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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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 Veryyy Verfasst am: 08. Sep 2009 14:44 Titel: Integralrechnung: Arbeitsintegrale berechnen |
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Hallo, ich stecke gerade etwas bei der Integralrechnung fest...
Bin bei folgender Aufgabe:
In dem homogenen Kraftfeld F=( 1 , 6 , 2 )
wird ein Körper längs der Kurve
=(r_0+te_x)) von dem Punkt =r_0)
zum Punkt r (2) gebracht. Wie groß ist
die aufzuwendende Arbeit?
b) Das radialsymmetrische Kraftfeld sei F=(x,y,z) Ein Körper werde in diesem Kraftfeld längs der x-Achse vom Koordinatenursprung zum Punkt P (5,0,0)
gebracht. Berechnen Sie die geleistete Arbeit.
zur a)
Also ich weiß, dass 
Für F kann ich ja nun ^T ) also den Vektor transponiert einsetzen.
Dann brauche ich aber noch dr... Kann ich dr einfach als die Differenz zwischen dem Anfangs und dem Endpunkt ansehen, egal auf welchem Weg ich dorthin gelangt bin?
Dann wäre hier ^T - (0, 0 ,0)^T= (5, 0,0))
Nun würde ich diese beiden Vektoren ganz normal multiplizieren, also 
Aber ich habe ja noch das Integral davor stehen... Wie muss ich das denn nun berücksichtigen?
bei b) habe ich genau das gleiche Problem Hier komme ich auf 5x habe aber wieder das Integral davor stehen...
Gruß
Veryyy |
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MrPSI
Gast
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| MrPSI Verfasst am: 08. Sep 2009 17:53 Titel: Re: Integralrechnung: Arbeitsintegrale berechnen |
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| Veryyy hat Folgendes geschrieben: |
zur a)
Also ich weiß, dass
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Das ist nur eine abkürzende Schreibweise, die die prinzipielle Vorstellung dahinter klarmachen soll. Damit man damit rechnen kann, braucht es noch etwas Vorarbeit.
Wie in dieser Aufgabe geht man von einer parametrisierten Kurve aus. In diesem Fall ist das die Kurve bzw. Gerade =r_0+t\cdot e_x) im Bereich von  .
Die Ableitung dieser Kurve ist ja  = \frac{\dd r(t)}{\dd t}) . Wir formen das nun naiv und unmathetisch (!) zu  \cdot \dd t) um und setzen in das obige Integral ein. Damit erhalten wir
 \dd r = \int_0^2~F(t) \cdot \dot r(t)~\dd t)
Mit dieser Umformung erhalten wir eine Gleichung mit der man arbeiten kann. Ich habe es mir erlaubt gleich die passende untere und obere Grenze einzusetzen. Das sind die Grenzen des Parameterintervalls. Damit sollte sich auch eine Frage weiter unten geklärt haben.
| Zitat: |
Für F kann ich ja nun also den Vektor transponiert einsetzen.
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Ja, man kann.
| Zitat: |
Dann brauche ich aber noch dr... Kann ich dr einfach als die Differenz zwischen dem Anfangs und dem Endpunkt ansehen, egal auf welchem Weg ich dorthin gelangt bin?
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Das dr ist nur eine formale Schreibweise und taugt nicht gut zum Rechnen. Und wie du bereits gut erkannt hast, bleibt die Frage nach dem Weg, auf dem man vom Anfangs- zum Endpunkt gelangt. Es gibt Spezialfälle, in denen der Weg gleichgültig ist (das hängt vom Kraftfeld ab; der Fachausdruck lautet dafür Gradienten- oder Potentialfeld), aber das ist im Allgemeinen nicht der Fall.
Die Aufgabe ist jedoch so einfach gestellt, dass es hier zutrifft und der Integrationsweg egal ist.
| Zitat: |
Dann wäre hier
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Woher nimmst du diese Angabe? Sie stammt offensichtlich aus Teil b) und ist damit nicht korrekt.
| Zitat: |
Nun würde ich diese beiden Vektoren ganz normal multiplizieren, also
Aber ich habe ja noch das Integral davor stehen... Wie muss ich das denn nun berücksichtigen?
