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w''(x) was ist das?
 
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lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
Beiträge: 464

Beitrag lena18 Verfasst am: 29. Jan 2010 18:57    Titel: w''(x) was ist das? Antworten mit Zitat

hallo miteinander

steck da gerade in einer Festigkeitsaufgabe

w''(x)=-Mb(x)/EI

habe ich eine Platte dicke d, breite b

jeweils am Ende lasse ich Mb wirken und rolle dies zu einem rohr zusammen.
dann der Radius konstant, daraus folgt, Durchbiegung w(x) konstant klar. Mbx ist auch konstant,

dazu habe ich die Beziehung 1=R2Pi/L=w(x)

wieso aber w''(x)=const.??????? und was ist w(x)'' überhaupt??
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 29. Jan 2010 20:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, das w''(x) wird die Schreibweise sein für

"zweite Ableitung von w(x) nach x".

Macht das für dich Sinn?
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
Beiträge: 464

Beitrag lena18 Verfasst am: 29. Jan 2010 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

ja ist klar, die 2. Ableitung

aber warum ist ausgerechnet w''(x)=const. =1 und nicht w(x)=1?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 29. Jan 2010 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Da habe ich noch nicht den ganzen Zusammenhang verstanden. Denn wenn w(x)=1 ist, dann ist natürlich w'(x) = 0 und w''(x)=0.
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
Beiträge: 464

Beitrag lena18 Verfasst am: 30. Jan 2010 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo

Also bei der Aufgabe:

eine Blattfeder mit konstantem Rechteckquerschnitt (Breite B, Dicke D, E, L) soll zu einem Kreisring gebogen werden.

Welcher Art muss die Belastung sein?

Mein Ansatz:

Der Radius der Biegelinie ist konstant, dadurch muss auch das Mbx konstant sein. auch wx=const.

const. heisst doch gleich 1 oder nicht??
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 30. Jan 2010 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

mal ganz allgemein:

eine Funktion f(t) ist dann konstant, wenn ihr Funktionswert nicht vom Wert der Variablen t abhängt. Zum Beispiel:

Die Funktion f(t) habe an der Stelle t=2 den Wert f(2) = 3,
sie habe an der Stelle t=4 den Wert f(4) = 3,
und sie habe auch an allen anderen Stellen t= "irgendwas anderes" den Wert f(t) = 3.

Dann ist die Funktion f(t) = const., denn sie hat immer den gleichen Funktionswert, egal an welcher Stelle man schaut.

Wenn man diese Funktion f(t) in einem f-t-Diagramm aufmalt, dann ist das also eine horizontale Gerade.

Eine konstante Funktion muss also durchaus nicht den Wert 1 haben, die horizontale Gerade kann auch auf jeder anderen Höhe verlaufen, und die Funktion ist dann immer noch konstant.

-----------------------------------

In deinem konkreten Anwendungsbeispiel bin ich einverstanden, dass das Blech überall den gleichen Krümmungsradius hat.

Und ich bin einverstanden, wenn du daraus folgerst, dass deshalb überall (an jeder Stelle x entlang des Bleches) die Krümmung gleich groß sein muss.

Was heißt das aber nun konkret mathematisch?

das w(x) ist ja nicht die Krümmung, sondern die Auslenkung des Bleches, wenn ich das richtig verstehe.

Die Krümmung des Bleches ist dann die zweite Ableitung dieser Funktion w(x), also w''(x). Diese Krümmung ist dann in der Tat konstant, also nicht von x abhängig.


Das würde ich als Ausgangspunkt nehmen, um damit in die Gleichungen zu gehen, die du hast, und um damit auf das Verhalten der gesuchten Funktionen (insbesondere auf den Verlauf der Funktion M(x) für das Biegemoment) zu folgern.

