Aus Kreuzprodukt r x F = M nach F auflösen

Daniel_HSE · Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 29

Hey liebe Forumskollegen,

Ich hab mal ne Frage bzgl eines Kreuzproduktes hier speziell

oder genauer im R³:

Bei gegebenem Moment

und gegebenem Vektor

möchte ich nach der Kraft

auflösen.

Das bin ich auch schon angegangen und habe ein LGS aufgestellt:

Eigentlich müsste das doch eigentlich nach dieser Methode gehen, oder??

Leider ist jedoch die Determinante

, was mir also sagt (und das sagt Excel und händische Rechnungen auch ), dass das LGS nicht lösbar ist.

Aber es muss doch möglich sein die Kraftkomponenten zu ermitteln....oder?

Ein herzliches Dankeschön, schonmal!!

Daniel

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Nein, es gibt unendlich viele Kraftvektoren die ein gesuchtes Drehmoment bei vorgegebenen Hebelarm erzeugen können. Somit ist diese Gleichung bzw. die Operation Kreuzprodukt nicht umkehrbar, da sie nicht injektiv ist. Wenn du dir mal nur den Betrag von M anschaust, kannst du dies sofort sehen.

Daniel_HSE · Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 29

Hey,

wie meinst du denn das mit dem Betrag von M? Irgendwie kann ich mir das noch nicht richtig vorstellen, mit diesen unendlich vielen Lösungen.

Wenn ich einen Hebelarm habe, und dessen verschiedene Komponente, dann müsste ich doch irgendwie die Kraftkomponente bestimmen können die zu den jeweiligen Hebelarmkomponenten gehören...so is jedenfalls mein Gefühl. Wenn ich das irgendwie lösen möchte, muss ich dann eine Komponente der Kraft vorgeben oder ähnliches?

Merci schonmal!

Daniel

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Schauen wir uns doch mal das Kreuzprodukt genauer an:

Wobei Alpha der Winkel zwischen dem Vektor a und dem Vektor b ist. Ich will kurz einfach a und b schreiben.

Wenn a und b parallel oder antiparallel sind, dann wird das Kreuzprodukt 0. Somit kann man in diesem trivialen Fall nicht mehr von der Kenntnis von a auf b schließen, da es unendliche viele Vektoren gibt die parallel zu a sind.

Andernfalls spannen a und b immer eine Ebene auf und c steht immer senkrecht/normal auf dieser. Nun gibt es aber unendlich viele Vektoren die mit a dieselbe Ebene aufspannen und deren Betrag von Kreuzprodukt mit a gleich dem Betrag von c ist. Wenn b entsprechend kürzer ist als b' muss einfach der Winkel Alpha entsprechend angepasst werden.

Somit bilden mehre Vektoren das gleiche Kreuzprodukt mit a, damit kann mathematisch gesehen das Kreuzprodukt nie umgekehrt werden, da es nicht injektiv ist.

Wenn man das Kreuzprodukt umkehren könnte, warum hat dann noch niemand was von einer Kreuzdivision gehört ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Betrachten wir mal die Gleichung

Nun konstruieren wir eine Schar von Vektoren

Für alle diese Vektoren gilt

wegen

D.h. man kann zumindest fragen, wenn

gegeben ist, ob man die Schar

konstruieren kann.

Außerdem könnte man eine Nebenbedingung fordern, z.B. dass der gesuchte Vektor senkrecht auf

stehen soll:

Damit ist die Gleichung evtl. wieder eindeutig.

Daniel_HSE · Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 29

Vielen Dank für eure Antworten,

ich würde das mal zusammenfassend für mein Problem schreiben:

Also der Ansatz ist

mit

ist

und damit aufgelöst:

die Bedingung

bringt mich dazu:

daraus:

ich müsste also ein LGS lösen, das hieraus entsteht:

Stimmt das so?

Das Ergebnis wäre dann eindeutig der Vektor

bzw. daraus der Vektor

?

Könnte, zumindest, wenn man es allgemein berechnen will kompliziert werden. Schon allein die Umstellung nach

,

und

....
Mein Texas Instruments Voyage200 steigt jedenfalls aus : /.

Vielen Dank und viele Grüße!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Der Ansatz

Daniel_HSE · Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 29

Hm,

so ganz klar komme ich damit noch nicht.