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Ja, du kannst das Skalarprodukt  \cdot \dot r(t)) des Kraftvektors und der Ableitung der Kurve bilden. Danach erhälst du eine Zahl (ein Skalar) bzw. eine skalare Funktion, die du ganz gewähnlich von 0 bis 2 integrieren kannst. Beherrscht du die Integration?
| Zitat: |
bei b) habe ich genau das gleiche Problem Hier komme ich auf 5x habe aber wieder das Integral davor stehen...
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Du gehst genauso vor wie bei a) nur gibt es einen kleinen Unterschied: der Kraftvektor ist nicht mehr konstant.
Überlege: wie sieht der Kraftvektor längs der gesuchten Kurve aus? Wie lautet die Parameterdarstellung der Kurve?
Mfg,
MrPSI |
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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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| Veryyy Verfasst am: 08. Sep 2009 19:17 Titel: |
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Vielen Dank für die Antwort 
Ich habe schon etwas mehr verstanden, allerdings immer noch ein paar Probleme:
| Zitat: | Wir formen das nun naiv und unmathetisch (!) zu =r_0+t*e_x) um und setzen in das obige Integral ein. Damit erhalten wir dr=\int^{2}_{0} F(t)*\dot{r(t)} dt ) |
Du hast hier r(t) eingesetzt. Das ist mir auch klar. Aber du hast auch F(r) in F(t) umgeschrieben. Darf man das machen, dass F nun von t abhängt, weil über t integriert wird? Oder muss man das sogar immer machen?
| Zitat: |
Zitat:
Woher nimmst du diese Angabe? Sie stammt offensichtlich aus Teil b) und ist damit nicht korrekt. |
Da hast du recht.. hab ich mich verguckt.. Ich brauche jetzt aber die Ableitung von r(t). Hier müsste ich dann }=(2,0,0) ) einsetzen, oder? Weil ich ja um (2 , 0 , 0 ) verschiebe... oder mus sich hier explizit ableiten? Wenn ich das nach t ableite, bleibt doch nur e_x übrig.
Ich setze das mal ein.
Dann erhalte ich
 \dot{r}(t)dt )
Ja, ich denke ich kann integrieren...
ich leite das ganze auf und erhalte
 e_x * t]_{0}^{2} = F(t) *e_2*2-F(t)*e_x*0 )
Der zweite Term fällt weg, weil er null ist. Jetzt setze ich F(t) =(2,6,1) und e_x=(1,0,0,) ein und erhalte
(1,0,0)*2= (2,6,1)(2,0,0)=4)
Stimmt das so?
Ich habe aber noch Probleme mit dem dt bzw dr alleine.. ich kann mir nicht so ganz vorstellen, für was es steht, weil ich es nur als Teil der Ableitung kenne.. Ok, man kann damit unmathematisch rechnen, aber hat es auch eine anschauliche Bedeutung?
Hätte ich es nämlich als dr=(2,0,0) angesehen, weil das die Verschiebung ist, wäre ich auf genau das gleiche Ergebnis gekommen. Oder hängt das damit zusammen, dass hier der Weg nicht wichtig ist, ich also auf das gleiche Ergebnis komme.
Und dass es erst dann einen Unterschied macht, wenn der Weg den ich gehe wichtig ist?
Und woran erkenne ich, wenn ich den Weg mit einbeziehen muss?
ok, jetzt zur b)
Hier muss ich die Parameterdarstellung ja erst herausfinden.
