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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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 chrisi Verfasst am: 10. Jun 2007 13:16 Titel: Berechnung der Arbeit in einem Kraftfeld / Kurvenintegral |
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Also ich habe mich jetzt schon recht lang durchs Internet gegooglet auf der Suche nach einer Antwort, aber ich steige da nicht so ganz durch.
Ich habe ein Kraftfeld F=(3x²+2y, -9yz, 8xz²) gegeben und soll nun die Arbeit W vom Punkt (0,0,0) nach (1,1,1) berechnen. Ich komme aber mit diesem Integral nicht klar...
also meine Grenzen sind ja die zwei Punkte aber wie mach ich das jetzt mit dem Kraftfeld? Kann mir jm beim Ansatz helfen oder die Thematik erklären? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 10. Jun 2007 16:30 Titel: |
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Hallo!
Normalerweise kann man das machen, indem man die kurve parametrisiert. Du kannst z. B. einen Parameter t nehmen (muss nicht unbedingt für "Zeit" stehen jetzt, mir fällt nur kein besserer Buchstabe ein im Moment...) und dann sagen:
 = \begin{pmatrix}t\\t\\t\end{pmatrix})
und dann das Integral ausrechnen:
\,\mathrm{d}\vec{x} = \int\limits_0^1\vec{F}\cdot \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \int\limits_0^1\begin{pmatrix}3x^2(t)+2y(t)\\-9y(t)\cdot z(t)\\8x(t)\cdot z^2(t)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\mathrm{d}t=\ldots)
Dabei musst Du noch x, y und z jeweils mit t ersetzen, weil ja x(t)=t, y(t)=t und z(t)=t ist.
Gruß
Marco |
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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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| chrisi Verfasst am: 10. Jun 2007 18:46 Titel: |
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Ehrlich gesagt verstehe ich das immer noch nicht so ganz. Wie geht das dann weiter? Ich hab einfach mal irgendwas gemacht obwohl ich ehrlich gesagt keine Ahnung habe was ich gemacht habe...
+2(t) \\ -9y(t)z(t) \\ 8x(t)z^2(t) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} t \\ t \\ t \end{pmatrix}~dt)
Aber was ist das für ein Ergebnis? Ich hab bestimmt alles falsch gemacht, oder? Bekomme ich da überhaupt einen Vektor als Ergebnis raus?
Und hier sind die Punkte ja recht einfach, also P1 = (0,0,0) und P2 = (1,1,1), ich muss das auch noch berechnen indem ich von P1 nach (1,0,0) und dann nach P2 gehe... |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 10. Jun 2007 18:53 Titel: |
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Nein, Du musst erst mal x(t) etc durch die entsprechende Abhängigkeit von t ersetzen, was hier besonders einfach ist, weil ich die Funktionen ja alle mit
x(t) = t
y(t) = t
z(t) = t
festgelegt habe. Dann steht da:
+2y(t)\\-9y(t)\cdot z(t)\\8x(t)\cdot z^2(t)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\mathrm{d}t = \int\limits_0^1\begin{pmatrix}3t^2+2t\\-9t^2\\ 8t^3\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\,\mathrm{d}t)
Da steht aber jetzt ein Skalarprodukt aus zwei Vektoren. Das musst Du zuerst ausrechnen, wenn Du das Integral berechnen möchtest.
Gruß
Marco |
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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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| chrisi Verfasst am: 10. Jun 2007 19:16 Titel: |
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Ok... hab das mal versucht
~dt = \int_{0}^{1}~(8t^3-6t^2+2t)~dt)
Ist diese Rechnung so richtig? Wenn ja, dann weiß ich aber ehrlich gesagt trotzdem nicht, wie das mit P(1,0,0) gehen soll...
Und warum kann man eigentlich diese Parametrisierung so wählen, das x(t)=t etc.? Das kann man sich ja bestimmt nicht immer so einfach machen, oder?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe. |
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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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| chrisi Verfasst am: 10. Jun 2007 19:19 Titel: |
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Hatte grade eine Idee...
für den Punkt 1,0,0, müsste ich da die Parametrisierung x(t)=t, y(t)=0 und z(t)=0 wählen? Oder bin ich wieder auf dem Holzweg? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 10. Jun 2007 19:38 Titel: |
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| chrisi hat Folgendes geschrieben: | | Ist diese Rechnung so richtig? |
Ich meine: ja! Ich habe das selbe Ergebnis.
