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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
Beiträge: 18
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 iammrvip Verfasst am: 17. Apr 2005 14:17 Titel: Differentialgleichung (Wegintegral) |
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Hallo.
Ich schreibe grade an meiner Belegarbeit (Facharbeit 11. Klasse sozusagen) über Differentialgleichungen.
Dabei beschränke ich mich auf gewöhnliche DGLen 1. Ordnung.
Jetzt habe ich zu den Naturwissenschaften Physik, Chemie und Biologie jeweils ein Beispiel geplant.
Ich suche nun eben noch ein Beispiel aus der Physik. Das ist gar nicht so leicht, da ja die meisten DGLen 2. Ordnung sind. (oder partiell)
Deshalb wollt ich euch mal um Rat fragen. Es müsste auch ein bisschen Text dazu sein, also eine Sachaufgabe.
Da ja viele Probleme in der Physik mit Vektoren (Wegintegralen) zu tun haben suche ich auch speziell nach eine DGL, die dann über eine Wegintegral gelöst wird. Also z.B. etwas mit Geschwingkeit.
Ich weiß zwar, dass  , jedoch bin ich nicht Physiker genug um mir dazu gar eine Aufgabe auszudenken 
Vielleicht habt ihr ja in euren Aufzeichnungen ein solches Problem oder wisst vielleicht ein Link zum Thema.
Bin für jede Hilfe dankbar.
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hummma
Anmeldungsdatum: 06.07.2004
Beiträge: 205
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| hummma Verfasst am: 17. Apr 2005 14:35 Titel: |
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Weiter helfen kann ich dir leider nicht.
Ich werd meine Facharbeit ueber in Mathe Differentialgleichungen schreiben und soll da auch Anwendungsbeispiele reinbringen. Kannst du mir bitte deine Beispiele aus der Chemie und Bilogie sagen. |
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
Beiträge: 1873
Wohnort: Freiburg im Brsg.
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| Nikolas Verfasst am: 17. Apr 2005 14:47 Titel: |
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Wenn es auch ohne Vektoren geht, könntest du was aus der Eletronik nehmen:
Du könntest vielleicht einen Kondensator beladen und dann Q(t) bestimmen, eine Spule anschalten oder etwas einfacher die Herleitung für den Scheinwiderstand einer Spule oder eines Kondensators zeigen.
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
Beiträge: 18
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| iammrvip Verfasst am: 18. Apr 2005 16:50 Titel: |
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Hallo.
| hummma hat Folgendes geschrieben: | Weiter helfen kann ich dir leider nicht.
Ich werd meine Facharbeit ueber in Mathe Differentialgleichungen schreiben und soll da auch Anwendungsbeispiele reinbringen. Kannst du mir bitte deine Beispiele aus der Chemie und Bilogie sagen. |
Aus der Chemie habe ich eine Aufgabe von meiner Betreuerin bekommen. Etwas zu Lösen einer Substanz.
Aus der Biologie nehme ich einen Wachstumsprozess von einem Übungsblatt.
| Toxman hat Folgendes geschrieben: | Wenn es auch ohne Vektoren geht, könntest du was aus der Eletronik nehmen:
Du könntest vielleicht einen Kondensator beladen und dann Q(t) bestimmen, eine Spule anschalten oder etwas einfacher die Herleitung für den Scheinwiderstand einer Spule oder eines Kondensators zeigen. |
Es geht natürlich auch ohne  . Mit wäre natürlich lustiger.
Was meinst du denn damit? Ich muss dazu sagen, dass ich erst nächstes Jahr wieder belegt habe.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 18. Apr 2005 19:33 Titel: |
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Huhu,
Hmm soll die DGL linear sein? Wenn nicht könntest du zB einfach ein Teilchen unter einfluß der Lorentzkraft angucken, also: )
*denk* was könnt man denn noch nehmen 
Wie wärs mit nem Teilchen mit Luftwiderstand:
Hmm, kreativer bin ich grad irgendwie nicht 
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
Beiträge: 18
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| iammrvip Verfasst am: 18. Apr 2005 19:49 Titel: |
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Danke erstmal!