Ich würde sagen
 = 0+ t(e_x, e_y, e_z) )
Damit wäre =(e_x, e_y, e_z) )
Nun wieder
 \dot{r}(t)dt )
Allerdings gehe ich ja nur bei x von 0 bis 5, bei y und z verändert sich ja gar nichts... wie kann ich das denn in die Rechnung mit einbringen? Denn wenn ich jetzt aufleite, erhalte ich
 (e_x,e_y,e_z) * t]_{0}^{5} = F(t) *(5e_y, 5e_y, 5e_z)= x*5e_x+ y*5e_y+z*5e_z)
Kann ich nun da wir bei e_y und e_z um 0 verschieben, dafür einfach 0 einsetzen?
Dann würde ich W= erhalten.
Kann ich dann daraus schließen, dass ich 5x Joule an Arbeit aufbringen muss?
Jetzt noch eine letzte Frage: Ist hier der Weg den ich gehe wieder egal?
Gruß
Veryyy |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 08. Sep 2009 20:12 Titel: |
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Vorsicht: Für b) ist die Parameterdarstellung
 = (t, 0, 0)^T)
also
Und ja: bei radialsymmetrischen Kräften ist der Weg immer egal.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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MrPSI
Gast
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| MrPSI Verfasst am: 11. Sep 2009 23:20 Titel: EE |
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Hi.
Ich bitte vielmals um Verzeihung, dass ich hier erst so spät wieder antworte. Obwohl ich mich seit Kurzem wieder fast jeden Tag einlogge, hab ich nicht gesehen, dass hier geschrieben wurde.
| Veryyy hat Folgendes geschrieben: |
Aber du hast auch F(r) in F(t) umgeschrieben. Darf man das machen, dass F nun von t abhängt, weil über t integriert wird? Oder muss man das sogar immer machen?
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Ja, da hast du recht. Korrekterweise müsste ich von ) nach )) wechseln, denn die Kraft ist abhängig vom Ort und der Ort wiederum abhängig vom Parameter t (man kann es Zeit nennen).
Ob man nun über t integrieren muss, wage ich nicht zu behaupten, weil mir derzeit meine Analysis-Unterlagen fehlen, aber man darf über t integrieren. In meiner Analysis-Vorlesung hat man dieses \dd \vec{r}) nur als eine formale "Abkürzung" für ) \cdot \dot{\vec{r}}(t)~\dd t) im Parameterbereich  verwendet. Man darf hier sicher so rechnen.
| Zitat: |
Hier müsste ich dann einsetzen, oder? Weil ich ja um (2 , 0 , 0 ) verschiebe... oder mus sich hier explizit ableiten? Wenn ich das nach t ableite, bleibt doch nur e_x übrig.
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Ja, hier wird explizit abgeleitet und es kommt  raus. Das passt schon so.
| Zitat: |
Ja, ich denke ich kann integrieren...
ich leite das ganze auf und erhalte
Der zweite Term fällt weg, weil er null ist. Jetzt setze ich F(t) =(2,6,1) und e_x=(1,0,0,) ein und erhalte
Stimmt das so?
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Ja, die Rechnung und das Ergebnis sind korrekt. 
| Zitat: |
Ich habe aber noch Probleme mit dem dt bzw dr alleine.. ich kann mir nicht so ganz vorstellen, für was es steht, weil ich es nur als Teil der Ableitung kenne.. Ok, man kann damit unmathematisch rechnen, aber hat es auch eine anschauliche Bedeutung?
Hätte ich es nämlich als dr=(2,0,0) angesehen, weil das die Verschiebung ist, wäre ich auf genau das gleiche Ergebnis gekommen. Oder hängt das damit zusammen, dass hier der Weg nicht wichtig ist, ich also auf das gleiche Ergebnis komme.
Und dass es erst dann einen Unterschied macht, wenn der Weg den ich gehe wichtig ist?
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Woa, so viele Fragen auf einmal. Dann mal los ... :-)
Für diese Fragestellung ist es nicht wichtig zu wissen, ob verschieden Kurven/Wege verschiedene Ergebnisse liefern, denn beide Methoden - das Integral über t und das Skalarprodukt mit dr=(2,0,0) benutzen denselben geradlinigen Weg =\vec{r}_0+t \cdot \vec{e}_x) .
