Potential einer Kreisscheibe

physik-freak · Gast

Meine Frage:
Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Eine Ladung

ist homogen auf einer infinitesimal dicken Kreisscheibe mit Radius

verteilt.

a) Berechnen Sie das elektrostatische Potential in Zylinderkoordinaten auf der Symmetrieachse der Scheibe.

b) Eine Lösung der Laplace-Gleichung

lautet für einen beliebigen Ort in Kugelkoordinaten

ist das n-te Legendre-Polynom. Berechnen Sie das elektrostatische Potential für beliebige Orte in Kugelkoordinaten, indem Sie die Koeffizienten

und

bestimmen. Betrachten Sie dazu zunächst nur die Symmetrieachse und nutzen Sie das Ergebnis aus a).

Hinweis: Die Taylorreihe der Funktion

ist

für

.

Die Legendre-Polynome besitzen folgende Eigenschaften:

Vielen Dank für Hilfe! :)

Meine Ideen:

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Wie weit kommst Du denn? Wo genau liegt Dein Problem?

physik-freak · Gast

Ich wäre froh, wenn ich überhaupt wüsste, womit ich anfangen soll... unglücklich

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Wie berechnet man denn das Potential, wenn die Ladungsverteilung gegeben ist?

physik-freak · Gast

Wir hatten die Formel für das Potential

.

Dabei ist

das elektrische Feld.

Folgendes hatten wir auch noch:

.

ist die Flächenladungsdichte (die Scheibe ist ja infinitesimal dick, deswegen kann man das als Fläche betrachten).

Ist jetzt

?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Nicht ganz, die Ladung ist ja nicht überall, sondern nur an bestimmten Stellen im Raum. Es fehlt also noch eine Funktion die des beschreibt.

Und ja, Phi muss die Poisson-Gleichung erfüllen. Aber die Lösungen dafür ausgedrückt durch die Ladungsdichte sind ganz allgemein bekannt und die kannst Du nachschlagen. Und damit dann phi ausrechnen.

physik-freak · Gast

Ich habe das mal in Kugelkoordinaten gemacht, wegen der Symmetrie ist das doch am besten, oder?

Meintest du so eine Funktion?

Und die Lösung der Poisson-Gleichung müsste sein

K ist die Kreisscheibe mit Radius a um den Nullpunkt.

Passt das so?

Und wie berechne ich dann dieses Integral?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Im Prinzip ja.

In der Poisson-Gleichung ist rho allerdings eine Raumladungsdichte, bei dir eine Flaechenladungsdichte.. aber im Integral bei Dir stimmen die Einheiten dann wieder..

Allgemein ist dies Integral nicht so einfach zu lösen. Allerdings sollst Du ja zuerst nur Punkte auf der z-Achse betrachten, d.h. r=(0,0,z). Das ist dann einfacher.