Das Problem besteht eben leider darin, dass die DGL gewöhnlich und 1. Ordnung sein muss 
Ich hatte nur mich vor kurzen mal mit Wegintegralen beschäftigt und überlegt, dass diese ja aus eine DGL resultieren könnten.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 18. Apr 2005 20:04 Titel: |
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Was meinst du eigentlich genau mit Wegintegral?
Also es soll eine dreidimensionale gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung sein, richtig?
Das wären die beiden, die ich gerade hingeschrieben hab ja, wenn man  setzt. Nur linear sind se halt nicht. (soweit ich weiß zählen nicht lineare ja auch zu gewöhnlichen DGL).
Hmm, prinzipiell kann man auch aus ner 1dimensionel DGL 2ter Ordnung eine 2dimensionale DGL erster Ordnung bauen, würd dir sowas helfen?
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
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| iammrvip Verfasst am: 18. Apr 2005 20:34 Titel: |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst du eigentlich genau mit Wegintegral? |
Unter einem Wegintegral verstehe ich so etwas:
Es sei  ein Ortsvektor mit  = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix})
Also ging dabei nur um ein einfaches Beispiel
nun wird der Weg parametrisiert über
) und )
Nun soll für einen speziellen Weg gelten
\mathrm dt)
nun sei  = \underline v(t)_0 + \underline a(t - t_A))
dann kommen wir auf
_0 + \underline a(t - t_A)\right)\mathrm dt \\ \underline r_E &= \underline r_A + \underline v_0(t_E - t_A) + \frac{1}{2}\underline a(t_E - t_A)^2)
für , \underline v_0 = (2,1,0), \underline a = (0,a,0))
also:
 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}T + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}T^2)
Die Rechnung stimmt auf alle Fälle, weil die vom Prof kommt  . Ich hab sie auch noch nachgeprüft.
Ich dachte jetzt vielleicht, dass solche Integrale beim Lösen bestimmter DGLen erster Ordnung entstehen.
PS: Ich habe jetzt aus Gewohnheit die englische Schreibweise für die Vektoren verwandt, ich hoffe das stört dich nicht
| Zitat: | | Also es soll eine dreidimensionale gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung sein, richtig? |
Ja. Also ich wollte eigentlich mehr oder weniger wissen, ob so ein Wegintegral aus einer solchen resultiert.
| Zitat: | | Das wären die beiden, die ich gerade hingeschrieben hab ja, wenn man setzt. Nur linear sind se halt nicht. (soweit ich weiß zählen nicht lineare ja auch zu gewöhnlichen DGL). |
Ob die DGL linear ist oder nicht, das ist vollkommen egal.
| Zitat: | | Hmm, prinzipiell kann man auch aus ner 1dimensionel DGL 2ter Ordnung eine 2dimensionale DGL erster Ordnung bauen, würd dir sowas helfen? |
Sagen wir es mal so. Ich brauche ein physikalisches Beispiel für Anwendungen gewöhnlicher DGLen. Ich dachte dabei eben daran, dass die Physik vieles mit Vektoren beschreibt und da auch ein Wegintegral ganz eindrucksvoll wäre.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 18. Apr 2005 21:27 Titel: |
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Hmm, ne das hab ich noch nie in Verbindung mit ner DGL gesehen.
Wobei ich auch noch dran zweifle, dass das überhaupt möglich wär das dann so zu lösen, weil man dann  ja garnicht kennt und es also auch nicht Integriert bekommt.
Hmm eigentlich hab ich noch nie gesehen, dass man ne mehrdimensionale DGL direkt durch Integrieren über einen Vektor lösen kann. Da müsst ich mal drüber nachdenken.
Oder am besten jemand anders was dazusagen der mehr Ahnung hat.
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
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| iammrvip Verfasst am: 18. Apr 2005 21:57 Titel: |
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Naja das war ja auch nur so eine Überlegung von mir
Dann gibt es das wahrscheinlich auch nicht.