1. Wie lässt sich denn das Dimensionsproblem lösen?

2. Ich kann also nicht nach

auflösen. Wie kann ich das denn jetzt lösen? Hast du denn evtl noch einen Ansatz für mich? Ich muss irgendwas noch festlegen um eine Lösung zu erzwingen, oder? Mit der Orthoginalität geht es ja scheinbar nicht? grübelnd

Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Korrektur: Deine Forderung

ist schon sinnvoll, aber nur, wenn du statt des (auch bzgl. der Dimension falschen) Ansatzes

und somit

meinen Ansatz

und somit

forderst.

Daniel_HSE · Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 29

Hello TomS,

danke für deine Hilfe.

Ich muss mich erstmal mit Kugelkoordinaten auseinandersetzen, da das Neuland für mich ist.

Wenn ich ne Frage habe melde ich mich Augenzwinkern

Bis dahin!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Ich fasse mal meine Ideen zusammen.

Gesucht ist

Nun mache ich den Ansatz

Dabei ist die Konstante des ersten Terms unbestimmbar; man kann sie also beliebig wählen (eine Forderung könnte sein, sie Null zu setzen).

Für den zweiten Term mache ich den Ansatz

Dies entspricht einem beliebigen Einheitsvektor, der senkrecht auf dem Ortsvektor steht.

Zunächst gilt

Damit folgt

also

mit

Im folgenden muss man die Identitäten für die Vektorprodukte der Einheitsvektoren in Polarkoordinaten ausnutzen.

Damit gilt

Setzt man dies alles in

ein, so findet man

Damit ist die Kraft bis auf den parallelen Anteil eindeutig bestimmbar, d.h. man erhält

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Pff da wirds ja ziemlich kompliziert

Wie pressure schon geschrieben hat gibt es unendliche viele Lösungen.

Die einzige Sinnhafte Möglichkeit eine eindeutige Bestimmung zu erhalten ist, wenn man die Kraft normal auf den Hebelarm annimmt.

betrachtet man eine Kraft die normal auf den Hebelarm steht in einer Ebene.

Ich nehme die xy Ebene so gilt folgendes.

steht Fxy normal auf rxy so herrscht eine eindeutige Beziehung zwischen den 4 Komponenten nämlich folgende.

Der Beweis ist simple Mathematik sprich winkelgeometrie:

Bei bekannten R Vektor und M Vektor solltest du hiermit nun weiterkommen, wenn du alle 3 dimensionen so auflöst.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Das ist zwar richtig, was wir da schreiben, aber wir stecken die Lösung schon in den Ansatz rein.

Betrachten wir also Orts- und Kraftvektor senkrecht aufeinander in der xy-Ebene; dann ist

mit

Für das Vektorprodukt gilt dann

Das ist einsichtig, denn wir wir haben ja durch den Ansatz mittels xy-Ebene bereits festgelegt, dass

Damit ist

Nun müssen wir nur noch a und b durch die Ortskoordinaten ausdrücken

und erhalten unmittelbar die Komponenten der Kraft

also

Das ist nun lediglich ein Spezialfall der von mir o.g. Formeln, sowie die Darstellung in kartesischen statt in Polarkoordinaten.

Eigentlich ist es ja schon so, dass man ohne weitere Festlegungen keine Invertierung der Gleichung vornehmen kann; unter der Annahme weiterer Bedigungen steckt man aber quasi die Lösung schon in die Annahmen hinein.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Es gibt übrigens eine interessante Sache: Das Vektorprodukt in drei Dimensionen (und nur da existiert es!) ist eng verwand mit den sogenannten (vierdimensionalen) Quaternionen, einer Erweiterung der komplexen Zahlen. Für die Quaternionen existiert allerdings eine eindeutige Invertierung (wie oben diskutiert).

Etwas ähnliches wie das Vektorprodukt funktioniert noch in sieben Dimensionen, was mit der Existenz der (achtdimensionalen) Oktonionen zusammenhängt. Damit sind dann alle derartigen höherdimensionalen Strukturen aufgezählt: neben den reellen Zahlen existieren die "zweidimensionalen" komplexen Zahen (mit der Basis 1, i), die vierdimensionalen Quaternionen sowie die achtdimensionalen Oktonionen.

Andere algebraische Strukturen (sogenannte Divisionsalgebren) mit einer eindeutigen Umkehrbarkeit gibt es nicht.