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Komplexes Wegintegral (Kreisscheibe UMLAUFZAHL)
 
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umlaufzähler
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Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 21:38    Titel: Komplexes Wegintegral (Kreisscheibe UMLAUFZAHL) Antworten mit Zitat

Wir müssen öfters Komplexe Wegintegrale über einen Kreis berechnen in der Form / z-a/=r, also Kreis mit Radius r und Mittelpunkt a. Jetzt weiss ich das man Cauchyintegralformeln verwenden kann oder etwas allgemeiner über den Residuensatz rechnen kann. Dafür brauche ich jedoch die Umlaufzahl. Deshalb meine Frage: Wie bekomme ich die Umlaufzahl bei Kreisen herraus? Sind die nicht immer eigentlich 1 ?
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 21:49    Titel: Antworten mit Zitat

Nicht wenn der Kreis zweimal durchlaufen wird. Wenn zu der Kurve nichts weiter gegeben ist, dann ist eigentlich einmal gemeint. Aber wenn anders erwähnt, oder eine konkrete Parametrisierung angegeben ist, dann kann das anders sein.
umlaufzähler
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Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 21:55    Titel: Antworten mit Zitat

Danke erst einmal für die Antwort. Wenn dort zb steht. die kreislinie wird im Mathematisch positiv Sinne durchlaufen, berechnen sie folgende Integrale:

S f(z) dz. Die Randkurve ist immer in der Form Betrag(z-a)=r gegeben.

Ist hier die Umlaufzahl immer 1 oder was bedeutet der positive sinn?


Bei manchen Aufgaben steht auch nur Berechnen sie die nachfolgenden Integrale. Wieder ist die Kurve in der Form Betrag(z-a)=r gegeben (Kreisscheibe).
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:

Ist hier die Umlaufzahl immer 1 oder was bedeutet der positive sinn?

Richtig.

Ist nur gegeben "Integrieren Sie über die Kurve mit |z-a|=r.", dann ist in der Regel "einmal rum im positiven Sinn" gemeint, sofern nicht anders angezeigt.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 22:08    Titel: Antworten mit Zitat

Danke schön!

Ich habe da noch eine Frage damit ich das richtig verstanden habe.

Eigentlich kann man auch für Kreisscheiben den Residuensatz benutzen oder? D.h. das die Cauchyintegralformeln muss man nicht nutzennicht zwingend notwendig sind. z.b. ein Kreis im positiven Sinne soll mit f(z)=g(z)/h(z) integriert werden. Dann wäre das Ergebnis 2*pi*i*Summe (Res(f,a)), wobei a die Polstellen von f(z) sind und nur diejenigen beachtet werden die in der vorgegebenen Kreisscheibe liegen.
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 22:16    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:

Eigentlich kann man auch für Kreisscheiben den Residuensatz benutzen oder? D.h. das die Cauchyintegralformeln muss man nicht nutzennicht zwingend notwendig sind. z.b. ein Kreis im positiven Sinne soll mit f(z)=g(z)/h(z) integriert werden. Dann wäre das Ergebnis 2*pi*i*Summe (Res(f,a)), wobei a die Polstellen von f(z) sind und nur diejenigen beachtet werden die in der vorgegebenen Kreisscheibe liegen.

Ja. Die Chauchyintegralformel ist ein (einfacherer) Spezialfall des Residuensatzes.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 22:22    Titel: Antworten mit Zitat

Danke schön. Mich würde noch folgendes gerne interessieren

- Wenn ich zb. den Kreis mit Mittelpunkt 0 habe und Radius 4 und die Polstellen lauten -4 und +4j, sind dann beide relevant für die Residuen?


- Wenn ich die Cauchy-Integralformeln verwenden kann, jedoch im Zähler meiner gegebenen Funktion Terme mit cosz,sinz,e^z,sinhz,coshz vorkommen, muss ich die dann in eine Reihe entwickeln und dann eventuell den k-Faktor mit der Reihe rausziehen aus dem Integral oder brauche ich sowas nicht zu machen? Es handelt sich wieder um Kreise.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:

- Wenn ich zb. den Kreis mit Mittelpunkt 0 habe und Radius 4 und die Polstellen lauten -4 und +4j, sind dann beide relevant für die Residuen?

Dann hast Du ein Problem und musst Dir eine Vorschrift aussuchen, wie Du die Pole behandelst, z.B.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value
Wie genau man das macht, hängt davon ab was machen machen möchte. So tritt so ein Fall z.B. bei der Berechnung von Greensfunktionen auf und die Auswahl der Vorschrift bestimmt ob man die retardierte oder die avancierte Gressnfunktion erhält.
Zitat:

- Wenn ich die Cauchy-Integralformeln verwenden kann, jedoch im Zähler meiner gegebenen Funktion Terme mit cosz,sinz,e^z,sinhz,coshz vorkommen, muss ich die dann in eine Reihe entwickeln und dann eventuell den k-Faktor mit der Reihe rausziehen aus dem Integral oder brauche ich sowas nicht zu machen?

