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Wegintegral über allgemeine konservative Kraft
 
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Ahornklee
Gast





Beitrag Ahornklee Verfasst am: 18. Okt 2020 18:22    Titel: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

die allgemeine konservative Kraft ist ja folgendermaßen definiert:

in einem solchen Fall kann man ja auf der rechten Seite von
noch einen beliebigen Term, der senkrecht zu steht, addieren.
Gilt in einem solchen Fall dann überhaupt, dass das Integral über einen geschlossenen Weg 0 ist, bzw. rotF=0?

Meine Ideen:
Eigentlich müsste es ja so sein, weil der Zusatzterm auch in das Integralreinspielt, oder fällt der Term beim integrieren raus?

Eigentlich müssten die Eigenschaften für die "normale" Konservativen Kräfte ja weiterhin gültig sein, da sonst die Bezeichnung "konservative Kraft" keine Berechtigung mehr hätte.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Okt 2020 19:13    Titel: Re: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft Antworten mit Zitat

Ahornklee hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo,

die allgemeine konservative Kraft ist ja folgendermaßen definiert:

in einem solchen Fall kann man ja auf der rechten Seite von
noch einen beliebigen Term, der senkrecht zu steht, addieren.
Gilt in einem solchen Fall dann überhaupt, dass das Integral über einen geschlossenen Weg 0 ist, bzw. rotF=0?


Als Definition verwendet man üblicherweise die zweite Gleichung oder irgendeine dazu äquivalente Aussage, wie . Daraus folgt dann natürlich für jeden Weg die Beziehung



Das kann man sicher auch als Definition verwenden. Aber der einzige Vektor, der orthogonal zu jedem Vektor ist, wäre der Nullvektor. Damit ist der Inhalt der Frage nicht so richtig klar. Wenn du einen bestimmten Weg auswählst und dann ein Vektorfeld zu addierst, dann wüßte ich nicht, warum das Ergebnis wieder konservativ sein sollte.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Okt 2020 23:28    Titel: Re: Wegintegral über allgemeine konservative Kraft Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Wenn du einen bestimmten Weg auswählst und dann ein Vektorfeld zu addierst, dann wüßte ich nicht, warum das Ergebnis wieder konservativ sein sollte.

Es erscheint nur so:



wg.



Aber das gilt nur für spezielle Vektorfelder je Weg C; für einen anderen Weg C benötigt man ein anderes Vektorfeld (bzw. eine andere Äquivalenzklasse).

M.E. führt das zu nichts.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Ahornklee
Gast





Beitrag Ahornklee Verfasst am: 19. Okt 2020 02:46    Titel: Antworten mit Zitat

also man kann ja immer sowas machen:



Da ist das addierte zwangsläufig orthoganal zu der Zeitableitung von r. Laut unserem Skript ist das eine allgemeine konservative Kraft aufgrund der Definition über die Zeitbaleitung von Potential U.
Dadurch verändern sich jedoch einige Sachen, beispielsweise bekommt die Lagrange Gleichung 2. Art einen zusätzlichen orthogonalen Term.
Aber für diese Art Kraft würden die "klassischen" Eigenschaften einer konservativen Kraft, also unter anderem rotF=0 im Allgemeinen nicht mehr gelten, oder?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Okt 2020 07:13    Titel: Antworten mit Zitat

Es gibt zwei verschiedene Definitionen:

1) Für eine rein ortsabhängige Kraft gilt





*) gilt in dieser Form nur für einfach zusammenhängende Bereich im R³

Wenn die linken Seiten erfüllt sind, spricht man von einer konservativen Kraft; daraus folgt, dass entlang geschlossener Wege keine Arbeit verrichtet wird, bzw. dass die entlang eines Weges verrichtete Arbeit ausschließlich von Anfangs- und Endpunkt abhängt.

Diese Bedingungen sind hinreichend, damit die rechte Seite gilt, jedoch nicht notwendig.

2) Man kann eine verallgemeinerte konservative Kraft durch die rechte Seite



definieren. In diesem Sinne ist auch die Lorentzkraft eine eine verallgemeinerte konservative Kraft, sie ist jedoch nicht mehr rein ortsabhängig.

Ich habe mir gerade die relevanten Wikipedia-Seiten angesehen; sie sind unpräzise, in dem sie behaupten, dass die rechte sowie die linken Seiten äquivalent seien, was tatsächlich nicht stimmt. Die linken Seiten sind hinreichend, jedoch nicht notwendig, d.h.



ist nicht korrekt, es sei denn, man beschränkt sich auf rein ortsabhängige Kräfte.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Okt 2020 12:51, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Okt 2020 07:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ahornklee hat Folgendes geschrieben:
also man kann ja immer sowas machen:



Da ist das addierte zwangsläufig orthoganal zu der Zeitableitung von r. Laut unserem Skript ist das eine allgemeine konservative Kraft aufgrund der Definition über die Zeitbaleitung von Potential U.


Ok, das ist eine "konservative Kraft" in dem Sinne, daß sie aus einem verallgemeinerten Potential folgt. Es gilt dann also



Daran sieht man ja schon, daß sich die Bedingungen im Gegensatz zu rein ortsabhängigen Kraftfeldern etwas ändern. Es ergibt auch tatsächlich keinen Sinn mehr von der "Rotation" eines solchen Kraftfeldes zu reden. (Es gibt allerdings Verallgemeinerungen für diesen Begriff auf geschwindigkeitsabhängige Kräfte.)

Deine Frage berührt übrigens das sogenannte "Inverse Problem der Lagrange-Mechanik" zu einer gegebenen Bewegungsgleichung die zugehörige Lagrangefunktion zu finden. Dafür sind einige notwendige und hinreichende Bedingungen bekannt, die man als Verallgemeinerungen der Frage auffassen kann ob zu einem rotationsfreien Vektorfeld ein Potential existiert. (Siehe: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics )
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Okt 2020 09:23    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

1) Für eine rein ortsabhängige Kraft gilt





Wenn die linken Seiten erfüllt ist, spricht man von einer konservativen Kraft; daraus folgt, dass entlang geschlossener Wege keine Arbeit verrichtet wird, bzw. dass die entlang eines Weges verrichtete Arbeit ausschließlich von Anfangs- und Endpunkt abhängt.

Diese Bedingungen sind hinreichend, damit die rechte Seite gilt, jedoch nicht notwendig.


Die zweite Implikation ist genau verkehrtherum. Die Bedingung ist nicht hinreichend für das Verschwinden des geschlossenen Wegintegrals. Das hängt sehr stark von der Topologie des Definitionsbereichs ab; ob hingegen nicht. Notwendig ist die Bedingung aber wohl schon, wegen des Satzes von Stokes. Im sind allerdings tatsächlich alle diese Bedingungen äquivalent.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 19. Okt 2020 12:50    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die Bedingung ist nicht hinreichend für das Verschwinden des geschlossenen Wegintegrals. Das hängt sehr stark von der Topologie des Definitionsbereichs ab.

Du hast recht, ich ändere das ab.

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