Wenn ich das richtig verstehe, interessiert es dich warum beide Methoden hier zum selben Ziel führen.
Ich beginne mal mit der anschaulichen Bedeutung von  bzw. ) \cdot \dot{\vec{r}}(t)~\dd t) . Im Grunde sind die  bzw.  lediglich unendlich kurze Weg- bzw. Parameter/Zeitstückchen.
Stell dir mal wie in den vorigen Aufgaben ein geladenes Teilchen vor, dass sich in irgendeinem beliebigen (elektrischem) Kraftfeld entlang eines beliebigen Weges C bewegt. Der Weg kann krummlinig und das Kraftfeld muss nicht homogen sein. Das heißt, in jedem Punkt  des Raumes herrscht ein anderer Kraftvektor vor.
Problemstellung: wie berechnet man die physikalische Arbeit, die das Kraftfeld an dem Teilchen während des Durchlaufens des Weges verrichtet?
Lösung: Man teilt die Kurve in kleine (geradlinige!) Wegstücke  längs derer die Kraft nahezu konstant bleibt. Während eines solchen Wegstückes beträgt die verrichtete Arbeit definitionsgemäß  \cdot \Delta \vec{r}) . Die gesamte Arbeit längs der Kurve C kriegt man, indem man die Summe bildet:  \cdot \Delta\vec{r}) . Wenn man nun die Wegstücke immer kleiner macht - man bildet praktisch den Limes - dann erhält man den exakten Wert in Form eines Integrals:
\cdot \dd\vec{r})
Und über die "anschauliche" Gleichung  \cdot \dd t) kann man eben zur Formel
)~\dot{\vec{r}}(t)~\dd t)
gelangen, wobei hier T einfach den Parameterbereich angibt.
Mit den Fragen, warum solche Integrale überhaupt definiert und eindeutig sind und wie und warum man von einer Gestalt/Schreibweise zur anderen gelangen kann, damit beschäftigen sich die Mathematiker. Dazu darf man richtig in die Formalismus-Kiste greifen und leider habe ich nicht meine Unterlagen zur Hand um dir das ein wenig zeigen zu können.
Soviel zur Anschaulichkeit. Nun zeige ich dir, warum bei beiden Methoden dasselbe rauskommen muss. Also die Formel  , die du anwenden wolltest, heißt soviel wie "Kraftkomponte in Wegrichtung mal Weglänge" und gilt in dieser Form nur (!) für homogene Kraftfelder und längs gerader Wege. In deinem Fall war  .
Wenn man das verallgemeinern will, damit man auch die Arbeit in inhomogenen Kraftfeldern längs krummliniger Wege berechnen kann, dann gelangt man zur obigen Integraldarstellung. Natürlich muss die Integralschreibweise auch für so simple Spezialfälle wie die Aufgabe a) gelten, ansonsten stimmt da was nicht im Formalismus.
Und es gilt auch, wie man leicht zeigen kann. Für die folgende Rechnung nehmen wir an, dass das Kraftfeld homogen ist und sich das Teilchen längs einer Gerade =r_0+t \cdot \vec{s}) in Richtung eines beliebigen Vektors  im Bereich bewegt. Dann ist:
) \cdot \dot{\vec{r}}(t)~\dd t = \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}}(t) \cdot \int_{t_a}^{t_e}~\dd t = \vec{F} \cdot \underbrace{\dot{\vec{r}}(t) \cdot \underbrace{(t_e-t_a)}_{\Delta t}}_{\Delta \vec{r}} = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}) .
Beachte, dass sich der Kraft- und Ableitungsvektor aus dem Integral herausziehen lassen, weil diese konstant sind. Und man sieht, es kommt genau das Gewünschte heraus :-)
| Zitat: |
Und woran erkenne ich, wenn ich den Weg mit einbeziehen muss?