------

Die Funktion w(x) wird in diesem Zusammenhang dann zum Beispiel sicher nicht konstant sein, denn eine Kurve mit konstanter Krümmung ist ja keine horizontale Gerade.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 30. Jan 2010 20:35    Titel: Antworten mit Zitat

w''(x)=-Mb(x)/EI

da trifft nun wieder der Satz zu du sollst ans hooksche Gesetz denken Augenzwinkern

Mb ..... Biegemoment
I.... Flächenträgheitsmoment
E.... Elastizitätsmodul

Wenn du einen Körper biegst zum Beispiel die Blattfeder. Dann treten zwei Erscheinungen auf. Ein Teil der BlattFeder wird auf druck belastet der andere Teil auf Zug. In der Mitte (bei Symmetrie) verläuft die neutrale Faser die unbelastet bleibt. Sie behält die ursprungslänge alle anderen Längen werden gezogen oder gestaucht.
Die größten Kräfte treten in den 2 Aussenfasern auf, in den Kanten der Blattfeder . Dort herrscht dann auch klarerweise die größte Biegespannung.

Bild:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/4/45/Kragtraeger.png

falsch:



Die Biegespannung äußert sich je nach betrachter Aussenfaser unterschiedlich einmal in zugspannung einmal in Druckspannung.


Das hooksche Gesetz:





setzen wir hier die Biegespannung ein so erhalten wir die Dehnung der Biegespannung die sich je nach Faser in Zugdehung oder Druckdehnung äußert.



***********************

falsch siehe unten: w(x)'' ist also die Dehnung

***********************

Was ich allerdings nicht begreife warum du glaubst das die Durchbiegung konstant sein soll..

w(x)=const ?

Wenn ich einen eingespannten horizontalen Balken habe und den Biege ich dann gibt mir die Durchbiegung an wie weit die Punkte sich von dieser horizontalen Linie verschoben haben. Am Ende des Balkens hast du die größte Durchbiegung.

Was konstant ist ist die Dehnung was einleuchtend ist.


Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 01. Feb 2010 15:31, insgesamt einmal bearbeitet
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
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Beitrag lena18 Verfasst am: 31. Jan 2010 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:
w''(x)=-Mb(x)/EI


Klar

Zitat:



Jetzt kenn ich mich gar nicht mehr aus, wo ist denn das z geblieben?



wobei


Zitat:


nicht etwa:
??

***********************

Zitat:
w(x)'' ist also die Dehnung

ok
also
w(x)''=Mb(x)/EI=1/R=2Pi/L

***********************
Zitat:

Was ich allerdings nicht begreife warum du glaubst das die Durchbiegung konstant sein soll..


ok, ich habe diese Formulierung von Markus auch im Buch so verstanden, wie er schreibt:

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Die Krümmung des Bleches ist dann die zweite Ableitung dieser Funktion w(x), also w''(x). Diese Krümmung ist dann in der Tat konstant, also nicht von x abhängig.



jetzt kenne ich mich überhaupt nicht mehr aus...

Was ist jetzt w" -> soll ich nun künftig raten? Kann ja nicht Dehnung und Krümmung der Kurve sein.

Verstanden hätte ich das folgend wie in meiner Skizze.
Könntest du das event. ändern falls was falsch ist?

so hätte ich es verstanden...

Danke danke vielmals

Lena



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dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 31. Jan 2010 17:25    Titel: Antworten mit Zitat

w''(x) ist die Krümmung der Kurve w(x). Das ist die mathematische Art und Weise, zu sagen, was das w''(x) ist, denn w''(x) ist die zweite Ableitung von w nach x.

w''(x) ist die Dehnung. Das ist der Fachbegriff in der Technischen Mechanik.