| chrisi hat Folgendes geschrieben: | | Und warum kann man eigentlich diese Parametrisierung so wählen, das x(t)=t etc.? Das kann man sich ja bestimmt nicht immer so einfach machen, oder? |
Die Parametrisierung muss immer so sein, dass für jedes t in diesem Intervall ein Punkt auf der entsprechenden Kurve raus kommt. Kann sein, dass es noch zusätzliche Einschränkungen gibt, wie z. B. dass die Funktionen auf dem Intervall auch überall definiert sein müssen und dass es zumindest günstig ist, wenn sie monoton sind und so, aber das müsste ich mir mal noch genau überlegen.
| chrisi hat Folgendes geschrieben: | | für den Punkt 1,0,0, müsste ich da die Parametrisierung x(t)=t, y(t)=0 und z(t)=0 wählen? Oder bin ich wieder auf dem Holzweg? |
Ja, genau. Das würde ich auch so machen.
Theoretisch könntest Du auch z. B. x(t)=t² oder sonst was wählen. Es sollte das selbe Ergebnis raus kommen. Allerdings ist dann dx/dt nicht mehr so einfach und schön konstant.
Gruß
Marco |
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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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| chrisi Verfasst am: 10. Jun 2007 20:36 Titel: |
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Oh, dann bin ich erleichtert. Ich habe den zweiten Teil zwar noch nicht gerechnet, aber das müsste ja dann jetzt klappen.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!! |
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chrisi
Anmeldungsdatum: 10.06.2007
Beiträge: 6
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| chrisi Verfasst am: 14. Jun 2007 19:34 Titel: |
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Ehrlich gesagt hatte ich mit dem zweiten Teil jetzt doch Probleme...
Ich hatte mir das angesehen und meine Idee war ja dann x(t)= t und y(t)=z(t)=0
Aber dann waren die x- und y-Komponente des Kraftfeldes ja gleich 0. Außerdem war ich mir mit den Grenzen nicht sicher... sind die dann immer noch 0 und 1? Und der Vektor mit dem ich multipliziere ist (1,0,0)? Jedenfalls hab ich das mal so gerechnet, also für die Arbeit von (0,0,0) bist (1,0,0) hab ich dann 1 raus.
Dann soll ich ja von (1,0,0) nach (1,1,1) gehen und da wusste ich dann endgültig nicht mehr weiter. Ich dachte mir das ich die Differenz nehme, also (0,-1,-1). Habe das dann nochmal mit den Grenzen 0 und 1 gerechnet.
^2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} ~dt = \int_{0}^{1}~9t^2~dx = 1)
Aber dann hätte ich ja 1+ 1 = 2, für den direkten Weg von (0,0,0) nach (1,1,1) habe ich aber 1 rausbekommen. Da muss ich ja irgendwo wieder einen Fehler drin haben? |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 14. Jun 2007 20:05 Titel: |
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Hallo!
Ich würde das dann so parametrisieren:
x(t) = 1
y(t) = t
z(t) = t
Dann hast Du nämlich wieder, wenn Du t von 0 bis 1 "durchfährst" alle Punkt auf der Verbindungslinie zwischen (1; 0; 0) und (1; 1; 1), und das ist es ja, was Du willst.
Dann schau Dir nochmal meinen ersten Post an. Da habe ich etwas von Ableiten dieses Vektors geschrieben. Versuch das erst mal ganz stur nach zu machen.
Um es nicht ganz so stur zu haben: Du hast ja an jedem Punkt im Raum einen Feldvektor. Und Du hast auf jedem Punkt Deines Weges einen Vektor, der in die Richtung zeigt, in die Du gerade gehst. Logischerweise ist diese Richtung (0 1 1) auf dem gesamten Abschnitt des Weges. Eigentlich entspricht das in etwa Deiner Differenz, nur dass die Richtung eigentlich anders sein sollte, weil Du ja willst, dass y und z größer werden, also von 0 bis 1 gehen. Allerdings gibt der Vektor ja jetzt erstmal nur die Richtung an, also kannst Du jedes Vielfache davon auch nehmen.
Jetzt ist aber das Problem, dass wenn ich den Weg um ein Stück dt weiter gehe, ich effektiv je nach Parametrisierung eine kürzere oder längere Strecke zurück lege. Das ist allgemein so, wenn man in Integralen etwas substituiert und die Regel ist, dass man dieses dx mit dt ersetzen muss, indem man mit der Ableitung der alten Integrationsvariablen nach der neuen das ganze Integral multipliziert. Das kennst Du von der normalen Integration auch. Hier ist es halt mit Vektoren, aber eigentlich sonst auch nichts anders.
Gruß
Marco |
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