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In deinen Aufgaben ist der Weg ohnehin vorgegeben, also deswegen musst du dir keine Gedanken machen. Aber es gibt ein Kriterium mit dem man feststellen kann, ob der Weg in einem Kraftfeld gleichgültig ist.
Ich hänge noch eine detailliertere Erklärung ganz am Schluss dieses Postes an, aber zuerst einmal gehen wir zur Aufgabe b).
b)
Du hast dich da ein wenig verrechnet. schnudl hat dich schon darauf hingewiesen. Ein wenig genauer:
=\vec{e}_x=(1,0,0)) . Damit ist ) \cdot \dot{\vec{r}}(t)=t) . Alles weitere hat schnudl schon hingeschrieben.
Anhang:
Es wird ein wenig mathematischer, also wenn es dich nicht interessiert, dann musst du nicht weiterlesen.
Ein Kraftfeld muss ein Potential- oder Gradientenfeld sein, damit der Weg egal ist. Ein Kraftfeld ist mathematisch betrachtet ein Vektorfeld, d.h. jedem Raumpunkt wird ein 3-dimensionaler Vektor zugeordnet:
Vektorfeld: ) .
Ein weiteres Beispiel für ein Vektorfeld ist auch eine Flüssigkeitsströmung, da jedem Punkt/Teilchen eine Geschwindigkeit zugeordnet wird.
Nun gibt es noch den Begriff des Skalarfeldes. Ein Skalarfeld ordnet jedem Raumpunkt eine Zahl zu:
Skalarfeld: )
Ein Beispiel dafür ist ein Temperaturfeld, weil jedem Raumpuntk eine Temperatur zugeordnet werden kann.
Die Arbeit, die das Kraftfeld an einem Teilchen längs einer Kurve verrichtet, ist wegunabhängig - der Weg ist also wurscht - , falls das Vektorfeld das Gradientenfeld eines Skalarfeldes ist.
Um das zu verstehen, musst du noch den Begriff des Gradienten kennenlernen. Du hast ja gesehen, dass das Skalarfeld von x,y und z abhängt. Nun kannst du die partiellen Ableitung davon bilden, also  bilden. Ein partielle Ableitung bilden heißt soviel wie, du leitest ganz gewöhnlich nach einer Variable ab und lässt die anderen konstant.
Der Gradient erhälst du nun, indem du die partiellen Ableitungen als Vektor zusammenfasst:
 .
Ein Beispiel: betrachte das Skalarfeld =x^2+y^2+z^2) , d.h. jedem Raumpunkt wird sein Abstand vom Ursprung zugeordnet.
Wenn ich nun die partielle Ableitung  bilde, dann tue ich so, als ob x variabel und y und z nur Konstanten sind.
Demnach erhalte ich: 
Und weiter:  sowie  .
Das Gradientenfeld ist also  .
Zusammengefasst: Ein Kraftfeld ist dann wegunabhängig, falls es ein Skalarfeld ) gibt, sodass =\operatorname{grad}\left( \Phi(x,y,z) \right))
Das muss man jetzt nicht sofort verstanden haben. Da steckt schon richtig Mathe dahinter und man könnte das auch ein wenig detaillierter angehen. Meine Beschreibung ist nicht komplett und man muss auf ein paar Feinheiten Acht geben, aber ich wollte mal, dass du zumindest davon gelesen hast und vielleicht habe ich auch ein wenig deine Neugier geweckt.
Mfg,
MrPSI |
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Veryyy
Anmeldungsdatum: 14.08.2009
Beiträge: 142
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| Veryyy Verfasst am: 12. Sep 2009 13:06 Titel: |
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woow, vielen Dank für die total ausführliche Antwort... Ich hab alles gelesen, natürlich auch den Anhang  studiere nämlich nebenher noch Mathe, also interessiert mich das natürlich auch...
Also ich habe den Großteil verstanden Werde jetzt nochmals über den Rest meditieren und melde mich dann nochmals, falls ich noch Fragen habe.
Danke nochmals.. echt super dass du auf alle meine Fragen eingegangen bist. |
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