Also sind beide Formulierungen richtig smile Die mathematische Formulierungsweise mag vielleicht hilfreich sein, um zu verstehen, warum das w''(x) hier konstant ist. Die treffendeste Bezeichnung für das w''(x) ist hier aber sicher "Dehnung", wie von VeryApe gesagt smile
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. Feb 2010 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry Lisa du hast natürlich Recht ich wollte dir eine Beschreibung aus der technischen Mechanik geben anstatt eine mathematische wie Markus.
Aber aufgrund eines Formelfehlers wie du erkannt hast, hab ich dir das falsch erklärt.

w(x)'' = die Steigung der Dehnung im Querschnitt.

bzw. wenn E der Elastizitätsmodul konstant ist.

w(x)" proportional der Steigung der Spannung im Querschnitt .

wenn du einen Körper mit konstanten Querschnitt betrachtest dann kannsd du aber an der Dehnung in der Aussenfasser erkennen ob die Steigung der Dehnung über alle Schnittfläche einen gemeinsamen Wert hat.

wie bei deiner Blattfeder, die du homogen zu einen Kreisring dehnst.

Alles geht davon aus das die Steigung der Dehnung in einer Schnittfläche konstant ist, weil im Schnitt ein Biegemoment wirkt und das ist im Endeffekt nichts anderes als ein Drehmoment, das eine Verdrehung um einen Punkt bewirkt , daraus folgert man das die Dehnung um einen konstanten Faktor mit dem Radius vom Drehpunkt zunimmt.

Sie kann aber durchaus von Schnitt zu Schnitt variieren. Im Schnitt ist sie jedoch konstant. So ist das gemeint.

Alles weitere lässt sich dann mit dem hookschen Gesetz erklären.
sprich Flächenträgheitsmoment, Widerstandsmoment.

Aber hier dürfte wohl die mathematische Erklärung mit der Krümmung besser vorstellbar sein.
VeryApe



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Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. Feb 2010 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

lol jetzt mußt ich nochmal drüber nachdenken, ob ich nicht nochmals Mist erzählt habe. aber nein beim zweiten Anlauf wars eh richtig.

Skizze.



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Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 01. Feb 2010 22:59, insgesamt einmal bearbeitet
VeryApe



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Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. Feb 2010 22:11    Titel: Antworten mit Zitat

Bild 1) zeigt den freigemachten Teil dx in 2 weitere zerlegt.

Bild 2) wenn sich die Teile ineinander drehen.

*******************************

D........Drehpunkt
alpha.... Verdrehwinkel
KD...... Steigung der Drehung

*******************************

gestreckte Länge und Zugkraft im Abstand r vom Drehpunkt:





*******************************

Alle Kräfte , gestauchte und gestreckte Längen weisen einen Versatz von alpha in der Skizze auf.
Damit man sie nur in x - Richtung betrachten kann, muß man zunächst beweisen, das der Winkel alpha im Schnitteil gegen 0 strebt.

*******************************
Winkel alpha -> 0

*******************************



r.......endlicher Wert
ds(r) -> 0



********************************
Daraus folgt:

r wird zu y

Alle Kräfte wirken in x Richtung

Alle Längen dürfen in x Richtung betrachtet werden

*********************************
VeryApe



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Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. Feb 2010 22:26    Titel: Antworten mit Zitat

****************************************
Die Steigung der Dehnung :

****************************************



(bei Zug positiv weil y negativ, bei Druck negativ weil y positiv)

Ob die Form der Gleichung negativ oder positiv wird hängt vor allem ab ob man die positive y Koordinate in Druck oder in Zugrichtung wählt.





dx ist eine Konstante im Schnittteil nämlich die Breite des Schnitts.
genauso wie KD und die Zahl 2. Daraus folgt:



**************************************



Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 03. Feb 2010 10:56, insgesamt 4-mal bearbeitet
VeryApe



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Beitrag VeryApe Verfasst am: 01. Feb 2010 22:56    Titel: Antworten mit Zitat

**********************************
Bestimmung des Drehpunktes

**********************************

Das Biegemoment ist nichts anderes als ein Drehmoment das durch Kräfte erzeugt wird für die gilt: Summe aller F=0.

