| Autor |
Nachricht |
Senate
Anmeldungsdatum: 25.11.2008
Beiträge: 85
|
 Senate Verfasst am: 25. Jan 2009 16:08 Titel: Kraftfeld |
 |
|
Gegeben ist das Kraftfeld
 = \begin{pmatrix} cyz\sin(cxy) \\ cxz\sin(cxy) \\ - \cos(cxy) \end{pmatrix})
(a) Zeigen Sie durch Berechnung von  x  , dass konservativ ist.
(b) Das zugehörige Potential ) sei im Ursprung nominiert:  = 0) . Berechnen
Sie durch Integration des Kraftfeldes entlang
(i) eines möglichst geschickt gewählten Weges.
(ii) entlang der direkten Verbindungslinie (0, 0, 0)  (x, y , z).
(c) Berechnen Sie) und vergleichen Sie das Ergebnis mit .
Also a) war kein Problem, da bekomme ich 0 raus und somit ist es ein konservatives Kraftfeld! Aber ich verstehe leider nicht genau was bei b) gemeint ist? Ihr habt mir jetzt schon soviel geholfen dieses Wochenende, hoffe ich übertreibe nicht so langsam! Trotzdem Danke im Voraus |
|
 |
Zepto
Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323
|
| Zepto Verfasst am: 25. Jan 2009 18:05 Titel: Re: Kraftfeld |
|
|
| Senate hat Folgendes geschrieben: |
(b) Das zugehörige Potential sei im Ursprung nominiert: . Berechnen
Sie durch Integration des Kraftfeldes entlang
(i) eines möglichst geschickt gewählten Weges. |
Hmm, hier weiß ich auch nicht, wie man das allgemein berechnen soll, wenn man einen betimmten weg wählt.
Was mir nur auffällt ist, dass das potenzial linear von z abhängen wird und sich mit x und y periodisch ändert.
| Senate hat Folgendes geschrieben: | (ii) entlang der direkten Verbindungslinie  \rightarrow (x_1, y_1 , z_1)) . |
Hier musst du dieses Integral ausrechnen, wenn ich mich nicht täusche:
 = \int\limits_{\vec{0}}^{\vec{r}_1} \, \vec{F}(\vec{r}) \, \operatorname{d}\vec{r} )
Wo haperts denn da?
Falls ich mist geschrieben habe bitte korrigieren. Ich hatte das in der Schule noch nicht. 
| Senate hat Folgendes geschrieben: | (c) Berechnen Sie und vergleichen Sie das Ergebnis mit .
|
Hast du schon eine Idee, was hier herauskommen muss?
Gruß
Zepto |
|
|
Senate
Anmeldungsdatum: 25.11.2008
Beiträge: 85
|
| Senate Verfasst am: 25. Jan 2009 18:46 Titel: |
|
|
|
was ich bei c) machen muss weiss ich, einfach mit dem nabla-operator ableiten, doch um das jetzt rechnen zu können bräuchte ich allerdings die lösung von b)! ich habe mal einfach integriert, aber auch nur eine ganz gewöhnliche integration, und auch nur auf eine weise, mein problem ist das mit dem geschickt gewählten weg, habe keine ahnung was das bedeuten soll |
|
|
Zepto
Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323
|
| Zepto Verfasst am: 25. Jan 2009 19:19 Titel: |
|
|
| Senate hat Folgendes geschrieben: | | was ich bei c) machen muss weiss ich, einfach mit dem nabla-operator ableiten, doch um das jetzt rechnen zu können bräuchte ich allerdings die lösung von b)! |
ich habe nur gefragt, ob du schon eine Vermutung hast. Was bekommt man denn, wenn man den negativen Gradienten (  ) von deinem Potentialfeld bestimmt, das du durch Integration aus dem konservativen Kraftfeld F gewonnen hast? 
| physikmeister hat Folgendes geschrieben: | | ich habe mal einfach integriert, aber auch nur eine ganz gewöhnliche integration, und auch nur auf eine weise, mein problem ist das mit dem geschickt gewählten weg, habe keine ahnung was das bedeuten soll |
Den geschickten Weg weiß ich auch gerade nicht zu deuten. Lass uns also erstmal den teil ii) machen. Was bekommst du als Lösung für dein Integral? Vergiss nicht, dass F und r Vektoren sind.
Gruß
Zepto |
|
|
Senate
Anmeldungsdatum: 25.11.2008
Beiträge: 85
|
| Senate Verfasst am: 25. Jan 2009 20:20 Titel: |
|
|
logischerweise müsste dabei wider das gegebene Kraftfeld dabei rauskommen, da Integration und Ableitung sich ja Aufheben!
