| Autor |
Nachricht |
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
 Felipe Verfasst am: 30. Dez 2008 15:37 Titel: Homogen geladener Kreisring |
 |
|
Hallo miteinander,
ich habe mal wieder ein paar Fragen bezüglich meiner Physik Aufgaben.
Gegeben ist folgende Situation:
Ein homogen geladener Kreisring (Radius a, Gesamtladung q, Ringquerschnitt vernachlässigbar klein)
liege in der xy-Ebene. Wegen der axialen Symmetrie gilt für das skalare Potential in sphärischen
Koordinaten φ(r)= φ(r,θ).
Dazu soll zunächst folgendes gerechnet werden:
a) Auf der z-Achse (θ=0) gilt offenbar exakt (ESU-Einheiten): φ(r=z) = q/Sqrt(r^2+a^2) . Entwickeln Sie
φ(r=z) algebraisch in eine Potenzreihe nach r (r<a) bzw. 1/r (r>a) bis zur Ordnung 4 bzw. 5.
wie muss ich denn da vor gehen?
Danke schonmal im voraus für eure hilfe! |
|
 |
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 30. Dez 2008 16:43 Titel: |
|
|
Na wenn das Potential gegeben ist, sollst du es für sehr kleine r und sehr große r (kleine 1/r) in eine Potenzreihe entwickeln.
Für kleine r bietet sich obige Form an, für die Entwicklung nach 1/r bietet sich das etwas umgeschrieben sicher klarer an:
Und das eben jeweils bis zur gewünschten Potenz entwickeln (Stichwort Taylor-Entwicklung).
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
| Felipe Verfasst am: 30. Dez 2008 19:04 Titel: |
|
|
das war ja schonmal sehr hilfreich 
hab dann auch mal angefangen..
}} )
 ist dann das potential für sehr kleine r und  das potential für sehr große r.
Jetzt habe ich um 0 entwickelt:
und um  :
ist das denn soweit korrekt? |
|
|
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 30. Dez 2008 19:09 Titel: |
|
|
Ja, ich hab's nicht genau nachgerechnet, aber es sieht gut aus.
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
| Felipe Verfasst am: 30. Dez 2008 21:08 Titel: |
|
|
super 
dann kommt natürlich noch die aufgabe b) 
 = \sum\limits_n \left[\left(A_n r^n +B_n r^{-(n+1)}\right) P_n(\cos(\theta))\right]) stellt die allgemeine Lösung in axialer Symmetrie für beliebige
Punkte r dar. Dabei bezeichnet ) die Legendre-Polynome. Bestimmen Sie die Koeffizienten  ,
 (n=0,1,2,3,4) algebraisch durch Koeffizientenvergleich mit a).
wir sollen übrigens für alle Berechnungen Mathematica benutzen, also nicht wundern, wenn hier manchmal Mathematica-Code steht
Die angegebene Funktion hab ich für n = 4 berechnen lassen:
}\right) \text{LegendreP}[n,\text{Cos}[\theta ]], \{n,0,s\}\right] + O[\text{Cos}[\theta ]]^{s+1})
Für pot3[4] bekomme ich dann folgendes Monstrum:
+\\&&\frac{-\frac{B[2]}{2}+\frac{3}{2} B[2] \text{Cos}[\theta ]^2}{r^3}+r^3 \left(-\frac{3}{2} A[3] \text{Cos}[\theta ]+\frac{5}{2} A[3] \text{Cos}[\theta ]^3\right)+\\&&\frac{-\frac{3}{2} B[3] \text{Cos}[\theta ]+\frac{5}{2} B[3] \text{Cos}[\theta ]^3}{r^4}+r^4 \left(\frac{3 A[4]}{8}-\frac{15}{4} A[4] \text{Cos}[\theta ]^2+\frac{35}{8} A[4] \text{Cos}[\theta ]^4\right)+\\&&\frac{\frac{3 B[4]}{8}-\frac{15}{4} B[4] \text{Cos}[\theta ]^2+\frac{35}{8} B[4] \text{Cos}[\theta ]^4}{r^5})
Wir hatten in den Übungen eine ähnliche Aufgabe und haben Bedingungen für die Koeffizienten A[n],B[n] im unendlichen gesetzt. Dort handelte es sich allerdings um eine geerdete Kugel:
(a sollte in dem Beispiel der Radius sein)... Wie kommt man auf diese Bedingungen und wie habe ich diese hier zu wählen? |
|
|
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 02. Jan 2009 12:01 Titel: |
|
|
| Felipe hat Folgendes geschrieben: | stellt die allgemeine Lösung in axialer Symmetrie für beliebige
Punkte r dar. Dabei bezeichnet die Legendre-Polynome. Bestimmen Sie die Koeffizienten ,
(n=0,1,2,3,4) algebraisch durch Koeffizientenvergleich mit a).