Genauso müssen die Kräfte aufgrund des hookschen Gesetzes ein Gegendrehmoment erzeugen und sich in Summe aller F aufheben.

Das verlangt die Statik (gilt zwar auch in der Dynamik bei Ingenieuren aber egal)













*********************************


*********************************

Ist der Querschnitt aus einheitlichen Material so gilt:





Die Summe aller y * dA hebt sich im Flächenschwerpunkt auf, somit hebt sich auch diese Summe aller -y * dA im Flächenschwerpunkt auf.

Somit gilt bei einheitlichen Werkstoff sprich EModul liegt der Drehpunkt im Flächenschwerpunkt.

**********************************
Die neutrale Faser geht durch den Flächenschwerpunkt

**********************************

Wenn der EModul nicht konstant ist dann geht die neutrale Faser nicht unbedingt durch den Flächenschwerpunkt.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 02. Feb 2010 00:55    Titel: Antworten mit Zitat

***********************
Für konstanten E Modul gilt:

Der Drehpunkt bzw die neutrale Faser liegt im Flächenschwerpunkt.



- ..... bedeutet Druckspannung
+ ..... bedeutet Zugspannung



- ..... bedeutet Druckkraft
+ ..... bedeutet Zugkraft





Alle Drehmomente sind also negativ und erzeugen Mb das ich in gleicher Drehrichtung angenommen haben somit haben wir diese Richtung als minus festgelegt und es gilt (siehe Skizze):





Mit Koordinatenursprung von x und y im Schwerpunkt ist, Summe aller y² * dA als Flächenträgheitsmoment bestimmt worden.






****************************************


****************************************




****************************************


****************************************

die maximale Spannung im Schnitt ergibt sich daher in dem Punkt der den meisten y Abstand zum Flächenschwerpunkt hat.
Das ist der Abstand zur größeren äußeren Randfaser, genannt ey.

*****************************************


- ..... bedeutet Druckspannung
+ ..... bedeutet Zugspannung

ey ist mit Vorzeichen einzusetzen siehe Koordinatenursprung.

die maximale Spannung aller Schnitte wird als Biegespannung betitelt. Sie kann im Zug oder Druck bereich liegen, je nach Vorzeichen von ey.
Sie muß aber nicht unbedingt im Schnitt von Mbmax liegen, kommt auf den Querschnitt drauf an.
Bei einheitlichen Querschnitt liegt sie natürlich im Schnitt von Mbmax


*******************************************
MFG



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lena18



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Beitrag lena18 Verfasst am: 02. Feb 2010 19:09    Titel: Antworten mit Zitat

hallo

danke für deine ausführliche Erklärung. Danke vieelllmals smile

also ich bin nur noch etwas durcheinander und zwar weiß ich einfach nicht mehr wie ich zum Teufel noch mal auf w''(x)=1/R=2Pi/L komme/gekommen bin?? unglücklich

danke vielmals

lena
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
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Beitrag VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2010 11:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin dir noch eine weitere Ableitung schuldig geblieben, nämlich wie man noch von der Steigung der Dehnung auf den Krümmungsradius kommt.
w(x)'' ist nicht immer die Krümmung das gilt nur in Spezialfällen.
und in deinem Fall sicher nicht.

************************************
Krümmungsradius mit Steigung der Dehnung ermitteln

************************************

Wenn man in die 1. Skizze schaut Bild 1, sieht man die Teile wie sie ineinander drehen. Dabei sieht man die Radien der 2 Aussenfasern treffen sich in einem Punkt. (Der Schnittpunkt ganz oben)
Die Radien von diesen Punkt sind die Krümmungsradien. Ich will dir nun zeigen wie man die Krümmungsradien über r berechnet.