Mir ging es eigentlich darum, dass ich nicht nur so eine supi leichte DGL drin hab, sondern etwas Anspruchsvolleres.
Ich hatte mir das dann auch so gedacht, dass eben  gegeben ist und auch noch etwas mehr, so dass man eben dann aus
 = \frac{\mathrm d\underline r}{\mathrm dt})
allgemein  berechnen soll über Trennung der Veränderlichen. Das eben sowas rauskommt wie bei meinem vorigen Beitrag.
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
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| iammrvip Verfasst am: 25. Apr 2005 17:33 Titel: |
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| Toxman hat Folgendes geschrieben: | Wenn es auch ohne Vektoren geht, könntest du was aus der Eletronik nehmen:
Du könntest vielleicht einen Kondensator beladen und dann Q(t) bestimmen, eine Spule anschalten oder etwas einfacher die Herleitung für den Scheinwiderstand einer Spule oder eines Kondensators zeigen. |
Da es wahrscheinlich etwas untergegangen ist. Hast du vielleicht auch eine DGL dazu?? Hab leider erst nächstes Jahr wieder Physik.
| navajo hat Folgendes geschrieben: | Das wären die beiden, die ich gerade hingeschrieben hab ja, wenn man setzt. Nur linear sind se halt nicht. (soweit ich weiß zählen nicht lineare ja auch zu gewöhnlichen DGL).
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Hallo nochmal. Hast du ein Beispiel zu dieser DGL
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 25. Apr 2005 18:48 Titel: |
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| iammrvip hat Folgendes geschrieben: |
Hallo nochmal. Hast du ein Beispiel zu dieser DGL
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Erstmal das  sollte da nicht der Impuls sein, falls das so rüberkam. Das sollte nur ne Substitution sein, um aus der Dgl 2ter Ordnung ne Dgl 1ter Ordnung zu machen. Ich hätte besser sagen sollen:  .
Dann hättest du zB die Dgl für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld:
)
Und nehmen wir mal ein konstantes Magnetfeld in x-Richtung, dann dürfte es noch recht leicht gehen. 
Dann wär die DGL:
Hmm, wobei das führt auch wieder auf ne DGL 2ter Ordnung, hmpf
Naja, oder halt  Wobei die ja auch schon wieder relativ leicht ist.
Neue Beispiele sind mir irgendwie nicht eingefallen.
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iammrvip
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| iammrvip Verfasst am: 25. Apr 2005 21:28 Titel: |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: |
Hmm, wobei das führt auch wieder auf ne DGL 2ter Ordnung, hmpf
Naja, oder halt Wobei die ja auch schon wieder relativ leicht ist.
Neue Beispiele sind mir irgendwie nicht eingefallen. |
Mach dir keine Sorge .
Es gibt eben keine schönen, richtig interessanten DGLen 1. Ordnung in der Physik .
Ich werde wohl eine so einfache DGLen nehmen müssen kann man nicht ändern.
Ich hätte nur noch eine Frage an dich. Hast du eine Beispiel zur Gleichung
Damit meine ich mit Sachtext o.Ä. Sonst suche ich mal im Netz und nehmen die DGL für den radioaktiven Zerfall.
Vielen Dank für deine Hilfe 
PS: Ach an Toxman!
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 25. Apr 2005 22:08 Titel: |
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Ein Körper auf auf den nur der Luftwiderstand als Kraft wirkt.
(http://de.wikipedia.org/wiki/Luftwiderstand)
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 25. Apr 2005 22:25 Titel: |
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| Zitat: | Toxman hat Folgendes geschrieben:
Wenn es auch ohne Vektoren geht, könntest du was aus der Eletronik nehmen:
Du könntest vielleicht einen Kondensator beladen und dann Q(t) bestimmen, eine Spule anschalten oder etwas einfacher die Herleitung für den Scheinwiderstand einer Spule oder eines Kondensators zeigen.