|
Die Aufgabe finde ich nicht ganz eindeutig. Soll man jetzt wieder nur für die beiden Fälle die man in a) schon für Positionen auf der Achse berechnet hat die Koeffizienten bestimmen, oder generell?
In ersterem Fall würden die Legendre-Polynome ja eine sehr einfache Form annehmen, womit man aus der vorgegebenen Summe und der erhaltenen Entwicklung in a) einfach jeweils die Koeffizienten für beide Fälle ablesen könnte.
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
| Felipe Verfasst am: 02. Jan 2009 15:27 Titel: |
|
|
frohes neues jahr erstmal
ja ich weiß auch nicht.. ich hätte angenommen, dass ersteres gemeint ist. Aber muss ich nicht noch solche Bedingungen mit reinnehmen? Also Bedingungen für r im unendlichen und Bedingungen für die oberfläche des kreisrings für die Koeffizienten? Oder reicht ein einfacher Koeffizientenvergleich mir phi_1 und phi_2? |
|
|
para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
|
| para Verfasst am: 02. Jan 2009 17:49 Titel: |
|
|
Schreib' doch das Monstrum, dass dir Mathematica ausgegeben hat einmal für die Entwicklung entlang der z-Achse hin. Für Theta=0 vereinfacht sich das schon einmal deutlich.
_________________
Formeln mit LaTeX |
|
|
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
| Felipe Verfasst am: 02. Jan 2009 17:56 Titel: |
|
|
Also muss ich nur  setzen?
Dann erhalte ich das hier:
und das darf ich einfach machen? Kann aber sein, dass ich die allgemeinere Lösung doch auch noch brauche, weil ich im Aufgabenteil c) das Potential für verschiedene r's berechnen soll, dessen korrdinaten auch in die z-achse gehen.. oder ist das inrelevant? |
|
|
Felipe
Anmeldungsdatum: 28.03.2007
Beiträge: 36
|
| Felipe Verfasst am: 03. Jan 2009 16:22 Titel: |
|
|
kann mir denn keiner weiterhelfen? 
ich habe in der zwischenzeit schonmal weiter gemacht.. aber ich habe keine ahnung, ob das alles richtig ist..
durch koeffizientenvergleich erhalte ich folgende werte für die koeffizienten:
},A[3]\to 0,A[4]\to \frac{3 q}{a^5 \left(3-30 \text{Cos}[\theta ]^2+35 \text{Cos}[\theta ]^4\right)},B[0]\to q,B[1]\to 0,B[2]\to -\frac{2 a^2 q}{1+3 \text{Cos}[2 \theta ]},B[3]\to 0,B[4]\to \frac{24 a^4 q}{9+20 \text{Cos}[2 \theta ]+35 \text{Cos}[4 \theta ]})
wenn ich diese nun in das "Monstrum" einsetze kommt für das potential folgendes raus:
das komische ist nur, dass das potential nun nicht mehr von  abhängig ist, aber das muss es doch oder nicht?? |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