Wenn die Chauchyintegralformel verwenden kannst und f(z) ist gegeben, dann musst du ja nur noch z0 einsetzen, da gibt es nichts mehr zu entwickeln.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 22:44    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen dank. Bevor ich (erst einmal) abschließe wollte ich gerne folgendes wissen:

Gegeben ist das Integral e^z/(z^2) dz. (Wieder über einen Kreis im positiven Sinne). Man erkennt ja direkt das man die Cauchyintegralformel verwenden kann. In der Lösung die mir vorliegt, wird jedoch erst e^z in eine Reihe entwickelt also e^z=Summe(z^k/k!) mit k=0 bis unendlich. Danach wird die Reihe mit 1/k! herausgezogen. Danach wird mithilfe des Fundamentalintegrals die Fälle für k-2 ungleich -1 und k-2 gleich -1 unterschieden, je nachdem nimmt das Ergebnis den Wert 2pij oder 0 an. Was rechnerisch hier geschieht verstehe ich, bloß ich wollte gerne wissen wenn ich die Cauchyintegralformel verwende komme ich auf ein Ergebnis, also muss doch irgendetwas falsch sein bei letzteres oder geht das nicht? Nochmals danke für deine Mühe und die Aufmerksamkeit.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 22:46    Titel: Antworten mit Zitat

Es kann aber sein, dass wir dort noch nicht das Cauchyintegral eingeführt haben und es deshalb so gemacht haben ....

Also wenn du sagst man brauch sowas nicht zu machen da cauchy integral dann glaube ich dir das.^^
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 22:50    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiss nicht was Deine Frage ist:
1. Reihenentwicklung, jeden Term einzeln integrieren.
2. Anwendung der (verallgemeinerten) Cauchyintegralformel (da 1/z^2).
=> Beides liefert dasselbe Ergebnis.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 23:21    Titel: Antworten mit Zitat

Danke schön. Dann wird das wohll so sein wie du sagst. Wenn du Zeit hast, kannst du bitte mir Ratschläge geben was ich bei folgenden Integralen richtig/falsch mache (Nur der Ansatz).

Im folgenden wird der Kreis mit Betrag(z-a)=r beschrieben: Aufgabenstellung: Man berechne die nachfolgenden Integrale:

a) betrag(z)=2



Ansatz: Cauchyintegralformel mit z0=3j und f(z)=Zählerfunktion

b) betrag(z)=4



Ansatz: Residuensatz mit Umlaufzahl 1. Beide Polstellen sind relevant.

c) betrag(z)=4



Ansatz: Cauchyintegralformel mit z0=pi und f(z)=Zähler

d) betrag(z-1)=0,5 mit Ln als Hauptzweig des Logarithmus.



Ansatz: Ich könnte den Ln umschreoben zu ln/z/+jarg(z). Weiter weiss ich leider auch nicht.
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 23:29    Titel: Antworten mit Zitat

Die Aufgaben sind alle stur (verallg.) Chauchyintegralformel oder Residuensatz anwenden. Alles mechanisch, keine Tricks.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 12. Feb 2015 23:41    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr, dann scheint das nicht ,,extrem" schwer zu sein (Das waren gerade 4 Klausuraufgaben vor 3 Jahren beim selben Prof.).

Kannst du mir jedoch bitte sagen wie das mit der letzten Teilaufgabe zuhandhaben ist? Um den Residuensatz zu verwenden muss ich Pole berechnen. Das könnte ich hier nicht hinbekommen, da es denke ich nicht einmal funktioniert. Eventuell kann ich ja die Cauchyintegralformel nutzen, wobei das im Nenner Lnz äquivalent ist zu z und somit ist z0=0 und die relevante Funktion für die Cauchyintegralformel der Zähler.

Was bedeutet mechanisch in diesem Zusammenhang?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 23:47    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:

Kannst du mir jedoch bitte sagen wie das mit der letzten Teilaufgabe zuhandhaben ist? Um den Residuensatz zu verwenden muss ich Pole berechnen. Das könnte ich hier nicht hinbekommen, da es denke ich nicht einmal funktioniert. Eventuell kann ich ja die Cauchyintegralformel nutzen, wobei das im Nenner Lnz äquivalent ist zu z und somit ist z0=0 und die relevante Funktion für die Cauchyintegralformel der Zähler.

Was passiert denn wenn die Funktion keine Pole (oder Schnitte) im Integrationsgebiet hat.
Zitat:

Was bedeutet mechanisch in diesem Zusammenhang?

Stur einen Algorithmus anwenden...
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 13. Feb 2015 00:04    Titel: Antworten mit Zitat

Stimmt, darauf wird es womöglich hinauslaufen, deshalb auch der sehr kleine Radius um darauf Aufmerksam zu machen ob überhaupt, sofern vorhanden Pole im Integrationsgebiet liegen. Wenn keine Pole im Integrationsgebiet vorhanden sind, dann kann ich keinen Residuensatz anwenden und erst recht nicht die (allgemeine) Cauchyintegralformel. Bedeutet das dann das keine Lösung vorhanden ist?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 13. Feb 2015 00:06    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:
Bedeutet das dann das keine Lösung vorhanden ist?

