Warum leben wir in drei Raumdimensionen?

Erster Admiral · Anmeldungsdatum: 07.05.2021 Beiträge: 69

Welche Mathematischen Strukturen die im Fundament der heutigen Physik verankert sind funktionieren nur in 3 Raumdimensionen?

& welche bekannten physikalischen Systeme funktionieren so nur in drei Dimensionen? (z.B. stabile Planetenbahnen?...)

Zum Beispiel ist mir bekannt, dass sich der Curl-Operator nur in 3 Dimensionen vernünftig definieren lässt.

Wie sieht es aus mit dem Spin? Die Algebra der Pauli-Matrizen scheint über die Strukturkonstante

auch sehr stark an 3 Raumdimensionen gebunden zu sein.

Schreibt in diesen Thread gerne alles was euch dazu einfällt und alles was ihr genauer zu meinen Aspekten erklären könnt.

lh2 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18016

Das Argument von lh2 ist ex post. Es erklärt, warum nur in drei Raumdimensionen ein stabiles Planetensystem und damit menschliches Leben möglich ist; auch viele andere Bedingungen hängen von der Zahl der Dimensionen ab. Aber es macht keine Vorhersage; alle bekannten Theorien lassen sich für eine beliebige Zahl von Dimensionen konsistent und sinnvoll formulieren, d.h. die Zahl der Dimensionen folgt nicht aus der Theorie sondern aus der Beobachtung.

Siehe auch https://en.m.wikipedia.org/wiki/Anthropic_principle

Es gibt verschiedene spezielle Eigenschaften der 4-dim. Raumzeit bzw. des 3-dim. Raumes, aber ich wüsste nicht, dass eine davon im Rahmen einer vollständig ausgearbeiteten Theorie tatsächlich Vorhersagekraft hätte:

nur in n = 4 Dim. ist SO(n) nicht halbeinfach; nur hier gilt für die Lorentzgruppe SO(3,1) ~ SU(2) * SU(2); einige der folgenden Punkte hängen damit zusammen
nur in 4 Dim. haben der Feldstärketensor F und der duale Tensor *F den selben Rang; nur in diesem Spezialfall sind selbst-duale Feldstärketensoren möglich
die Konstruktion des Twistor-Raumes funktioniert so nur in 4 Dim.
die ART enthält erst ab 4 Dim. propagierende Gravitationsfelder
nur in 4 Dim. existieren unendlich viele inäquivalente Differenzierbarkeitsstrukturen zu homöomorphen Mannigfaltigkeiten

Erster Admiral · Anmeldungsdatum: 07.05.2021 Beiträge: 69

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18016

Ja.

Evtl. ist die folgende Skizze nicht ausreichend, aber sie erklärt die Idee.

Für kreisförmige Orbits im effektiven Potential

bei Radius r=a muss gelten

Das funktioniert nur für

Es gilt aber für d > 2 für den ersten Term

und damit

Nun muss man sich überlegen, woher dieses Potential stammt. Im einfachsten Fall aus der Poissongleichung

mit einer Greensfunktion - dimensionsunabhängig

sowie den o.g. Lösungen mit n = d-2, also n=1 für d=3.