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Formel für nachlassende Helligkeit mit der Distanz gesucht.
 
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Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 09. Jul 2022 20:01    Titel: Formel für nachlassende Helligkeit mit der Distanz gesucht. Antworten mit Zitat

Hallo,

ich bin auf der Suche nach einer Formel mit der man die nachlassende Helligkeit eines Lichtkegels über die Distanz & dem Abstrahlwinkel beschreibt.
Es gibt ja LED Dioden die 60°, 90° oder 120° Abstrahlwinkel haben.
Das 1/r^2 Gesetz gilt aber nur für punktförmige Lichtquellen, die 360° abstrahlen. Das ergibt eine Kugel bzw. eine Kugeloberfläche.
Ich nehme bei der Diode auch eine zentrale punktförmige Lichtquelle an, mit idealem Reflektor.
Wenn ich jetzt 90° Abstrahlwinkel habe, strahlt das Licht in einen Kegel aus der 1/6tel des Volumens der Kugel des 360° Strahlers haben müsste, die Oberfläche am Ende des Kegels müsste auch nur 1/6tel betragen.

Ich möchte also die Formel so erweitern, daß man den Abstrahlwinkel auch noch einträgt, um dann z.B. umstellen zu können, um ausrechnen zu können, ab welcher Distanz eine gleiche Beleuchtungsstärke bei unterschiedlichem Abstrahlwinkel vorliegt.

Meine Idee:
Die Strahlungsintensität I
Der Abstrahlwinkel a
I=1/r^2 *(360°/a)
Leider stimmt das nicht Hammer Bei 180° ist das Ergebnis korrekt, aber bei 90° kommt 4 heraus, obwohl es 6 sein müsste. Der Abstrahlwinkel ist 2-dimensional, aber der Lichtkegel dreidimensional. Wie kann man das umrechnen?
Frankx



Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985

Beitrag Frankx Verfasst am: 09. Jul 2022 20:40    Titel: Antworten mit Zitat

Entscheidend ist die Fläche, auf welche das Licht fällt. An Stelle der Kugeloberfläche mit Abstand r muss man nun die Kreisfläche des Bodens des Kegels der Höhe r ansetzen.


.
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 09. Jul 2022 22:46    Titel: Antworten mit Zitat

Nur wie berechne ich das? Es ist streng genommen ja keine Kreisfläche, da die Fläche leicht gewölbt ist. Was wiederum zu leicht mehr Fläche führt.
Deswegen wollte ich mit einem Bruchteils des Volumen der Kugel rechnen. Ist es nicht möglich, von dem Abstrahlwinkel ein Verhältniss zu bilden?
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 09. Jul 2022 23:12    Titel: Antworten mit Zitat

Volumen Kugelausschnitt:
V=(2*Pi/3)*r^3*(1-cos(Winkel))

Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelausschnitt?wprov=sfla1

Leider wird dort in der Zeichnung der Winkel nicht dargestellt, obwohl darauf verwiesen wird. Kann ich davon ausgehen, daß die der Winkel ist der von dem Zentrum ausgeht und die Kwgelspitze bildet? Weil das wäre nämlich auch der Abstrahlwinkel.

r wäre dann der Messpunkt wo man den Sensor des Luxmeters positioniert.

Das Volumen der Kugel geteilt durch das Volumen des Kugelauschnittes ergäbe dann ein Co-Faktor C um die Intensität proportional zu erhöhen:
I=(1/r^2)*C

Ist der Denkansatz so richtig?

Weil, ich habe die Fläche nicht. Ich habe Abstrahlwinkel & Messdistanz.
Frankx



Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 985

Beitrag Frankx Verfasst am: 09. Jul 2022 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

Bei kleinem Winkel könnte man die Wölbung vernachlässigen und mit einer Kreisfläche rechnen.
Ansonsten müsste man den entsprechenden Teil der Kugeloberfläche betrachten.

Das Volumen des Kugelausschnittes spielt dagegen keine Rolle.



.
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 09. Jul 2022 23:30    Titel: Antworten mit Zitat

Volumen Kugel:
V = 4/3 * Pi * r^3

Volumen Kugelausschnitt:
V = (2*Pi/3) * r^3 * (1-cos(Winkel))

Abstandsquadratgesetz: (360° Punktstrahler)
I = 1/r^2

Zusammen:
I = 1/r^2 * [(4/3 * Pi * r^3) / (2*Pi/3) * r^3 * (1-cos(Winkel))]

Ist das so überhaupt richtig ausgeschrieben?
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 09. Jul 2022 23:58    Titel: Antworten mit Zitat

Frankx hat Folgendes geschrieben:
Bei kleinem Winkel könnte man die Wölbung vernachlässigen und mit einer Kreisfläche rechnen.
Ansonsten müsste man den entsprechenden Teil der Kugeloberfläche betrachten.

Das Volumen des Kugelausschnittes spielt dagegen keine Rolle.



.

120, teilweise sogar 140° sind aber keine kleinen Winkel.

Ich glaube, die oben gebastelte Formel enthält einen Fehler. Der Winkel O0 scheint nur die Hälfte des Abstrahlwinkels zu beschreiben.

I = 1/r^2 * [(4/3 * Pi * r^3) / (2*Pi/3) * r^3 * (1-cos(2*O0))]

Man könnte es auch über die Kugeloberfläche / Kugelsegmentoberfläche berechnen:

I = 1/r^2 * [(4 * Pi * r^2) / (2 * Pi * r^2) * (1 - cos (2*O0) + 1/2 sin^2 * (2*O0))]

ahhh ich glaube ich habe nen Fehler drin, der Winkel wie auf
https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelsegment?wprov=sfla1
angegeben stellt nur die Hälfte des Abstrahlwinkels einer Diode dar. Folglich müsste ich den Abstrahlwinkel hälfteln damit die Formel stimmt, nicht wahr?

Also:
(Oa = Abstrahlwinkel der Diode)
I = 1/r^2 * [(4/3 * Pi * r^3) / (2*Pi/3) * r^3 * (1-cos(Oa/2))] über Volumen

I = 1/r^2 * [(4*Pi*r^2) / (2*Pi*r^2) * (1-cos(Oa/2) + 1/2sin^2*(Oa/2))] über Fläche

Morgen mal schauen, ob das gleiche Ergebnisse liefert.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5914

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Jul 2022 08:17    Titel: Antworten mit Zitat

Siehe hier.

Bei einem Öffnungswinkel müsste die Intensität um den Faktor erhöht sein gegenüber einer Diode, die isotrop in alle Richtungen, also den vollen Raumwinkel , abstrahlt. Bei 90° ergäbe das allerdings etwa 6.8, nicht 6.
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 10. Jul 2022 12:06    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, ist das die Formel?

Bei mir kommt ~2.6 heraus unglücklich
Wie geb ich denn Sinus^2 in den Taschenrechner ein?
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 10. Jul 2022 12:08    Titel: Antworten mit Zitat

Ah nach der Klammer.
Ergebniß:
6,8284271247461
Kassiopeija



Anmeldungsdatum: 26.06.2015
Beiträge: 146

Beitrag Kassiopeija Verfasst am: 10. Jul 2022 12:20    Titel: Antworten mit Zitat

Bei 120° Abstrahlwinkel kommt dann 4 heraus. Wie wird denn diese Zahl richtigerweise benannt?

Die Formel wäre dann:
1÷(sin(Öffnungswinkel÷4)^2)

140°=~3.04
120°=4
90=~6.83
60°=14.93

und zur Kontrolle
180°=2
360°=1

Ja, das passt! Vielen Dank!! Die Formel ist sogar simpler smile
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