Dazu benötigen wir die vorher ermittelten Formel:

************************************************








************************************************
Zur Erinnerung weil alpha -> 0 geht ist r=y.

************************************************

Im Bild erkennt man folgende Beziehung:

rho(r).... der Krümmungsradius über r
ds(r)....... die gestreckte Länge bei r








***********************************************
Mit:






***********************************************





************************************************
Mit:



************************************************





************************************************
Der Krümmungsradius über y sprich r



************************************************

Krümmungsradius der neutralen Faser (Drehpunkt) -> y=0 r=0






************************************************


Zuletzt bearbeitet von VeryApe am 03. Feb 2010 18:17, insgesamt 4-mal bearbeitet
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2010 12:00    Titel: Antworten mit Zitat

Blättern wir im Mathematikbuch so erhalten wir für die Funktion f(x) die Formel für rho (x) durch:





Damit wir das y'' gleichsetzen dürfen müssen wir den Term:



vernachlässigen

************************************
Steigung der Durchbiegekurve:



alpha hier ...... Steigungswinkel der Durchbiegekurve

************************************

Wenn sich das Ganze nicht viel durchbiegt können wir es vernachlässigen.

alpha masimal zum Beispiel 15 Grad:

tan alpha=0,268

-> 1,1096

*****************************************

Je größer die Steigungswinkel in der Durchbiegekurve umso größer die Steigung der Durchbiegekurve und je ungenauer wird:



*******************************************
Bei deinen Fall geht das gar nicht da erreichst du Steigungen bis fast 90 Grad wenn du einen Viertelkreis betrachtest.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2010 12:13    Titel: Antworten mit Zitat

Also merk dir folgendes:

*****************************************
Die Steigung der Dehnung im Schnitt ist.



*****************************************

Der Krümmungsradius der neutralen Faser im Schnitt:



******************************************





Das Koordinatensystem der Biegemoment ermittlung liegt in der Durchbiegekurve in Bogenlänge vor.



w(x)'' ist die 2. Ableitung der Durchbiegekurve jedoch nur in bedingten Fällen gleich der Krümmung bzw des 1/Krümmungsradius.
Darf also nur bedingt mit der Steigung der Dehnung gleichgesetzt werden.


die Krümmung des Kreises 1/r ist auch nicht die 2 Ableitung der Kreisfunktion sondern ergibt sich aus.



Vielleicht erklärst du mal genauer was du überhaupt berechnen willsd.

Was du vielleicht daraus erkennen kannsd ist das w(x)''=Mb/(EI)

eine ziemlich starke Vereinfachung ist von dessen was sich tatsächlich

abspielt. Man vernachlässtig den Term der Steigung man vernachlässigt

das das Koordinatensystem der Biegemoment ermittlung in Bogenform darliegt.

Gilt also wirklich nur für sehr starre wenig gebogene Körper.

Es stimmt aber auf jedenfall das du die Krümmung der Kreises gleichsetzt mit der Steigung der Dehnung.
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
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Beitrag lena18 Verfasst am: 03. Feb 2010 13:24    Titel: Antworten mit Zitat

hallo

ok, ich habe es zwar versucht, aber ich verstehe nicht einmal was nun w(x) bzw. w"(x) wirklich ist.

Bevor ich das nicht kapiere, verstehe ich das was Veryape da alles gerechnet hat auch nicht, ehrlich gesagt ist mir das alles einfach viel zu kompliziert . Unter anderem hat Veryape die Formel für die Maximalspannung MB.z/I hergeleitet. Die habe ich aber schon und ich muss sie lediglich anwenden können, nicht herleiten. (zumindest noch nicht)

Ich denke, ich weiß zwar ungefähr was
w(x) und w"(x) ist, nur weiß ich nicht wie ich die Dinge dann umsetzen sollte, damit ich sie auch in meiner REchnung anwenden kann. Und ich brauch das jetzt auch, weil ich es für die Schule können muss.

