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regenschein
Gast
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 regenschein Verfasst am: 13. Dez 2009 22:32 Titel: Looping-Fahrt: mathematische Beschreibung gesucht |
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Moin.
Viele kennen ja die Aufgabe, bei der es darum geht, zu berechnen, mit welcher Mindestgeschwindigkeit man in einen kreisrunden Looping fahren muss, um an der Spitze des Loopings nicht herunterzufallen. Die Lösung ist dann  zu setzen bzw. man sagt, dass man für  aus den Schienen fällt.
Nur die Erklärung reicht mir nicht, um sagen zu können, dass ich es verstehe. Ich kann es mir mit den heuristischen Argumenten nicht vorstellen. Deshalb habe ich vor, mir eine mathematisch exakte Beschreibung dieses Vorganges herzuleiten, aber ich brauche dabei Unterstützung.
Theoretisch sollte es doch möglich sein, denn Vorgang unter Angabe von Gesamtenergie, Radius des Loopings und Eingangs- bzw. Hochpunktsgeschwindigkeit vollständig zu beschreiben.
Also ein Objekt fährt unten beim Looping mit dem Radius  in den Looping rein. Vorzugsweise wird mit Polarkoordinaten gerechnet. Wenn die Energie E gegeben ist, kann man daraus den Geschwindigkeitsbetrag (und ggf. seine Änderung) berechnen:
 = r \cdot \sin\phi (t)
<br />
)
Der Ortsvektor des Objektes ist
 \cdot \begin{pmatrix} \cos\phi (t) \\ \sin\phi (t) \end{pmatrix} \\
<br />
\vec{v} = \dot{\vec{x}} = \ldots \\
<br />
\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ldots )
Und hier starten schon die Probleme: um auch berücksichtigen zu können, dass das Objekt ab einer bestimmten Höhe runterfällt, muss ich annehmen, dass der Abstand nicht zeitlich konstant ist, was das ganze sehr verkompliziert.
Wäre froh, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Lg,
regenschein |
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regenschein
Gast
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| regenschein Verfasst am: 15. Dez 2009 19:52 Titel: korrektur |
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Ok, sieht so aus, als ob die Rechnung nicht durchführbar ist. Ich hab mir deshalb nochmal die Standard-Erklärung durch den Kopf gehen lassen.
Also der Fall  mit  am Hochpunkt des Loopings ist noch durchschaubar. Man kann zum Vergleich eine Situation heranziehen, bei der diese zwei Bedingungen ständig gelten, d.h. gelten diese immer, so würde sich der Wagen gleichförmig auf einem Kreis bewegen, das ist klar.
Nun kann man zum eigentlichen Bsp. zurückkehren und folgende "Brille" aufsetzen: man vergisst einmal, dass sich die Schiene nach dem Hochpunkt eigentlich fortsetzt und betrachtet einfach den Wagen im waagrechten Wurf. Die Erdbeschleunigung, die auf den Wagen wirkt, lässt sich in eine Komponente normal und tangential zur Geschwindigkeit zerlegen. Für jeden Zeitpunkt nach Erreichen des Hochpunktes bzw. wenn der Wagen den Hochpunkt verlässt, wirkt daher eine etwas geringere Normalbeschleunigung auf den Wagen und gleichzeitig erhöht sich seine Geschwindigkeit auf grund der Tangentialbeschleunigung. Das heißt, er kann keine Kreisbahn wie in der gleichförmigen Bewegung (siehe Vergleichssituation) durchführen, sondern schießt darüber hinaus (eben die parabel des waagrechten Wurfes), da die erforderliche Zentripetalbeschleunigung zunimmt (größere Geschw.), aber die tatsächliche Normalbeschleunigung abnimmt. Aber zum Glück gibts ja Schienen, die dann mit einer zusätzlichen Normalbeschleunigung den Wagen auf dem Kreis halten.
Damit wär das geklärt.
Nun zu dem Fall, bei dem der Wagen im Hochpunkt eine etwas geringere Geschwindigkeit besitzt, sodass die erforderliche Zentripetalbeschleunigung geringer als die tatsächlich wirkliche ist:
 . Ich mache nun einen ähnlichen Vergleich wie oben: würde auf den Wagen im Hochpunkt (und zu allen späteren Zeitpunkten) die Beschleunigung  wirken, so würde der Wagen eine Kreisbahn beschreiben. Das tut's aber nicht, da die Erdbeschleunigung laut Vorraussetzung größer ist und es auch ein gewisses Zeitintervall lang so bleiben wird (besser gesagt die Normalkomponente von g auf die Geschwindigkeit ist eine Zeit lang größer als benötigt). Erst wenn der Wagen durch den Höhenunterschied ausreichend kinetische Energie erreicht hat, kann
 gelten (N steht für Normalkomponente). Bis zu diesem Zeitpunkt aber ist die Normal- bzw. Zentripetalbeschleunigung zu groß und der Wagen wird auf einen kleineren Radius gezogen, verliert den Kontakt zu den Schienen und fällt runter (waagrechter Wurf), bis der dann weiter unten wieder auf die Schienen aufprallt.
