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Nachricht |
Thorsten777
Gast
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 Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 10:18 Titel: Linienintegral mit Kraftfeld |
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Hallo,
Es soll die Arbeit berechnet werden, die von einem Teilchen verrichtet wird, das sich auf einer Spirale entlang einer Spulenwindung der Höhe h im Kraftfeld bewegt.
 =\begin{pmatrix} cos(t) \\ sin(t) \\ \frac{ht}{2\pi } \end{pmatrix} , t \in \left[0,2\pi \right] )
= \frac{1}{r^{2} } \ \vec{e} (r))
=\frac{\vec{r} }{r} )
Meine Frage ist nun, ob man diese Arbeit über dieses Integral direkt berechnen kann indem man C: ableitet und in den Grenzen 0 und 2pi integriert?
 \cdot d\vec{r} ) |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 10:34 Titel: |
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Hi,
leider ist mir nicht wirklich klar was du damit meinst:
| Zitat: | | Meine Frage ist nun, ob man diese Arbeit über dieses Integral direkt berechnen kann indem man C: ableitet und in den Grenzen 0 und 2pi integriert? |
Dennoch will ich dir hier zwei mögliche Lösungswege andeuten:
1.) Du zeigst, dass dein Kraftfeld konservativ ist und berechnest aus dem Kraftfeld das Potential. Aus diesem kannst du dann die Arbeit berechnen, indem du die Potentiale an den Grenzen bestimmst.
2.) Du kannst das Wegintegral "normal" berechnen. Dazu musst du dein Wegintegral auf ein entsprechendes skalares Integral über t zurückführen und anschließend dein Integral mit deinen beiden Grenzen entsprechend auswerten. |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 11:13 Titel: |
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gut, dann möchte ich erst mal prüfen ob das Kraftfeld konservativ ist:
also
= 0)
wie man die Rotation bei F(x,y,z) berechnet weiß ich, aber wie macht man das bei F(r)? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 11:41 Titel: |
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r lässt sich doch als Funktion von x,y und z schreiben, also kannst du auch das Vektorfeld als Funktion von x,y und z darstellen.
dementsprechend
Kannst du nun zeigen, dass die Rotation verschwindet ? |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 12:47 Titel: |
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was ist denn nun
)
 =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) ? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 13:09 Titel: |
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Nein, du hast ja gegeben:
= \frac{\vec{r}}{r^{3} } )
Wenn du nun r jeweils ersetzt, erhältst du:
 = \frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ) |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 17:05 Titel: |
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gut also für rot F habe ich 0 errechnet, also ist das Kraftfeld konservativ.
wie kann ich nun das Potential berechnen? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 17:16 Titel: |
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Das skalare Potentialfeld ) ergibt sich wie folgt und ist bis auf eine Integrationskonstante, die meist Null gesetzt wird, bestimmbar:
D.h. die x,y bzw. z-Komponenten des Kraftfeldes sind die partiellen Ableitungen, des Potentials nach x,y bzw. z. Also musst du die x-Komponente des Kraftfeldes über x integrieren, die y-Komponente über y usw. und dann aus den drei erhalten Funktionen, das Potential zusammensetzen (sofern die sich unterscheiden). |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 17:53 Titel: |
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so ich hab nun für alle 3 Komponenten
 rausbekommen
wie kann ich nun die Arbeit berechen? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 17:55 Titel: |
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Ok gut, jetzt noch das Minus weg, wegen der Konvention bzw. Definition des Potentials. Du hast nun also anders geschrieben, dein Potential:
 = \frac{1}{r})
Die Arbeit ergibt sich nun als die Differenz des Potentials vom Anfangs bzw. Endpunkts. |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 18:56 Titel: |
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Wie komme ich nun mit dem Potential und der Kurve zu der Arbeit.
Alos, ich habe ja die Kurve C: mit den Grenzen 0 und 2pi, aber wie berechnet sich das mit dem Potential? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 19:00 Titel: |
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Indem du anhand der Gleichung der Kurve identifizierst, was die x,y bzw. z-Werte bei 0 und bei 2 Pi sind und diese dann in dein Potential einsetzt. |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 20:15 Titel: |
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gut, dann bekomme ich für
t=0: r=1
t=2pi: r= 
damit habe ich aber noch nicht die Arbeit |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. März 2010 20:30 Titel: |
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 - \Phi(1+h^2) ) |
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Thorsten777
Gast
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| Thorsten777 Verfasst am: 10. März 2010 20:59 Titel: |
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gut, danke
jetzt würde ich auch noch gern wissen wie man die Arbeit das über das Wegintegral berechnet
also wie wird ein Wegintegral auf ein entsprechendes skalares Integral über t zurückgeführt? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. März 2010 09:26 Titel: |
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Durch partielles Differenzieren deiner parametrisierten Kurve C nach dem Parameter t, kannst du  wie folgt ausdrücken:
Wie schon beim anderen Lösungsweg kannst du weiter in der Gleichung der Kurve C x,y und z (bzw. eigentlich brauchst du nur |r|) identifizieren und mit diesem dein Kraftfeld auch in Abhängig von t darstellen.
Damit kannst du dann dein Wegintegral in ein skalares Integral über t überführen und musst dieses nur noch von 0 bis  integieren. Als Ergebnis sollte dann letztlich das selbe herauskommen. |
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