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
w''(x) ist die Krümmung der Kurve w(x). Das ist die mathematische Art und Weise, zu sagen, was das w''(x) ist, denn w''(x) ist die zweite Ableitung von w nach x.


ok, und sie ist in meinem Fall auch konstant. Heisst das jetzt, dass bei einem Schnitt x1 jetzt die Krümmung/Dehnung die gleiche ist wie im Schnitt x2, x3 etc. entlang des Bleches?

w(x) gibt den Abstand der Biegelinie von der Balkenachse an.

Könnte mir das jemand mal in einer Skizze wie ich es gemacht habe verdeutlichen? denn ich weiß nicht einmal ob die Krümmung der Biegelinie (roter Pfeil in meiner Skizze) von dem Punkt aus gemessen wird wie eingezeichnet.

Jetzt habe ich ein paar Definitionen was was ist. was heißt das jetzt für mich, ich kanns einfach nicht anwenden, dazu benötige ich ein Beispiel.

Die Frage war, welcher Art muss die Belastung sein, also wie komme ich auf folgenden Ausdruck

w"(x)=1/R=2Pi/L=-MB/EI
damit MB=(-)2PiEI/L

verstehe ich nicht..

lena
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 03. Feb 2010 13:57    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
w''(x) ist die Krümmung der Kurve w(x). Das ist die mathematische Art und Weise, zu sagen, was das w''(x) ist, denn w''(x) ist die zweite Ableitung von w nach x.


Dieser Satz stimmt nicht.

Er müsste lauten:

w''(x) ist die Krümmung der Kurve w(x), wenn w(x)'<<<<1.

nur bedingt und gerade für deine Kreisfunktion stimmt es nicht.

genauso wenig wie für deinen Fall dieses stimmt.

w''(x)=MB/(EI)..... das stimmt alles nur bedingt. wenn w(x)'<<<<<1.


hm, okay ich verstehe das das alles schwer zu kapieren ist.

w(x) wär in deiner Skizze die Kreisfunktion.



Die Krümmung wär dann:





Differenzieren kannsd du ja schon oder?

Probier mal die 2 Ableitung von der Kreisfunktion zu ermitteln und schau was rauskommt. sicher nicht 1/r. weil die 2. Ableitung nicht die Krümmung ist.

Die Krümmung 1/r darfsd du gleich der Steigung der Dehnung K Epsilon setzen.
also MB/EI.

in jedem Schnitt ist die Steigung der Dehnung konstant weil die Krümmung konstant ist.

vielleicht sollte das wer anderer erklären.
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
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Beitrag lena18 Verfasst am: 03. Feb 2010 14:23    Titel: Antworten mit Zitat

ok, dann haben wir schon wieder ein Buch, indem alles wiederum falsch erklärt wird und dann zufälligerweise wieder richtig gerechnet wird ohne Erklärung.

Denn deine Formel für die Krümmung macht so Sinn, aber in dem Buch findest du nichts das gleich aussieht wie deine Formel...

Zitat aus dem Buch:

Den RAdius, der sich einstellenden Kurvenform beschreibt aber w" (die zweite Ableitung nach dem Ort x). Für den gesamten Träger gilt somit in Anhängigkeit von I und E

w"(x)=-MB(x)/EI(x)

w(x)=integration von der Integration w"(x)

Danke VeryApe
(Ich werde mir das Ganze mit deiner Herleitung nochmals genauer ansehen, wenn ich mit diesem Thema ein wenig vertrauter bin)

smile

PS: Ich heiße nicht Lisa, leider kann ich das nicht mechanisch, mathematisch erklären smile

Lena
lena18



Anmeldungsdatum: 11.10.2009
Beiträge: 464

Beitrag lena18 Verfasst am: 03. Feb 2010 20:42    Titel: Antworten mit Zitat

hallo

wo ist denn der letzte Beitrag von VeryApe hin oder bin ich mittlerweile schon so blöd und bilde mir das ein? (die mit Skizze)

lena
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