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Nachricht |
Angie2
Gast
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 Angie2 Verfasst am: 14. Jan 2014 17:46 Titel: Wegintegral Kraftfeld |
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Hey
Wäre toll, wenn jemand meine Lösung anschauen könnte.
Ich habe eine Aufgabe gerechnet, bei der ein Kraftfeld gegeben ist
 = \frac{1}{x^2+y^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} )
Nun soll ich das Wegintegral  \, \dd \vec{r} ) entlang eines geschlossenen Weges  berechnen, wobei der Weg einem Kreis in der x-y - Ebene um den Koordinatenursprung entspricht. Radius wird allgemein mit R angenommen.
Für den Weg des Kreises habe ich folgende Parametrisierung gewählt:
 = \begin{pmatrix} R * cos(t) \\ R * sin(t) \end{pmatrix} )
Damit gilt für mein Wegintegral ja folgendes:
) * \frac{\dd \gamma(t)}{\dd t} \, \dd t )
Also habe ich jetzt:
) = \begin{pmatrix} \frac{-R * sin(t)}{R^2 * cos(t)^2 + R^2*sin(t)^2} \\ \frac{R * cos(t)}{R^2 * cos(t)^2 + R^2 * sin(t)^2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-sin(t)}{R} \\ \frac{cos(t)}{R} \end{pmatrix})
und
}{\dd t} = \begin{pmatrix} -R * sin(t) \\ R * cos(t) \end{pmatrix}
<br />
)
Für mein Wegintegral ergibt sich also folgendes:
}{R} \\ \frac{cos(t)}{R} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -R * sin(t) \\ R * cos(t) \end{pmatrix} \, \dd t )
Das Integral läuft von 0 bis 2PI (Sorry, bekomme das 2PI oben beim Integral nicht hin)
^2 + cos(t)^2 \, \dd t = \int_a^b \! 1 \, \dd t )
Normalerweise freue ich mich ja immer, wenn am Ende ein schönes Ergebnis rauskommt. Aber ob das hier stimmt?
Mit dem Integral von 0 bis 2Pi würde für die Arbeit rauskommen:
W = 2 * Pi
Kann das hier stimmen?
Habe ich richtig gerechnet, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke an jeden, der sich die Mühe macht, mir zu helfen.
Gruß
Angie  |
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Sirius
Anmeldungsdatum: 22.11.2008
Beiträge: 119
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| Sirius Verfasst am: 14. Jan 2014 20:30 Titel: |
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Hi,
das Ergebnis stimmt vom Vorzeichen her nicht (wenn es eine Arbeit sein soll, die du ausrechnest). Dass das Vorzeichen nicht stimmt, kannst du dir schnell klar machen, wenn du die Kraft in Polarkoordinaten schreibst:
=\frac{1}{r^2}\begin{pmatrix} -r\sin\varphi \\ r\cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix}=\frac{\vec{e}_\varphi}{r})
Bei einer Bewegung auf einem Kreis gegen den Uhrzeigersinn bewegst du dich also immer in Richtung der Kraft (r=R), d.h. es liegt quasi eine beschleunigte Bewegung vor und du selbst musst keine Arbeit verrichten.
Da sich der Betrag der Kraft während der Kreisumlaufs nicht ändert, kannst du gleich schreiben:
Zuletzt bearbeitet von Sirius am 15. Jan 2014 00:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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erkü
Anmeldungsdatum: 23.03.2008
Beiträge: 1414
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| erkü Verfasst am: 14. Jan 2014 20:35 Titel: Re: Wegintegral Kraftfeld |
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| Angie2 hat Folgendes geschrieben: | Hey
Wäre toll, wenn jemand meine Lösung anschauen könnte.
...
Mit dem Integral von 0 bis 2Pi würde für die Arbeit rauskommen:
W = 2 * Pi
Kann das hier stimmen?
Habe ich richtig gerechnet, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke an jeden, der sich die Mühe macht, mir zu helfen.
Gruß
Angie |
  
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Das Drehmoment ist der Moment, wo es zu drehen anfängt. :punk: |
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Angie2
Gast
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| Angie2 Verfasst am: 15. Jan 2014 21:12 Titel: |
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Danke für Eure Hilfe
Ich werde da jetzt nochmal drüberschauen, wegen dem Vorzeichen.
Eine Frage hätte ich noch:
Ich habe bei diesem Beispiel auch die Rotation von  berechnet, und die verschwindet, ist also 0.
Wie kann ich mir das jetzt vorstellen?
Die Rotation ist 0, aber das Integral entlang meines geschlossenen Weges ist nicht null. Wieso ist das so? |
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 15. Jan 2014 23:08 Titel: |
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Dann ist Definitionsgebiet nicht sternenförmig (sehr wahrscheinlich). |
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Angie2
Gast
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| Angie2 Verfasst am: 15. Jan 2014 23:26 Titel: |
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Hmm, ... das verstehe ich jetzt nicht ganz.
Hat es vielleicht etwas mit konservativen Kräften zu tun? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 15. Jan 2014 23:31 Titel: |
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| Angie2 hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe bei diesem Beispiel auch die Rotation von berechnet, und die verschwindet, ist also 0.
Wie kann ich mir das jetzt vorstellen?
Die Rotation ist 0, aber das Integral entlang meines geschlossenen Weges ist nicht null. Wieso ist das so? |
Die Rotation Deines Vektorfeldes ist nicht 0.
Das ist (vllt) ein wenig subtil:
Wenn x und y nicht beide 0 sind, dann ist die Rotation in der Tat 0. Wenn x=y=0, dann divergiert dein Vektorfeld aber. Du erhaelst also noch einen Beitrag der proportional zu }(\vec r)) ist. Wenn mich meine Kopfrechnenfähigkeiten gerade nicht im Stich lassen ergibt das sowas wie
}(\vec r)) . Wenn man das ordentlich macht, sollte dann dasselbe rauskommen wie vorher. |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 15. Jan 2014 23:36 Titel: |
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Ja, es hat im weiteren Sinne etwas mit konservativen Kräften zu tun.
Die Rotation verschwindet eben nur in den Punkten ausserhalb des Ursprungs, d.h. auf  , um diese Punkte gibt es keine Wirbel, nur um den Ursprung herum.
Im Ursprung 0 ist das Feld jedoch aufgrund des Faktors 1/r^2 nicht definiert und man kann die Rotation für diesen Punkt auch nicht berechnen.
Der Definitionsbereich ist damit auch, wie Namensloser gesagt hat, nicht Sternförmig. Deswegen existiert trotz im Definitionsbereich überall verschwindender Rotation kein Potential (bei Interesse siehe Lemma von Poincare) wie deine Rechnung zeigt. |
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