
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Also ich würde die Aufgabe mit samt dem Baaz wegschmeißen
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 21. Mai 2010 13:57 Titel: |
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Sagt dir der aperiodische Grenzfall etwas ?
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 21. Mai 2010 15:28 Titel: |
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Dieser aperiodische Grenzfall ist doch der Fall wenn die Dämpfung so hoch eingestellt ist, dass es zu keinem "nachschwingen" kommt, oder? Aber was bedeutet dieser Grenzfall nun angewandt auf mein Problem in Formeln ausgedrückt?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 21. Mai 2010 17:55 Titel: |
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Ja, aber der aperiodische Grenzfall ist auch genau der Fall den du suchst, da mit ihm die neue Gleichgewichtslage am schnellsten gefunden wird.
Ich würde mal vorschlagen du stellst die Bewegungsgleichung für eine gedämpfte harmonische Schwingung auf, wobei die rücktreibende Kraft eine Federkraft ist. Dann bestimmst du die Dämpfung so, dass der aperiodische Grenzfall eintritt. Jetzt musst du dir nur noch über die konkreten Werte Gedanken machen, von denen die Dämpfung abhängt.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 22. Mai 2010 12:34 Titel: |
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Ist diese Bewegungsgleich für den gedämpften harmonischen Oszillator so richtig:
So, das ist aber eine DGL, oder? Wie gehe ich jetzt damit um? Wenn ich den Weg zweimal nach x ableite komm ich auf die Beschleunigung. Was ist c? Dieses k kenn ich nur aus einer Formel für die Kreisfrequenz...
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 22. Mai 2010 12:54 Titel: |
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Ich hab dann dazu noch einen Lösungsansatz gefunden. Der lautet:
=A_0*e^{-\rho*t}*cos(\omega*t-\phi))
Hier müsste ich doch jetzt wahrscheinlich nach der Dämpfung auflösen. Diese Dämpfung ist doch das rho im Exponenten der e-Funktion, oder? Aber woher bekomme ich die anderen Lösungen? Wenn ich hier nun auf meine DGL schaue, könnte ich vermute ich muss die hier in der Antwort oben stehende Formel zweimal ableiten und dann in die DGL einsetzen... Aber nach WAS soll ich ableiten? Und dann hab ich ja noch immer keine Werte die ich z.B. für die Amplitude A einsetzen könnte! Ich blick da einfach nicht durch!
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 22. Mai 2010 17:40 Titel: |
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Okay also erst mal solltest du k mit D bezeichnen, wie in der Aufgabe. Also hast du die folgende DGL:
Weißt du wie man eine solche DGL mit einem Exponentialansatz der Form
 = C \cdot e^{\lambda t})
löst ? Wenn ja, dann erhältst du den aperiodischen Grenzfall, wenn die beiden Werte für  zusammenfallen. Hieraus erhältst du sofort, wie c von m und D abhängt.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 26. Mai 2010 12:21 Titel: |
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Nein, ich weiß leider nicht wie man solche Gleichungen löst. Wir haben sowas auch in Mathematik noch nicht gemacht. Hilfst du mir dabei?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 26. Mai 2010 17:50 Titel: |
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Du Setzt einfach den Ansatz in die Differentialgleichung ein. Und erhältst damit:
\cdot C \cdot e^{\lambda t} = 0)
also muss gelten:
Diese Gleichung liefert die je nach Dämpfung: Entweder zwei komplexe konjugierte Lösungen (Gedämpfte Schwingung), zwei reelle Lösungen (Kriechfall bzw. Überdämpfung) oder eine doppelte Lösung (aperiodischer Grenzfall):
Also liegt der aperiodische Grenzfall bei  , wobei c als Dämpfung definiert positiv ist... Wurzel ziehen kannst du selber 
Die Lösung für die DGL würde dann lauten:
 = (C_1+C_2 \cdot t) \cdot e^{-c/(2m)})
Wobei die beiden Integrationskonstanten durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 04. Jun 2010 12:57 Titel: |
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Ich hab noch ein paar fragen zu dieser Aufgabe:
| pressure hat Folgendes geschrieben: |
Also liegt der aperiodische Grenzfall bei , wobei c als Dämpfung definiert positiv ist... Wurzel ziehen kannst du selber
Die Lösung für die DGL würde dann lauten:
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Man bekommt durch die gelöst DGL eine quadratische Funktion. Da der aperiodische Grenzfall gesucht ist, weiß man (anscheinend), dass man in die "normale", also nicht komplexe, Lösungsformel einsetzen muss. Soweit so gut.
