Arbeit und Wegintegral

mrbaozi · Anmeldungsdatum: 04.12.2010 Beiträge: 22

Meine Frage:
Auf einen Massenpunkt wirkt (in x-y-Ebene) die Kraft F=[ y^2-x^2 , 3xy ].
Nun soll ich die von der Kraft geleistete Arbeit beim Bewegen des Massenpunktes von [0,0] nach [2,4] entlang verschiedener Wege berechnen und sagen, ob die Kraft konservativ ist.

Die Wege sind:
a) Von [0,0] bis [0,2], dann nach [2,4]
b) Wie a), nur zuerst in y-Richtung
c) Direkt von [0,0] nach [2,4]
d) Auf der Parabel x^2

Meine Ideen:
Habe mir jetzt schon einige Gedanken gemacht. Bei a) und b) würde ich den Betrag der Kraft ausrechnen, und dann auf den Teilstrecken jeweils für x bzw y einen konstanten Wert einsetzen. Dann hat man ja ein einfaches bestimmtes Integral. Die jeweiligen Ergebnisse werden dann aufaddiert und man hat die geleistete Arbeit.
Weiß aber nicht, ob ich das auch so machen darf?
Außerdem komm ich bei der c) mit der Methode ja nicht weiter, da hab ich ja keine konstanten Werte für x bzw y. Und ich weiß nicht, nach was ich denn da integrieren soll?
Auf dem Blatt steht, man könne das mittels Substitution integrieren, und in der Vorlesung haben wir was mit Parametrisierung des Weges gemacht, aber das hab ich leider nicht geblickt.
Also konkret suche ich nach einem Lösungsansatz speziell für die c) und die d) (sofern mein Ansat für a und b in Ordnung ist Big Laugh

). Vielen Dank schonmal für die Hilfe...

Packo · Gast

Du musst zunächst die Kurven parametrisieren
Ich zeige es für c)
x(t) = t
y(t) = 2t
der Parameter t läuft von 0 bis 2
also dx = dt
dy = 2t dt

Das Kraftfeld ist: F = (y²-x²; 3xy)

Arbeit

Die anderen Beispiele genauso.

mrbaozi · Anmeldungsdatum: 04.12.2010 Beiträge: 22

Ok, sehr cool. Dankeschön!
Bei der d) wäre dann x(t)=t und y(t)=t^2, richtig?

Und der Klarheit wegen: dx und dy werden beide von t0 bis t integriert, oder? Weil vor dy gab's kein Integralzeichen.

Ich hab jetzt mal so gerechnet --> einsetzen, dann bekomme ich bei der d) 15,73J raus. Bei der c) sind's übrigens 24J.
Werte für a und b: 58,667J und 74,667J

Sitz grad in der Uni, habe zuhause kein Internet (Telekom unglücklich

), deshalb auch die späte Antwort. Danke nochmals^^

P.S.: Hab den anderen thread gesehn mit derselben aufgabe, ich versichere, das war ich nicht Augenzwinkern

muss wohl irgendwer hier auf dieselbe idee gekommen sein Big Laugh

Packo · Gast

mrbaozi,
ich habe mein Integral etwas schlampig geschrieben.
Richtig muss es heißen:

Deine Ergebnisse für c) und d) sind richtig
a) und b) habe ich nicht geprüft.

Übrigens ist das Kraftfeld nicht konservativ (weil die Arbeit nicht entlang aller Wege gleich ist).

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519

vielleicht etwas blöd gefragt, aber warum ist bei y(t) = 2t , dy = 2t dt und nicht dy/dt=2 -> dy= 2dt ?

Und wie hast du das dann ins Integral eingesetzt?
(3xy)dy wäre ja für x=t, y=2t, dy=2t dt -----> 3*t*2t*2t dt=12t³dt ?

Und wieso kann man nicht gleich y=2x ansetzen?

Packo · Gast

Hallo fuss,
du hast völlig Recht. Ich habe da allerlei durcheinander gebracht.
War wohl nicht mein Tag.
Also nochmal:
x=t
y=2t
dx=dt
dy=2dt
eingesetzt:

Natürlich könnte man den Parameter auch x nennen, also x=x.
Meiner Meinung nach hebt jedoch x=t den Charakter des eines Parameters besser hervor.