Also da erhalte ich
=\begin{pmatrix}- zcos(cxy) \\ - zcos(cxy) \\ -zcos(cxy) \end{pmatrix} ) |
|
|
Zepto
Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323
|
| Zepto Verfasst am: 25. Jan 2009 22:18 Titel: |
|
|
Also das ist auf jeden Fall falsch.
Du bekommst ja einen Vektor für ein Skalarfeld raus.
guck mal hier um zu sehen, wie das mit der Integration geht.
Gruß
Zepto |
|
|
Senate
Anmeldungsdatum: 25.11.2008
Beiträge: 85
|
| Senate Verfasst am: 26. Jan 2009 10:13 Titel: |
|
|
also habe jetzt noch mal alles nach gesehen und erhalte jetzt für das Potential:
= - z (3*cos(cxy)-2) )
somit erhalte ich dann bei c):
= \begin{pmatrix} - 3*sin(cxy)cyz \\ - 3*sin(cxy)cxz \\ 3*cos(cxy) + 2 \end{pmatrix})
könnte das jetzt in etwa stimmen? |
|
|
Zepto
Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323
|
| Zepto Verfasst am: 27. Jan 2009 15:46 Titel: |
|
|
Sorry. Eigentlich wollte ich gestern noch antworten, hatte aber einen langen tag und meine Festplatte hatte dann noch was gegen mich. 
"In etwa" stimmt das ja. Das Prinzip und die "Form" ist sozusagen schon mal richtig. Deine Kraft wird aber ja nicht wieder gleich.
Wenn ich mich nicht irre, rechnet man das integral aber so aus:
 \, \operatorname{d}\vec{r} = \int\limits_{x_1}^{x} \, F_x(t {,} y_1{,} z_1) \, \operatorname{d}t + \int\limits_{y_1}^{y} \, F_y(x{,} t{,} z_1) \, \operatorname{d}t + \int\limits_{z_1}^{z} \, F_z(x {,} y{,} t) \, \operatorname{d}t)
mit 
und 
Das hat was mit Kurvenintegralen zweiter Art oder so zu tun. Vielleicht guckst du mal in deinem Mathebuch nach.
Dummerweise komme ich dann aber mit dem Minusvorzeichen beim negativen Gradienten nicht hin. Also brauche ich gerade selber unterstützung.
Irgendwo muss da noch ein Fehler sein.
Gruß
Zepto |
|
|
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 27. Jan 2009 19:10 Titel: |
|
|
Also über wenn man den direkten Weg parametrisiert, könnte man es beispielsweise so rechnen:
Als Parametrisierung der Kurve C:
Und dann als Kurvenintegral:
Mit scharfem Hinsehen auf die Komponenten kommt man da aber schneller hin. ^^
Offenbar können die Funktionen C1, C2 und C3 identisch Null sein, so dass alle drei partiellen Ableitungen die gewünschten Kraftkomponenten liefern.
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
Zepto
Anmeldungsdatum: 03.10.2007
Beiträge: 323
|
| Zepto Verfasst am: 27. Jan 2009 19:41 Titel: |
|
|
| para hat Folgendes geschrieben: |
Und dann als Kurvenintegral: &=& -\int \limits_{\mathcal C} \vec F (\vec r) \, \dd \vec r ) |
 wenn ich den negativen gradienten nehme, muss ich beim Integrieren natürlich auch die -1 mitnehmen. Klar! Dann komme ich auf das gleiche Ergebnis wie para mit meinem Integral.
Also  = z \cdot \cos{(cxy)} )
Was aber nun mit dem geschickten Weg gemeint ist weiß ich nicht. Kann es sein, dass das was mit paras C's zu tun hat?
Gruß
Zepto |
|
|
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 27. Jan 2009 20:22 Titel: |
|
|
Na ja, das C ist ja nur die Bezeichnung für die Kurve über die man integriert. In meinem Fall also die in ii) geforderte direkte Verbindungslinie.
Geschickt gewählte Wege führen ja eigentlich entlang und senkrecht zu Äquipotentiallinien, um das Wegintegral zu vereinfachen. So offensichtlich ist das hier meiner Meinung nach nicht, aber folgender Integrationsweg parallel zu den Koordinatenachsen scheint relativ günstig:
Die Arbeit auf Weg (I) lässt sich leicht berechnen, auf dem Weg (II) wird keine Arbeit verrichtet, und für den letzten Abschnitt ist das Integral auch recht angenehm. Die Summe der Arbeiten für (I) und (II) liefert dann gerade das Potential.
Vielleicht geht es aber noch eleganter und ich seh' bloß gerade nicht wie. ^^
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