So, ich denke, ich habs nun geschnallt, auch wenn meine Überlegungen aufwendig und übertrieben erscheinen. Vielleicht hab ich auch irgendwo Mist gebaut und jemand mag mich korrigieren oder bestätigen.
Lg,
regenschein
P.S.: vllt mag jemand auch den Titel des Threads passend ändern. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 15. Dez 2009 20:23 Titel: |
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Ich finde, bei solchen Überlegungen tut man sich oft mit Tipps wie den folgenden am leichtesten:
* wenn man rausfinden möchte, wie schnell der Gegenstand im Looping an einem bestimmten Punkt ist, dann findet man das am einfachsten mit Energieerhaltungs-Ansätzen heraus. (Aus der kinetischen Energie am Anfang und der Veränderung der potentiellen Energie zwischendurch kann man die kinetische Energie und damit die Geschwindigkeit am gewünschten Ort ausrechnen.)
* mit deinen Überlegungen zu dem Fall, dass die Geschwindigkeit im obersten Punkt des Loopings größer als nötig ist, bin ich einverstanden.
* falls die Geschwindigkeit nicht groß genug ist, um im obersten Punkt des Loopings im Looping zu bleiben, dann wird der oberste Punkt des Loopings nicht erreicht werden:
- ist die Geschwindigkeit nicht groß genug, um mehr als das erste Viertel des Loopings zu schaffen, dann wird der Körper den Looping einfach wieder nach unten zurückrutschen.
- ist die Geschwindigkeit groß genug, um über das erste Viertel des Loopings hinauszukommen, aber nicht groß genug, um den obersten Punkt des Loopings zu erreichen, dann fängt der Körper an einem Punkt des "zweiten Viertels" des Loopings an, aus der Kreisbahn im Looping in eine Wurfparabel wie im freien Fall überzugehen.
Wo dieser Punkt liegt, kann man ausrechnen, indem man ansetzt, wann die radial nach innen zeigende Komponente der Gewichtskraft größer wird als die Zentrifugalkraft, die mit abnehmender Geschwindigkeit kleiner wird. |
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regeschein
Gast
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| regeschein Verfasst am: 16. Dez 2009 07:24 Titel: |
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Danke erstmal für deine Antwort.
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
- ist die Geschwindigkeit groß genug, um über das erste Viertel des Loopings hinauszukommen, aber nicht groß genug, um den obersten Punkt des Loopings zu erreichen, dann fängt der Körper an einem Punkt des "zweiten Viertels" des Loopings an, aus der Kreisbahn im Looping in eine Wurfparabel wie im freien Fall überzugehen.
Wo dieser Punkt liegt, kann man ausrechnen, indem man ansetzt, wann die radial nach innen zeigende Komponente der Gewichtskraft größer wird als die Zentrifugalkraft, die mit abnehmender Geschwindigkeit kleiner wird. |
Hm, aber was ist mit dem Fall, bei dem der Wagen genug Energie besitzt, um bis zur Spitze zur gelangen, aber schon ein ganzes Stück vorher die Radialkraft größer wird als die Zentripetalkraft?
Bsp.: man kann anhand der Energieerhaltung bestimmen, dass ein Körper mit der richtigen Eingangsgeschwindigkeit an der Spitze des Loopings stehen bleibt:
Wenn das zutrifft, so müsste der Wagen bis zur Spitze gelangen und dort stehen bleiben, Danach fällt er im freien Fall runter. Aber nach deinen Überlegungen müsste er schon früher runterfallen, da ja schon ein ganzes Stück vorher die Radialkomponente der Beschleunigung größer wird als die tatsächlich benötigte Zentripetalkraft.
Wobei, ... , eigentlich wird die Energieerhaltung ja durch deine Überlegung nicht verletzt. Der Wagen kann theoretisch bis nach oben fahren und stehen bleiben und dann runterfallen. Aber die Art und Richtung der Kräfte verhindert das und erzwingt schon vorher eine Umkehrrung.
Lieg ich mit dieser Interpretation richtig? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 16. Dez 2009 12:45 Titel: |
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| regeschein hat Folgendes geschrieben: | Der Wagen kann theoretisch bis nach oben fahren und stehen bleiben und dann runterfallen.
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Das wird er nur dann schaffen, wenn man den Wagen mit seinen Rädern irgendwie an den Schienen festmacht. Denn sonst fällt er ja bereits vorher runter.
| Zitat: |
Aber die Art und Richtung der Kräfte verhindert das und erzwingt schon vorher eine Umkehrrung.
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Du meinst hier wahrscheinlich statt "Umkehrung" eher:
* wenn der Wagen aus dem Looping gezogen wird, während er schon mindestens leicht kopfüber hängt, dann fällt er aus dem Looping (und seine Bahn geht in eine Wurfparabel über)
* wenn der Wagen noch auf seinen Rädern steht (erstes Looping-Viertel), dann kehrt er in der Tat einfach nur um und rollt zurück.
Dann bin ich nun einverstanden  |
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regenschein
Gast
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| regenschein Verfasst am: 16. Dez 2009 20:49 Titel: |
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Danke sehr für deine HIlfe. Denke, ich habs gecheckt, falls nicht, komm ich wieder auf den Thread zurück. |
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