Nein.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 13. Feb 2015 00:13    Titel: Antworten mit Zitat

Das ist jetzt irreführend, da ich nicht weiss ob sich das nein auf keine lösungen bezieht oder ob meine Antwort dazu falsch ist. grübelnd
jh8979
Moderator


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Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 13. Feb 2015 00:14    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, es bedeutet nicht, dass es keine Lösung gibt. Es gibt eine Lösung und die ist eindeutig und einfach zu finden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 13. Feb 2015 00:29    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt einfach geraten und etwas abgelesen, wann man diesen Satz verwenden kann:
Da f analytisch ist (holomoprh), und der integrationsweg ein geschlossener weg in G ist, wobei G € C, gilt das die Integration über die geschlossene kurve 0 ist ...

Also wenn keine Polstellen existieren, bzw die Polstellen nicht in meinem Integrationsgebiet liegen, muss ich an diesen Satz denken oder?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 13. Feb 2015 00:35    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:
Jetzt einfach geraten und etwas abgelesen, wann man diesen Satz verwenden kann:
Da f analytisch ist (holomoprh), und der integrationsweg ein geschlossener weg in G ist, wobei G € C, gilt das die Integration über die geschlossene kurve 0 ist ...

Also wenn keine Polstellen existieren, bzw die Polstellen nicht in meinem Integrationsgebiet liegen, muss ich an diesen Satz denken oder?

Was raetst Du da denn jetzt noch? Ausserdem solltest Du diesen Satz erst recht kennen, wenn Du den Chauchyintegralsatz oder gar den Residuensatz kennst. Das sind Verallgemeinerungen.
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 13. Feb 2015 00:37    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, du hast mir wirklich sehr geholfen! Der Satz kam bisher nie vor, deshalb war das etwas unerwartet.^^
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 13. Feb 2015 00:39    Titel: Antworten mit Zitat

umlaufzähler hat Folgendes geschrieben:
Danke, du hast mir wirklich sehr geholfen! Der Satz kam bisher nie vor, deshalb war das etwas unerwartet.^^

Das glaub ich Dir irgendwie nicht.. die drei Sätze kommen eigentlich immer zusammen in einer Vorlesung vor, weil man jeweils zuerst den einfacheren beweist und dann daraus die allgemeineren...
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 13. Feb 2015 00:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kenne den Satz und der steht auch auf meiner Zusammenfassung ink. die Vorraussetzung und der Herleitung. Aber bisher brauchte ich ihn wirklich nicht, da Polstellen immer vorhanden war, woraufhin ich immer die allgemeine Cauchyintegralformel benutzt habe. Deshalb war der Satz erst einmal weit hinten im Gehirn. Deshalb danke ich dir nochmals doppelt soviel, da ich sonst echt aufgeschmissen wäre. Thumbs up!
umlaufzähler
Gast





Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 14. Feb 2015 00:36    Titel: Antworten mit Zitat

Guten Abend, ich hoffe das ich dich nochmal um Rat bitten könnte. Ich wäre dir wirklich dankbar. Es geht über die Integration um eine Lemniskate und eine Ellipse.

Wider im mathematisch positiven Sinn. Bei der Ellipse wird wohl analog zum Kreis die Umlaufzahl 1 sein, was ist jedoch mit der Lemniskate ? Könnte das hier varrieren bei dieser Art von Aufgaben?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 14. Feb 2015 06:51    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast die Sätze von oben ganz offensichtlich nicht mal ansatzweise verstanden...
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Feb 2015 08:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ohne jetzt zu wissen, über welche Funktion du integrierst

Der Residuensatz besagt, dass für eine in einem einfach zusammenhängenden Gebiet D bis auf isolierte Singularitäten holomorphe Funktion f(z) und einen geschlossenen Weg C in D gilt:



Dabei bezeichnen die a_n abzählbar viele isolierte Singularitäten, w die Windungszahl von C bzgl. jedes a_n, Res die Residuen von f in a_n.

Im Falle der Ellipse ist w bzgl. jedes Punktes innerhalb C gleich Eins und es folgt



Die Lemniskate zerfällt in zwei geschlossene Kurven, wobei eine im mathematisch negativen Sinne durchlaufen wird. Damit gilt



wobei jede Summe über die Residuen innerhalb der jeweiligen Kurve C_i läuft.

Die Residuen berechnet man natürlich nicht mittels eines Integrals, da wäre nicht viel gewonnen. Man nutzt für isolierte Pole der Ordnung k im Punkt a die Formel



Das Rezept lautet also:
0) sicherstellen, dass f in D holomorph ist bis auf isolierte Pole
1) Pole und deren Ordnung innerhalb von C bestimmen
2) Windungszahl von C bzgl. jedes Pols bestimmen
3) Residuum jedes Pols bestimmen
4) Summe über alle Residuen berechnen

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
umlaufzähler
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Beitrag umlaufzähler Verfasst am: 14. Feb 2015 11:53    Titel: Antworten mit Zitat

Danke TomS! Das hat mir sehr geholfen!
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