Da es wahrscheinlich etwas untergegangen ist. Hast du vielleicht auch eine DGL dazu?? Hab leider erst nächstes Jahr wieder Physik. |
Zu welcher denn? Den Schweinwiderstand gibt's hier glaub ich schon. Bei den anderen müsst ich noch mal nachschaun. Welche interessiert dich denn?
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iammrvip
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| iammrvip Verfasst am: 26. Apr 2005 21:17 Titel: |
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| Toxman hat Folgendes geschrieben: | | Zu welcher denn? Den Schweinwiderstand gibt's hier glaub ich schon. Bei den anderen müsst ich noch mal nachschaun. Welche interessiert dich denn? |
Das mit dem Kondensator beladen klingt sehr interessant.
Aber den Beitrag zzm Thema Scheinwiderstand finde ich leider nicht (mit DGL)
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 26. Apr 2005 23:22 Titel: |
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Heute hat ich echt keine Zeit mehr für den Kondensator. Vielleicht komm ich morgen dazu. Die Herleitung für die Thomsonsche SChwingungsgleichung ist aber eine ähnliche Idee und basiert auch auf DGL's erster Ordnung:
Herleitung der Thomsonschen Schwingungsgleichung mit der die Frequenz
mit der ein LC-Schwingkreis schwingt, berechnet werden kann.
=\dot{Q}(t))
=\dot{I}(t))
= \hat{Q}*sin(\omega t-\varphi))
=\hat{Q}*\omega*cos(\omega t -\varphi))
=-\hat{Q}* \omega^{2}*sin(\omega t-\varphi))
=U_K(t))
 = \frac{Q(t)}{C})
}{C}+L*\dot{I}(t)=0)
*\frac{1}{C}-L*Q* \omega^{2}*sin(\omega t-\varphi)=0)
*(\frac{1}{C}-L\omega^2)=0)
 \rightarrow Unendlich \ oft \ Null, \ meist \ aber \ ungleich \ Null )
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iammrvip
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 28. Apr 2005 19:22 Titel: |
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Zur Not bauen wir halt daraus eine erster Ordnung:
Also die DGL war:
 =-\frac{1}{LC}Q(t))
Dann nennen wir  , 
Dann ist  und  .
Wir haben also dieses Gleichungssystem:
Oder durch ne Matrix dargestellt:
Die wär dann erster Ordnung
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reima
Anmeldungsdatum: 01.02.2005
Beiträge: 34
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| reima Verfasst am: 28. Apr 2005 21:08 Titel: |
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Gehe ich recht in der Annahme, dass bei DGL erster Ordnung nur die erste Ableitung der gesuchten Größe vorkommen darf? Wenn ja, dann muss man leider schon mal alle Schwingungsvorgänge ausschließen. Radioaktiver Zerfall wäre aber auf alle Fälle möglich, oder eben die schon erwähnte Aufladung eines Kondensators.
Mal sehen, ob ich die noch hinkriege:
Stromkreis mit: Spannungsquelle U_0, Kondensator C, in Reihe dazu Widerstand R. Der Kondensator wird nach Einschalten der Spannungsquelle aufgeladen. Die an Kondensator und Widerstand abfallenden Spannungen ergeben zusammen die angelegte Spannung U_0:
Ansatz:
Einsetzen:
 & = 0\\ \Rightarrow a & = \frac{1}{RC})
Lösung:
 = I_0 e^{-\frac{1}{RC}t})
Daraus:
Also:
 = U_0 \cdot (1 - e^{-\frac{1}{RC}t}))
Sollte so stimmen, wenn ich das noch richtig im Kopf hab
Jedenfalls kannst du mit dem Ergebnis dann z.B. berechnen, wann der Kondensator zu 99% aufgeladen ist, oder aber auch die "Halbwertszeit" der Aufladung.
Hoffe das hilft,
Matthias |
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yeti777
Anmeldungsdatum: 10.11.2004
Beiträge: 160
Wohnort: Schweiz
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| yeti777 Verfasst am: 29. Apr 2005 11:32 Titel: |
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Hallo iammrvip!
