Frage allg Linienintegral

Liberty · Anmeldungsdatum: 08.11.2009 Beiträge: 26

Hallo Leute,
habe eine kurze Frage zur allgemeinen Definition des Linienintegrals.

Ist das Linienintegral immer das Produkt eines Vektors und eines (geschlossenen) Weges entlang dieses Weges, wobei nur die parallelen Komponenten miteinander multipliziert werden?

Danke für Antworten!
Schöne Grüße!

(Habe die gleiche Frage in ein Mathe Forum geschrieben, wusste nicht, wohin es besser passt.)

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Mathe-Forum ist vermutlich sinnvoller.

Allerdings ist das Problem an einem Matheforum, dass dir vermutlich andere Antworten kommen. Mathematisch definiert man Kurvenintegrale auf verschiedene Arten:

1. Über Vektorfelder und (stückweise) stetig diffbare Wegstücke, sozusagen "über zwei Vektoren", wie du das auszudrücken versuchst. Anders gesagt:

Sei

ein VEKTORfeld und

ein stückweise stetig diffbarer parametrisierter Weg, dann ist das Kurvenintegral definiert als:

Dabei ist

der Weg, über den du quasi durch das Vektorfeld gehst. Das setzt du in dein Vektorfeld ein (du musst ja beim Weg auswerten, was an jedem Punkt passiert) und multiplizierst dies Skalar mit der Ableitung.

2. Im Eindimensionalen ähnlich, allerdings ohne inneres Produkt, sondern mitels

3. Mittels so genannter "Pfaffscher Formen" oder "Einsformen". Dabei umfasst die Pfaffsche Form im Grunde die beiden obigen Definitionen. Wenn du willst, kann ich eine Definition rauskramen, allerdings müsste ich wissen, welche Grundlagen du in Linearer Algebra, insb. im Umgang mit dem Dualraum hast.

Gruß
MI

Liberty · Anmeldungsdatum: 08.11.2009 Beiträge: 26

Ok, danke der Antwort!
Ich muss zugeben, das ist mir jetzt doch etwas zu kompliziert. Und auch nicht erforderlich momentan.
Ich benötige eigentlich nicht die verschiedenen exakten Definitionen. Mir würde es reichen lediglich zu wissen, ob ich mit meiner Definition zumindest teilweise richtig lag.
Also kann das Linienintegral (oder auch: Umlaufintegral) S a * db das Produkt eines Vektors a und eines (geschlossenen, beliebigen) Weges b, entlang dieses Weges, wobei nur die parallelen Komponenten von a und b miteinander multipliziert werden bedeuten?
Schöne Grüße!

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Welches mathematische Niveau hast du, wenn ich fragen darf? Bist du an der Uni, in der Schule?

Noch einmal kurz Version Eins zusammengefasst:
Das Kurvenintegral ist das Integral über dem Skalarprodukt eines (parametrisierten) Weges, eingesetzt in ein Vektorfeld (Vektor a bei dir), und der Ableitung des Weges (db).

Wichtig: b muss kein geschlossener Weg sein! Ein geschlossenes Kurvenintegral unterscheidet man auch in der Notation meist mit einem

statt eines normalen

.

Gruß
MI

Liberty · Anmeldungsdatum: 08.11.2009 Beiträge: 26

Ich bin in der Schule (Gymnasium, Klasse 12).
Ok, also dann geht es mir um das geschlossene Kurvenintegral mit der besonderen Notation.

Zur Anwendung kommt meine angesprochene Form des Kurvenintegrals in der Physik beim Ampere´schen Durchflutungsgesetz.

MI · Anmeldungsdatum: 03.11.2004 Beiträge: 828 Wohnort: München

Ah, okay, in der Schule. Dann verstehe ich, dass du mit meinen obigen Definitionen nicht ganz so viel anfangen kannst.

Vielleicht kannst du mir erzählen, wie genau ihr denn da gerechnet habt? Was mein erster Post schon andeutet ist, dass die Notation dort keinesfalls eindeutig ist. Schon ein Skalarprodukt ("nur die parallelen Anteile werden multipliziert") hat verschiedene Notationen.
Hattet ihr das Skalarprodukt schon im Unterricht? Ich vermute nein.

Wie gesagt: Andernfalls musst du den Weg in dein Vektorfeld einsetzen und mit der Ableitung des Weges (skalar)multiplizieren.

Gruß
MI