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Erster Admiral
Anmeldungsdatum: 07.05.2021
Beiträge: 69
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 Erster Admiral Verfasst am: 17. März 2022 11:00 Titel: Kreuzprodukt und Galaxienbildung in 4 Raumdimensionen |
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In diesem Video: https://youtu.be/tmNXKqeUtJM
wird gesagt, dass es bei der Bildung von Planetensystemen und Astronomischen Disks allgemein entscheidend ist, dass wir in einem dreidimensionalen Raum leben, da es zum Beispiel in vier Dimensionen zwei Rotationsebenen geben würde.
Die Rotationsebene wird ja letztendlich durch den Gesamtdrehimpuls festgelegt. Also vermute ich, dass es damit zusammen hängt dass wir nur in 3D ein wohldefiniertes Kreuzprodukt haben um den Drehimpuls zu definieren.
Aber wie kommt man nun zu dem Schluss, dass es in 4D zwei Rotationsebenen geben könnte? Auf welcher Definition des Kreuzprodukts basiert diese Aussage? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. März 2022 18:06 Titel: Re: Kreuzprodukt und Galaxienbildung in 4 Raumdimensionen |
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| Erster Admiral hat Folgendes geschrieben: |
Aber wie kommt man nun zu dem Schluss, dass es in 4D zwei Rotationsebenen geben könnte? Auf welcher Definition des Kreuzprodukts basiert diese Aussage? |
Die Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n Dimensionen ist das äußere Produkt  von zwei Vektoren. Dieses Produkt repräsentiert ein orientiertes Parallelogramm, das von  und  aufgespannt wird. (Das stimmt nicht ganz. Wegen  repräsentieren verschiedene Parallelogramme dasselbe äußere Produkt, z.b. ) )
Der Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems in n Dimensionen ist kein Vektor, sondern ein Bivektor
})
Als Bivektor kann man natürlich den Drehimpuls in drei Dimensionen ebenfalls auffassen. Dies ist aber die erste Besonderheit in drei Dimensionen: Jedem reinen Bivektor der Form kann man umkehrbar eindeutig einen Vektor zuordnen, nämlich den Vektor orthogonal zu und mit dem Flächeninhalt des beschriebenen Parallelogramms als Länge. (Das ist natürlich genau das Kreuzprodukt von und .) Die Summe (1) repräsentiert also im Dreidimensionalen wiederum einen Vektor und damit ebenfalls wieder eine Ebene orthogonal zu diesem Vektor.
Man kann das auch rein algebraisch so auffassen: im Dreidimensionalen ist jede Summe von Bivektoren ein reiner Bivektor, also von der Form . Das liegt daran, daß jede Summe von zwei Bivekoren mindestens vier Vektoren enthält, aber nur drei davon linear unabhängig sein können. Damit kann man sich leicht überlegen, daß eine Summe von zwei Bivektoren ein reiner Bivektor ist. In mehr als drei Dimensionen gilt das nicht mehr, z.B. kann man die Summe
aus 4 linear unabhängigen Vektoren nicht als reinen Bivektor schreiben. Eine Summe von Bivektoren wie (1) repräsentiert dort also im allgemeinen keine Ebene mehr. Ich denke darauf spielt das Video an. Es stimmt aber nicht, daß eine solche Summe genau zwei Ebenen darstellt, z.B. ist
\wedge\vec{e}_2 + \vec{e}_3\wedge(\vec{e}_4 - \vec{e}_2))
Dieser Bivektor läßt sich also auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Ebenen darstellen.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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lh2
Gast
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| lh2 Verfasst am: 17. März 2022 19:17 Titel: |
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Was mich interessieren würde ist folgendes
Wie sieht die Lagrangefunktion eines Teilchens im Zentralfeld mit 4 dimensionalen Kugelkoordinaten aus
-V(r) )
Ich vermute,dass neben
auch
Damit hätte man 2 zyklische Koordinaten und somit auch 2 Drehimpulse die erhalten bleiben
Könnte das sein? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18027
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| TomS Verfasst am: 18. März 2022 06:48 Titel: |
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Neben dem 3- lässt auch der 7-dim. Raum ein Vektorprodukt zu, das Vektoren auf Vektoren abbildet. Es ist jedoch nicht eindeutig, und es erfüllt nicht bestimmte Eigenschaften des Vektorproduktes in drei Dimensionen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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