Zwangsbedingungen Kreisscheibe

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Meine Frage:
Hey Leute,
ich habe eine Aufgabe in Theoretischer Physik bekommen. Sie lautet:
Die Lage einer auf der xy-Ebene rollenden Kreisscheibe vom Radius R wird durch die Koordinaten x, y des Auflagepunkts, die Rollrichtung, und den Rollwinkel beschrieben.
a) Geben Sie die Zwangsbedingungen an, welche aus der Bedingung folgen, dass die Scheibe nur rollen, nicht rutschen oder fallen darf.
b) Sind die Zwangsbedingungen holonom oder nicht-holonom?

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind:

a) nur rollen, nicht rutschen: Rollrichtung = konst, Rollwinkel

konst für x,y

konst
nicht fallen: hab ich leider keine Idee

Sind das sonst alle Bedinungen oder gibt es noch mehr? Wenn ja wie kommt man auf diese?
b) Ich habe diese Aufgabe auf vielen Seiten im Internet gefunden. Leider ohne Lösung. In diesen stand immer, dass man zeigen soll, dass die Bedingungen nicht-holonom sind. Also schätze ich mal, dass sie das sind;) Aber warum?

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe
LG Stephi391

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

"nicht rutschen" bedeutet insbs. nicht durchderehen; d.h. wenn die Scheibe eine volle Umdrehung um ihren Mittelpunkt ausgeführt hat, dann hat sich auch ihr Mittelpunkt entsprechend weiterbewegt; wäre dem nicht so, müsste der Umfang zumindest teilweis über die Ebene gerutsch sein

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Also muss ich den Drehimpuls noch mit einbeziehen?
Stimmt denn der Rest?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Die Zwangsbedingung wird rein kinematisch formuliert und liefert dir einen Zusammenhang (eine Bedingung) zwischen der Geschwindigkeit der Translation des Scheibenmittelpunktes sowie der Rotation, also der Winkelgeschwindnigkeit

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ich habe grad in einem Buch gefunden, dass gilt:

Gilt das hier auch? Ist das das was du meinst?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Ich finde es immer wieder erstaunlich, wie man ohne Erklärung der Formelzeichen, Skizze o.ä. einfach irgwendwo irgendeine Formel herauspickt und diese zur Anwendung bringt.

Es gilt sicher auch

aber hilft dir das jetzt weiter?

Also wie kommst du drauf und was bedeutet deine Formel?

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ich verstehe die Gleichung so, dass wenn ein Rad um den Winkel phi rollt, legt ein Punkt auf dem Rad einen Weg von s= R*phi (R= Radius) zurück. Dieser Punkt hat dann die Geschwindigkeit v=ds/dt=R*dphi/dt. Das wäre sozusagen die Zwangsbedingung, dass das Rad rollt, weil die Gleichung ja auch Rollbedingung heißt, oder?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Na, du bist noch niocht ganz fertig.

Deine Gleichung besagt, dass ein Punkt auf dem Radius des Rades den Weg

zurücklegt. Im Falle einer vollen Umdrehung bedeutet das

so wie es sein muss.

Aber dies ist nur die reine Rotation!!! Was du benötigst ist ein Bezug zur Translation: welchen Weg legt denn der Mittelpunkt des Rades zurück? Aus dewiner Gleichung ist nicht zu erkennen, ob das Rad an Ort und Stelle rotiert, oder ob es sich da bei fortbewegt (wenn es an Ort und Stelle rotiert,m dann legt es sicher eine Strecke Null zurück und rollt überhaupt nicht).

Du musst - wie gesagt - eine Beziehung zwischen Rotation und Translation herstellen.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ich verstehe was du meinst, aber weiß nicht wie ich das anstellen soll. Der Mittelpunkt bewegt sich ja nicht auf einem Kreis sondern einfach gerade.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Du musst dir überlegen, welchen geraden Weg L der Mittelpunkt zurücklegt, während sich die Scheibe genau einmal dreht und damit ein Punkt auf dem Rand den Weg U zurücklegt. Also was ist der Zusammenhang zwischen L und U?

Diesen Zusammenhang kannst du mittels Geschwindigkeit der Translation einerseits sowie Bahngeschwindigkeit des Randes andereseits ausdrücken. Und dieser Zusammenhang gilt dann nicht mehr nur für eine volle Umdrehung, sondern für eine infinitesimale Rotation und damit für jeden beliebigen Zeitpunkt.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Meine einzige Idee wäre es über die Winkel iwie auszudrücken. Wenn v eine x und eine y komponete hat, dann vllt vx=v*cos theta und vy=v*sin theta und dann für v=R*phi einsetzen? Ist das richtig?
Aber das wäre ja nur die Zwangsbedingung für rollen und nicht für nicht rutschen oder fallen. Wie komme ich auf die?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Bis auf dass eine Ableitung fehlt im v ist das richtig. Jetzt musst du Dir nur noch ueberlegen wie man das mit x und y verknuepft und was das mit Rollen vs Rutschen zu tun hat.

Tip: Was ist denn dx/dt und dy/dt?

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Naja also dx/dt=vx und dy/dt=vy, also kann ich auch schreiben:

dx/dt-R*dphi/dt*cos theta=0 und für y dasselbe.

Aber was das mit Rutschen zu tun hat, weiß ich leider nicht:(

Packo · Gast

Siehe "Beispiel für ein nicht-holonomes System" bei
http://de.wikipedia.org/wiki/Holonom

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Also ist die Zwangsbedingung für nicht Rutschen:

dx/dt*sin phi+ dy/dt*cos phi=0

oder? Das sind ja vx+vy oder? Aber wie kommt man da drauf?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18079

Wenn du dir leichter tust, dann schreib doch diese Zwangsbedingung für "nicht rutschen" erst mal in einer Dimension hin!