Aber warum darf man nun die quadratische Lösungsformel nicht einfach so lösen wie man's in der Mathematik gelernt hat? Denn du betrachtest anscheinend nur die Diskriminante, oder? Und wie kommst du dann auf diese Lösung =(C_1+C_2*t)*e^{-c/2m}) der DGL?
| Zitat: | | Wobei die beiden Integrationskonstanten durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. |
Was sind die Anfangsbedingung bzw. wie lese ich diese aus der Aufgabenstellung heraus?
Irgendwie fehlt mir am Schluss der zusammenhang die Lösung der Aufgabe anhand dein Hilfestellung nachzuvollziehen... Kannst du's vielleicht versuchen mir er noch etwas genauer zu erklären? Danke!
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 04. Jun 2010 13:54 Titel: |
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Auch wenn das wahrscheinlich etwas an der eigentlich Aufgabe vorbei geht: Also, du hast erst mal die ganz normale Lösungsformel für :
Wenn man nun formal die Differentialgleichung lösen will, muss man drei Fälle unterscheiden:
1. Fall (starke Dämpfung): 
Hier ändert sich an der Formel gar nichts. Und man bekommt als Lösung also:
 = C_1 \exp(\frac{-c + \sqrt{c^2-4mD}}{2m} \cdot t) + C_2 \exp(\frac{-c -\sqrt{c^2-4mD}}{2m} \cdot t)= \exp(\frac{-c}{2m} \cdot t) \left[ C_1 \exp(\frac{\sqrt{c^2-4mD}}{2m} \cdot t) + C_2 \exp(\frac{-\sqrt{c^2-4mD}}{2m} \cdot t)\right])
2. Fall (schwache Dämpfung): 
Hier steht nun ein negativer Wert unter der Wurzel, um das zu ändern wird i aus der Wurzel hinausgezogen. Es ergibt sich:
 = C'_1 \exp(\frac{-c + i \sqrt{4mD-c^2}}{2m} \cdot t) + C'_2 \exp(\frac{-c - i\sqrt{4mD-c^2}}{2m} \cdot t))
Wenn du dich ein bisschen mit der e-Funktion aus kennst, dann weißt du, dass man sie bei einem imaginären Argument auch durch Sinus und Cosinus schreiben kann und somit kann man die Lösung umformen zu:
 = \exp({\frac{-c}{2m}\cdot t})\cdot\left[C_1 \sin(\frac{\sqrt{4mD-c^2}}{2m} \cdot t) + C_2 \cos(\frac{\sqrt{4mD-c^2}}{2m} \cdot)\right])
3. Fall (kritische Dämpfung - aperiodischer Grenzfall): 
Hier fallen beide Werte für zu einem zusammen. Man kann zeigen, dass hier die Lösung ist:
= \exp(\frac{-c}{2m}) \cdot (C_1 + C_2 \cdot t))
Und dies ist nun genau der Fall in dem eine gedämpftes System am schnellsten den Ausgangszustand erreicht, also was du suchst. Für dich ist also nur entscheidend, dass gelten muss:
Das ist alles was du brauchst um die Dämpfung c zu berechnen, damit sich eine neue Gleichgewichtslage möglichst schnell einstellt.
Zu den Anfangsbedingungen:
In allen Lösungen treten zwei Integrationskonstanten  und  auf. Diese sind erst mal unbestimmt, solange man sich nicht für eine konkrete Lösung interessiert und werden bei dieser durch Anfangsbedingung bestimmt. Also vom Ausgangszustand zum Zeitpunkt 0 an dem das System "losgelassen" wird. Typischerweise ist ) und ) bekannt. Einsetzen dieser Größen in die allgemeine DGL liefert dir dann und
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