Linienintegral

tanjaw · Gast

Hallo!

Kann mir jemand erklären, was ein Linienintegral ist? Was kann ich damit berechnen und vor allem wie?
Und: Ist der Begriff gleichzusetzen mit Kurvenintegral oder Wegintegral oder gibt es Unterschiede? Wenn ja welche sind das?

Danke schon mal
Tanja

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Hallo,

soweit ich weiß nimmt man ein Linienintegral dazu, die Bogenlänge eines Graphen auszurechnen, und zwar nach der Gleichung

. Demnach müsste es dasselbe wie die anderen angesprochenen Begriffe sein. Allerdings brauchen wir das in der Schule nicht und ich bin mir daher nicht besonders sicher, insbesondere ob ich das nicht mit dem hier (

) verwechsle. Obwohl... ich glaube mich daran zu erinnern, dass man Ringintegral nennt und damit den Umfang einer Fläche ermittelt. Wie, weiß ich nicht. Steht aber garaniert irgendwo.

Kricki · Gast

Als Linienintegral bezeichnet man ein Integral über einen "Weg" im Raum (Weg- oder Kurvenintegral meint dasselbe). Prominentestes Beispiel ist die Definition für die Arbeit:

Läuft das Integral über einen geschlossenen Weg, malt man meist noch einen Kreis in das Integralzeichen und nennt das dann Ringintegral.

Grüße.

Kricki

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hallo,

ich stimme mit Kricki überein, dass Linienintegral, Kurvenintegral und Wegintegral so ähnliche Begriffe sind, dass mit ihnen in der Praxis meistens genau dasselbe gemeint ist.
(Vielleicht sind Linienintegral und Kurvenintegral etwas allgemeinere Begriffe, die auch dann noch exakt sind, wenn die betreffende Kurve keinen Weg im Ortsraum darstellt.)
Alles sind eindimensionale Integrale. (Im Gegensatz z.B. zu Volumenintegralen, bei denen über drei Raumrichtungen integriert wird.)

Um solche Integrale zu berechnen, gibt es für mein Empfinden einfache, mittelschwere und komplizierte Fälle.

Ein einfacher Fall wäre:
Die Linie, über die integriert werden soll, ist eine Gerade, und es stellt sich schnell heraus, dass die Kurve einfach durch den Weg s parametrisiert ist, also die Integrationsvariable einfach s ist und man ein "normales Integral" erhält: (Also z.B. für den Fall, dass die Kraft immer parallel zum Weg gerichtet ist:)

Oft muss man eine Methode finden, den gegebenen Weg so zu parametrisieren, dass man anfangen kann, zu rechnen:

Zum Beispiel für Hubarbeit entlang einer verschlungenen Bergserpentine:

Und die schwierigsten Fälle sind diejenigen, wo man erst ein bisschen nachdenken muss, bevor man eine geeignete Parametrisierung der Kurve findet, die es einem erlaubt, das Wegintegral auszurechnen.
Das kann zum Beispiel ein Winkel sein, der eine Kreisbahn parametrisiert. (Da könnte es dann also sein, dass man das Problem erstmal in Zylinderkoordinaten oder in Kugelkoordinaten umrechnen muss.)
Oder die Zeit für die Bewegung auf einer komplizierten Bahn.

Viele Grüße, dermarkus

tanjaw · Gast

Danke für eure antworten!

Eine Frage hab ich noch: Die Formel, mit der ich die Bogenlänge eines Graphen ausrechne, ist das auch ein Linienintegral? (s.o bei Schrödingers Katze)

danke!

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien