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MrPSI
Gast
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 MrPSI Verfasst am: 18. Dez 2008 22:22 Titel: Harmon. Oszillator und allgemeine Lösung der DGL |
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Guten Abend, allerseits.
Seit langem wieder mal hier. Mein Physikstudium hat begonnen und hab 'türlich eine Frage an euch.
Mir stellt sich die Frage, warum man beim Lösen einer (in)homogenen linearen DGL zweiter Ordnung (z.B. der gedämpfte harmonische Oszillator) immer die allgemeine Lösung bilden muss und warum die zwei gefundenen Lösungen nicht reichen.
Beispiel eben am gedämpften harmonischen Oszillator:
Für die Bewegungsgleichung ) findet man ja im Grunde für den Ansatz  zwei Werte  (die genauen Ergebnisse sind hier nicht wichtig) und hat damit zwei Lösungen  und  . Eine Lösung heisst, dass man eine Gleichung gefunden hat, die diese Bewegung beschreibt (bzw. die Lösung beschreibt den Weg in Abhängigkeit von der Zeit).
Aber warum reichen diese beiden Lösungen nicht? Warum muss man sich dann noch daraus die "allgemeine Lösung"  basteln? Ich weiss, dass der Differentialoperator linear ist und deshalb auch jede Linearkombination eine Lösung sein kann, aber warum muss man diese Linearkombination bilden?
Liebe Grüsse,
MrPSI |
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mitschelll
Anmeldungsdatum: 06.12.2007
Beiträge: 362
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| mitschelll Verfasst am: 19. Dez 2008 01:13 Titel: Re: Harmon. Oszillator und allgemeine Lösung der DGL |
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| MrPSI hat Folgendes geschrieben: |
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Diese Lösung spannt Dir den Lösungsraum auf. Sie ist also die Allgemeinste Lösung, die man angeben kann.
| MrPSI hat Folgendes geschrieben: |
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Das sind zwei spezielle Lösungen der oberen Lösung, einmal mit  und einmal mit  .
Du kannst aber auch andere Werte für  und  nehmen. Dann bekommst Du mit der oberen allgemeinen Lösung völlig andere Lösungen, die Du nicht bekommst, wenn Du am Ende nur auf die beiden einzelnen Lösungen berücksichtigst.
Man kann das an einem Beispiel schön sehen: Angenommen Du bekommst als Lösung einer Aufage heraus, dass alle Punkte der x-y Ebene eine Lösung sind. Nimmst Du in diesem Fall nur die x-Achse (entspricht A_1=0) und die y-Achse (entspricht A_2=0) als Lösung, vernachlässigst Du viele andere Punkte, die auch Lösungen sind, die man aber nur durch Superposition der beiden Teillösungen erhält.
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Es irrt der Mensch, solang' er strebt.
Johann Wolfgang von Goethe |
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MrPSI
Gast
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| MrPSI Verfasst am: 19. Dez 2008 08:48 Titel: |
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Danke für die Antwort. Mir ist schon klar, dass man mit der allgemeinen Lösung mehr Lösungen als nur die zwei erhält, aber was für einen Sinn hat, wenn ich mir mehrere Lösungen bilde? Wie kann man das interpretieren? Kann man sagen, dass und  nur zwei spezielle Bewegungen/Teilbewegungen dieser Gleichung darstellen und die Allgemeine Lösung  die Bewegung in ihrer Gesamtheit (mit all ihren Möglichkeiten und Variationen) erfasst? |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 19. Dez 2008 12:11 Titel: |
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Hi,
vergiss mal kurz die Physik und denke nur an lineare Algebra. Vektorrechnung...
Ein Vektor ist doch element eines Vektorraumen oder?
Der Vektorraum wird von einer Basis aufgespannt, besitzt eine Dimension und jeder Vektor in diesem Raum kann doch mittels Linearkombination der Basis aufgespannt werden und eine Basis ist ein linear unbhängiges Erzeugnis.
Ist dieser mathematische Teil okay für dich?
Nun einen Schritt weiter. Stelle dir vor und de facto ist es auch so:
Die Lösungen der DGL spannen auch einen Vektorraum auf. Also kannst du jede Lösung darin als Linearkombination der Basislösungen angeben.
Jetzt fragst du dich vielleicht warum das so ist? Antwort:
Wegen dem Wort "linear" Lineare DGL, lineare Algebra.
Genau genommen ist deine DGL nichts anderes als ein Endomorphismus, also eine additive, homogene Abbildung in sich selbst, genau so wie auch die Ableitung, das was du als ableiten oder gerne auch als integrieren kennst, in Wirklichkeit eine Abbildung zwischen Vektorräumen ist und deswegen auch so behandelt werden darf.
Gruß |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 19. Dez 2008 18:17 Titel: |
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ich versuche mal eine physikalische Antwort zu geben:
Deine Differenzialgleichung könnte z.B. die Bewegung eines Pendels beschreiben.
Die allgemeine Lösung für ein Pendel ist wohl die grosse Formel mit zwei Konstanten A1 und A2. Nun kann es aber sein, dass zum Zeitpunkt t=0 sowohl der Ort als auch die Geschwindigkeit vorgegeben sind; das nennt man eine Anfangsbedingung. Um zwei Bedingungen erfüllen zu können, braucht man i.A. auch zwei freie Parameter. Diese sind in deinem Fall genau A1 und A2.
In anderen Worten: Durch den Anfangsort und die Anfangsgeschwindigkeit ist die spezielle Bewegung für alle Zeiten in der Zukunft und in der Vergangenheit festgelegt. Dazu braucht man eben zwei spezielle Konstanten.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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MrPSI
Gast
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| MrPSI Verfasst am: 19. Dez 2008 20:35 Titel: |
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@Herbststurm: es war mir schon die ganze Zeit klar, dass der Differentialoperate linear ist und die Linearkombination zweier Lösungen wieder eine Lösung ergibt.
@schnudl: also wenn man sich eine Bewegung sucht, die gewissen Bedingungen genügt, so kann es sein, dass die Lösungen  oder  diesen Bedingungen nicht genügen, und man sich daher den Raum aller möglichen Bewegungen (die allgemeine Lösung) anschauen muss. Richtig so? |
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Herbststurm
Anmeldungsdatum: 05.09.2008
Beiträge: 412
Wohnort: Freiburg i. Brsg.
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| Herbststurm Verfasst am: 19. Dez 2008 21:07 Titel: |
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| MrPSI hat Folgendes geschrieben: | @Herbststurm: es war mir schon die ganze Zeit klar, dass der Differentialoperate linear ist und die Linearkombination zweier Lösungen wieder eine Lösung ergibt.
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Wenn dem so ist, was soll dann dieser Thread? Deine Frage ist nichts anderes, als obige Erkenntnis |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 19. Dez 2008 21:48 Titel: |
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| MrPSI hat Folgendes geschrieben: | ...
@schnudl: also wenn man sich eine Bewegung sucht, die gewissen Bedingungen genügt, so kann es sein, dass die Lösungen oder diesen Bedingungen nicht genügen, und man sich daher den Raum aller möglichen Bewegungen (die allgemeine Lösung) anschauen muss... |
Ja. Die Bedingung kann z.B. sein, dass
 = 0 )
und
 = x'(0) = v_0)
ist.
Dann ergeben sich die Bedingungen
und
Das ergibt zusammen die (spezielle) Lösung
 = \frac{v_0}{\gamma_1 - \gamma_2} \cdot (e^{\gamma_1 t}-e^{\gamma_2 t}))
Alleine mit A1 oder A2 hättest du die Bedingung nicht erfüllen können...
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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MrPSI
Gast
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| MrPSI Verfasst am: 19. Dez 2008 22:42 Titel: |
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Cool, vielen Dank  . Ich denke, ich habs verstanden oder sonst schreib ich noch mal. ^^ |
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