Kennst du das Buch von Harro Heuser: "Gewöhnliche Differentialgleichungen" ? Darin hat es eine ganze Sammlung von DGL's 1. Ordnung, die in originelle Texte eingekleidet sind. ZB. bringt er das Problem der Brachistochrone in der historischen Form von Johann Bernoulli (mit Hintergrundinformationen) und zeigt, wie Bernoulli das Problem mit Hilfe einer DGL 1.Ordnung gelöst hat, ohne die Variationsrechnung zu benutzen (das war ja gerade der Anfang der Var.rechnung). Auch andere Beispiele sind sehr amüsant, wie zB. "Die Eisversorgung Alexanders des Grossen in der Wüste" oder "Grenzgeschwindigkeit eines Autos". Generell ist Harro Heuser ein sehr "farbiger" Mensch mit breiter Bildung, den ich sehr schätze.
Solltest du nicht an das Buch herankommen, könnte ich dir auch ein paar Seiten einscannen. Die müsste ich dir dann allerdings per Email schicken wegen der beschränkten Upload-Kapazität.
Aber ich denke, wenn dich Diff.gleichungen interessieren, ist "der Heuser" ein sehr empfehlenswertes Buch (didaktisch gut und viele, viele geschichtliche Hintergrundinformationen über die grossen Mathematiker und Physiker).
Gruss Heinz
_________________
Ich weiss, dass ich nichts weiss.
Sokrates 470 - 399 v.Ch. |
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iammrvip
Anmeldungsdatum: 17.10.2004
Beiträge: 18
Wohnort: /home/phpdocs
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| iammrvip Verfasst am: 02. Mai 2005 22:12 Titel: |
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@navajo
Womit wir aber wieder ein einem System von DGLen wären...geht leider auch nicht. Ich weiß es ist furchtbar mit mir...
@reima
Danke für deine Beschreibung.
| yeti777 hat Folgendes geschrieben: | Hallo iammrvip!
Kennst du das Buch von Harro Heuser: "Gewöhnliche Differentialgleichungen" ? Darin hat es eine ganze Sammlung von DGL's 1. Ordnung, die in originelle Texte eingekleidet sind. ZB. bringt er das Problem der Brachistochrone in der historischen Form von Johann Bernoulli (mit Hintergrundinformationen) und zeigt, wie Bernoulli das Problem mit Hilfe einer DGL 1.Ordnung gelöst hat, ohne die Variationsrechnung zu benutzen (das war ja gerade der Anfang der Var.rechnung). Auch andere Beispiele sind sehr amüsant, wie zB. "Die Eisversorgung Alexanders des Grossen in der Wüste" oder "Grenzgeschwindigkeit eines Autos". Generell ist Harro Heuser ein sehr "farbiger" Mensch mit breiter Bildung, den ich sehr schätze.
Solltest du nicht an das Buch herankommen, könnte ich dir auch ein paar Seiten einscannen. Die müsste ich dir dann allerdings per Email schicken wegen der beschränkten Upload-Kapazität.
Aber ich denke, wenn dich Diff.gleichungen interessieren, ist "der Heuser" ein sehr empfehlenswertes Buch (didaktisch gut und viele, viele geschichtliche Hintergrundinformationen über die grossen Mathematiker und Physiker).
Gruss Heinz |
Oh jaaaaaa, .... das Buch habe ich mir auch schon angesehen und hätte es am liebsten bestellt..... wenn es nur nich so teuer wäre...
Ich besitze Harro Heusers "Lehrbuch der Analysis - Teil 1". Aber bis ich dort durch bin vergeht noch einige Zeit und voher wollte ich noch nix anderes bestellen bzw. anfangen (die Preise von Fachbüchern eben enorm....).
Wie das Bernoulli ohne die Variationsrechnung geschafft würde mich aber schon brennend interessieren .
@all
Danke für eure tatkräftige Hilfe. Ich habe mich jetzt für das "Zerfallsproblem" entschieden, da ich dazu auch eine Aufgabe gefunden habe.
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